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精品解析：广东省广州市番禺区实验中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题
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命题人：粟益民
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若经过两点A（3，y＋1）、B（2，－1）的直线的倾斜角为，则y等于（ ）
A. －1B. 2C. 0D. －3
【答案】D
【解析】
【分析】根据直线的倾斜角和两点坐标求出直线的斜率，列出方程，解之即可.
【详解】由题意知，直线的斜率为，
又，
所以，解得.
故选：D.
2. 若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则（ ）
A. B. 1C. 0D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知可设，整理根据已知得出方程组，求解即可得出答案.
【详解】因为不能构成空间的一个基底，
所以存在实数、使得，
即，
即，
因为是空间的一个基底，
则，解得.
故选：A.
3. 如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量运算的三角形法则、平行四边形法则表示出即可.
【详解】
=
故选：A.
4. 方程，化简的结果是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由所给方程,可知动点到定点和 距离和是定值,根据椭圆的定义可知其轨迹是椭圆,即可求出椭圆的,进而得到答案.
【详解】根据两点间的距离公式可得: 表示点与点的距离,
表示点与点的距离.
所以原等式化简为
因为
所以由椭圆的定义可得:点的轨迹是椭圆:
根据椭圆中:,得:
所以椭圆的方程为: .
故选:B.
【点睛】本题考查了由椭圆的几何意义来求椭圆方程,能理解椭圆定义是解本题关键.
5. 圆与圆的位置关系为（ ）
A. 内切B. 相交C. 外切D. 相离
【答案】C
【解析】
【分析】写出两圆的圆心和半径，求出圆心距，发现与两圆的半径和相等，所以判断两圆外切
【详解】圆的标准方程为：，所以圆心坐标为，半径；圆的圆心为，半径，圆心距，所以两圆相外切
故选：C
6. 在直三棱柱中，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用几何关系作出向量在向量上的投影即可.
【详解】如图，过作，垂足为，过作，垂足为，连接．
因为在直三棱柱中，，平面，
所以平面，且平面，所以．
又平面，，所以平面，
又平面，则．
所以向量在向量上的投影向量为，
由，，得，
，所以
则，即，
即向量在向量上的投影向量为.
故选：D
7. 若，则方程表示的圆的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆的一般方程表示圆的条件求出参数的取值范围，即可判断.
【详解】若方程表示圆，
则，
解得，
又，所以或，
即程表示的圆的个数为.
故选：B
8. 在平面直角坐标系中，定义两点之间的折线距离为，设点P是圆上一点，点Q是直线上一点，则的最小值为（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合图形，易知定点到直线上一点的折线距离的最小值等于该点到直线的水平距离或竖直距离中较小的一个，先求出圆上的点到直线距离的最小值，然后即可得出答案.
【详解】解：结合图形，易知定点到直线上一点的折线距离的最小值等于该点到直线的水平距离或竖直距离中较小的一个，
直线的倾斜角为，斜率为，则，
因此，定点到直线上一点的折线距离的最小值等于该点到直线的竖直距离，圆心到直线的距离为，因此圆上的点到直线的最小距离为，
故圆上的点到直线的最小折线距离为1.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知直线l：，则下列结论正确的是（ ）
A. 直线l的倾斜角是
B. 点到直线l上的点的最短距离是2
C. 直线l关于x轴对称的直线方程是
D. 直线l在x轴上的截距是
【答案】BC
【解析】
【分析】选项A，转化为直线的斜截式，结合即可判断；选项B，求解点到直线距离，即可判断；选项C，由直线过，且斜率与直线l的斜率互为相反数即可判断；选项D，计算直线与x轴的交点即可判断.
【详解】选项A，记直线倾斜角为，直线l：，故直线斜率，故，错误；
选项B，点到直线l上的点的最短距离即为点到直线的距离，正确；
选项C，直线l：与轴的交点为，直线l关于x轴对称的直线过，且斜率与直线l的斜率互为相反数，故直线方程为，正确；
选项D，直线l：与轴的交点为，故在x轴上的截距是，错误.
故选：BC
10. 已知椭圆的左、右焦点为，，点在椭圆上，且不与椭圆的左、右顶点重合，则下列关于的说法正确的有（ ）
A. 的周长为
B. 当时，的边
C. 当时，面积为
D. 椭圆上有且仅有6个点，使得为直角三角形
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据椭圆的标准方程求得，进而求得，；根据，可求得；根据余弦定理可求得，进而求得面积；根据为直角三角形分情况求得满足题意的点P的个数即可．
【详解】解：由易得，
∴ 的周长为，故A对；
令得，
，故B错；
设，
由余弦定理得，
，
，
∴ ，故C对；
当，由选项B的分析知满足题意的点P有2个；
同理当，满足的点P也有2个；
当，
有，
解得，
所以满足题意的点P为椭圆的上下两顶点，
综上满足的点P共6个，故D对．
故选：ACD．
11. 如图，在圆台中，分别为圆的直径，，圆台的体积为为内侧上更靠近的三等分点，以为坐标原点，下底面垂直于的直线为轴，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则（ ）
A. 的坐标为
B.
