湖南省长沙市雅礼教育集团2022-2023学年九年级下学期期中考试数学试题+答案

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考生注意：本试卷共25道小题，满分120分，时量120分钟
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项。本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．的倒数是（ ）
A．B．C．D．
2．今年的长沙热爆了，继连续三周周六超300万人次破记录后，长沙地铁，又一次出圈。连续三天的客流强度，不是第二，就是第一。2023年3月10号，客运量302.1万人次，客流强度1.58全国第二，仅在广州之后，那么302.1万人次这个数据用科学记数法表示为（ ）
A．人次B．人次
C．人次D．人次
3．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=6，则线段PB的长度为（ ）
A．3B．4C．6D．7
第3题图 第5题图 第6题图
4．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．如图是六个棱长为1的立方块组成的一个几何体，其俯视图的面积是（ ）
A．6B．5C．4D．3
6．如图，点B是△ADC的边AD的延长线上一点，DE∥AC．若∠C=50°，∠BDE=55°，则∠CDB的度数等于（ ）
A．70°B．100°C．105°D．110°
7．某中学体育节，有17名同学参加女子百米赛跑，她们预赛的成绩各不相同，取前8名参加决赛．小雅已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，还需要知道这17名同学成绩的（ ）
A．中位数B．极差C．平均数D．方差
8．如果点P（m，）在第四象限，那么m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，⊙O的直径AB=4，点C在上，∠ABC=30°，则AC的长是（ ）
A．1B．C．D．2

第9题图 第10题图 第12题图
10．二次函数图象如图，下列结论中：①；②；③；④．正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．分解因式___________．
12．如图，∠A是⊙O的圆周角，∠A=60°，则∠OBC的度数为___________．
13．分式方程的解为x=___________．
14．已知反比例函数的图象经过（2，），则k=___________．
15．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k=___________．
16．将分别标有数字1，2，3的三个小球放入一个不透明的袋子中，这些小球除数字外其他都相同．从中随机摸出一个小球记下数字后放回，再从中随机摸出一个小球并记下数字，则两次摸出的小球数字不同的概率___________．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：．
18．先化简，再求值：，其中．
19．已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，EA⊥AD，FD⊥AD，AE=DF，AB=DC．
求证：∠ACE=∠DBF．
20．某校举行“汉字听写”比赛，每位学生听写汉字39个，比赛结束后随机抽查部分学生的听写结果，以下是根据抽查结果绘制的统计图的一部分．
根据以上信息解决下列问题：
（1）本次共随机抽查了___________名学生，并补全条形统计图；
（2）扇形统计图中，组别为E的扇形的圆心角是多少度？
（3）该校共有2000名学生，如果听写正确的个数少于16个定为不合格，请你估计这所学校本次比赛听写不合格的学生人数．
21．如图是某货站传送货物的平面示意图．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°．已知原传送带AB长为米．
（1）求新传送带AC的长度；
（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点5米的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由．（参考数据：，）
22．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，其中AD∥BC，AB∥CD，AC=2OB，E为CD上一点，连接AE，OE．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若AE平分∠BAD，且BD=2AD，求∠DOE的度数．
23．春节是中国的传统节日，每年元旦节后是购物的高峰期，2023年元月某水果商从农户手中购进A、B两种红富士苹果，其中A种红富士苹果进货价为28元/件，销售价为42元/件，其中B种红富士苹果进货价为22元/件，销售价为34元/件。（注：利润=销售价−进货价）
（1）水果店第一次用720元购进A、B两种红富士苹果共30件，求两种红富士苹果分别购进的件数；
（2）第一次购进的红富士苹果售完后，该水果店计划再次购进A、B两种红富士苹果共80件（进货价和销售价都不变），且进货总费用不高于2000元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
（3）春节临近结束时，水果店发现B种红富士苹果还有大量剩余，决定对B种红富士苹果调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，为了尽快减少库存，将销售价定为每件多少元时，才能使B种红富士苹果平均每天销售利润为90元？
24．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，已知B点的坐标为（3，0），C点的坐标为（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）图1中，点P为抛物线上的动点，且位于第二象限，过P，B两点作直线l交y轴于点D，交直线AC于点E．是否存在这样的直线l：以C，D，E为顶点的三角形与△BOD相似？若存在，请求出这样的直线l的解析式；若不存在，请说明理由．
（3）图2中，点C和点C'关于抛物线的对称轴对称，点M在抛物线上，且∠MCB=∠CBC'，求M点的横坐标．
25．圆内各几何要素之间存在一定的数量关系和位置关系，这也是国内外数学家感兴趣的研究对象，其中就有对角线互相垂直的圆内接四边形。我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“雅系四边形”．
（1）若平行四边形ABCD是“雅系四边形”，则四边形ABCD是_________（填序号）；
①矩形②菱形③正方形
（2）如图，四边形ABCD内接于圆，P为圆内一点，∠APD=∠BPC=90°，且∠ADP=∠PBC，求证：四边形ABCD为“雅系四边形”；
（3）在（2）的条件下，BD=3，且AB=DC．
①当DC=时，求AC的长度；
②当DC的长度最小时，请直接写出tan∠ADP的值．