C. 平面的一个法向量为
D. 到平面的距离为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据圆台的体积为可求得，可知A正确；由点位置可求得，即可知B正确；利用法向量的定义可知平面的一个法向量为，即C错误；由点到平面距离的向量公式可得到平面的距离为，可知D正确.
【详解】由圆台的体积为，可得，
解得，则，即A正确．
连接，设在下底面的射影为点，连接，如下图所示：
易得，则，
因为，所以，即B正确．
设平面的法向量为，由可知，
则，解得，令，可得，所以，可知C错误．
因为，所以到平面的距离为，D正确．
故选：ABD
三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分．把答案填在横线上．
12. 以点为圆心，与直线相切圆的方程是__________．
【答案】
【解析】
【详解】以点为圆心，与直线相切，圆心到直线的距离等于半径，即半径，所求圆的标准方程：，故答案为．
方法点睛】本题主要考查圆的方程和性质、点到直线距离公式，属于难题.求圆的方程常见思路与方法有:①直接设出动点坐标 ，根据题意列出关于的方程即可；②根据几何意义直接找到圆心坐标和半径，写出方程；③待定系数法，可以根据题意设出圆的标准方程或一般式方程，再根据所给条件求出参数即可.本题（1）是利用方法②解答的.
13. 已知直线L的一个方向向量为，若点为直线L外一点，为直线L上一点，则________；点P到直线L的距离为________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据给定条件，利用空间向量模的坐标表示及点到直线距离公式计算即得.
【详解】依题意，，所以；
点P到直线L的距离.
故答案为：；
14. 设常数．如图在矩形中，平面．若线段上存在点，使得，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】通过建系，把转换成向量垂直坐标运算，结合存在点，进而转换为方程有解问题.
【详解】
因为在矩形中，平面，
所以以，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
设，，其中或不符题意，
则，，，
则有，
由，得
即，
若线段上存在点，即方程在有解，
设函数为，，对称轴为，
则方程在有解需满足，
又因为，
所以.
故答案为：
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 如图，在多面体中，四边形是矩形，侧面是直角梯形，，与交于点，连接.
（1）证明：平面；
（2）若，求三棱锥的体积.
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）取的中点，利用平行公理及线面平行的判定推理即得.
（2）根据给定条件，利用线面垂直的判定证明平面，再利用锥体体积公式计算即得.
【小问1详解】
如图，取的中点，连接，矩形的对角线与交于点，
则为的中点，于是，，又，，
则，，因此四边形是平行四边形，则，又平面平面，
所以平面.
【小问2详解】
在中，由，得，则，
因此，
显然平面，则平面，
于是，
所以三棱锥的体积为.
16. 已知的一条内角平分线的方程为，一个顶点为，边上的中线所在直线的方程为．
（1）求顶点的坐标；
（2）求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由点在直线上，设，由为边上的中线，得出线段的中点在直线上，根据中点公式求出中点，代入直线的方程即可求解；
（2）由是的一条角平分线，得出点关于直线的对称点在直线上，由点关于直线对称得出坐标，结合点的坐标求出直线的方程，再与直线联立求出的坐标，由两点之间距离公式求出，由点到直线距离公式求出到直线的距离，即可根据三角形面积公式代入计算即可．
【小问1详解】
因为直线的方程为，
设，又，
所以线段的中点坐标为，
因为线段的中点在直线上，
所以，整理得，即，
所以．
【小问2详解】
因为是的一条角平分线，
所以点关于直线的对称点在直线上，
设，
则，解得，
所以，
所以直线的方程为，整理得，
联立直线与直线的方程，，
解得，即，
所以，
点到直线的距离，
所以．
17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A；
（2）若，，的角平分线交BC于点D，求的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理和得到，由辅助角公式求出，进而求出A；
（2）先根据向量数量积公式得到，由余弦定理变形得到，由和面积公式求出
小问1详解】
∵，
∴由正弦定理得：，
∴，
即，
又∵，
∴，则有，
∴，
即，
又∵，∴，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，解得；
【小问2详解】
由得，，所以，
由（1）知，，
由余弦定理得：，
因为，所以，
∴，
由得：，
∴．
18. 已知三棱柱中，是的中点，是线段上一点.
（1）求证：；
（2）设是棱上动点（不包括边界），当的面积最小时，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等腰三角形的“三线合一”证明线线垂直，结合勾股定理证明直线垂直，从而由线面垂直判定定理得平面，利用线面垂直的性质进行证明即可；
（2）根据三角形的面积最小，得到是的中点，建立坐标系求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．
【小问1详解】
证明：连接
，，是的中点
，是的中点
，
，
平面
平面，平面，，
在三棱柱中，，
，，
，
平面，
平面，．
【小问2详解】
连接，由（1）可知，
平面，平面
平面，
，要使的面积最小，则最小，
又，△是等腰直角三角形
即时，最小，是的中点，
如图，建立以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴的空间直角坐标系：
则，，，,0,，
设,,，则，即，得，，，
即,,，
，则，
，,,，
设平面的法向量为,,，
由，得，即，令，则，，即，
设直线与平面所成角为，
则,，
即直线与平面所成角的正弦值为．
19. 在平面直角坐标系中，已知两点，动点满足，设点的轨迹为.如图，动直线与曲线交于不同的两点（均在轴上方），且.
（1）求曲线的方程；
（2）当为曲线与轴正半轴的交点时，求直线的方程；
（3）是否存在一个定点，使得直线始终经过此定点？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）存在，定点为
【解析】
【分析】（1）设Px,y，根据已知条件列方程，化简求得曲线的方程.
（2）设，根据已知条件求得点的坐标，从而求得直线的斜率，进行求得直线的方程.
（3）设直线方程为，联立直线的方程和曲线的方程，化简写出根与系数关系，由列方程，化简求得的关系式，进而求得定点坐标.
【小问1详解】
设Px,y，由得，
化简得，则曲线的方程为；
【小问2详解】
由题意知，设Bx2,y2，
依题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，
由，得，
则，所以(舍去)或，即，
则，
则直线方程为；
【小问3详解】
设直线方程为，设Ax1,y1,Bx2,y2，
联立方程，得，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
则直线始终经过此定点.
【点睛】求解曲线的方程，可以有以下两种方法：一是根据圆锥曲线的定义，求得曲线的方程；另一个是根据已知条件中所给的等量关系式，如本题中，利用坐标表示点，化简后可求得曲线方程.
命题人：粟益民
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若经过两点A（3，y＋1）、B（2，－1）的直线的倾斜角为，则y等于（ ）
A. －1B. 2C. 0D. －3
【答案】D
【解析】
【分析】根据直线的倾斜角和两点坐标求出直线的斜率，列出方程，解之即可.
【详解】由题意知，直线的斜率为，
又，
所以，解得.
故选：D.
2. 若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则（ ）
A. B. 1C. 0D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知可设，整理根据已知得出方程组，求解即可得出答案.
【详解】因为不能构成空间的一个基底，
所以存在实数、使得，
即，
即，
因为是空间的一个基底，
则，解得.
故选：A.
3. 如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量运算的三角形法则、平行四边形法则表示出即可.
【详解】
=
故选：A.
4. 方程，化简的结果是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由所给方程,可知动点到定点和 距离和是定值,根据椭圆的定义可知其轨迹是椭圆,即可求出椭圆的,进而得到答案.
【详解】根据两点间的距离公式可得: 表示点与点的距离,
表示点与点的距离.
所以原等式化简为
因为
所以由椭圆的定义可得:点的轨迹是椭圆:
根据椭圆中:,得:
所以椭圆的方程为: .
故选:B.
【点睛】本题考查了由椭圆的几何意义来求椭圆方程,能理解椭圆定义是解本题关键.
5. 圆与圆的位置关系为（ ）
A. 内切B. 相交C. 外切D. 相离
【答案】C
【解析】
【分析】写出两圆的圆心和半径，求出圆心距，发现与两圆的半径和相等，所以判断两圆外切
【详解】圆的标准方程为：，所以圆心坐标为，半径；圆的圆心为，半径，圆心距，所以两圆相外切
故选：C
6. 在直三棱柱中，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用几何关系作出向量在向量上的投影即可.
【详解】如图，过作，垂足为，过作，垂足为，连接．
因为在直三棱柱中，，平面，
所以平面，且平面，所以．
又平面，，所以平面，
又平面，则．
所以向量在向量上的投影向量为，
由，，得，
，所以
则，即，
即向量在向量上的投影向量为.
故选：D
7. 若，则方程表示的圆的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆的一般方程表示圆的条件求出参数的取值范围，即可判断.
【详解】若方程表示圆，
则，
解得，
又，所以或，
即程表示的圆的个数为.
故选：B
8. 在平面直角坐标系中，定义两点之间的折线距离为，设点P是圆上一点，点Q是直线上一点，则的最小值为（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合图形，易知定点到直线上一点的折线距离的最小值等于该点到直线的水平距离或竖直距离中较小的一个，先求出圆上的点到直线距离的最小值，然后即可得出答案.
【详解】解：结合图形，易知定点到直线上一点的折线距离的最小值等于该点到直线的水平距离或竖直距离中较小的一个，
直线的倾斜角为，斜率为，则，
因此，定点到直线上一点的折线距离的最小值等于该点到直线的竖直距离，圆心到直线的距离为，因此圆上的点到直线的最小距离为，
故圆上的点到直线的最小折线距离为1.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知直线l：，则下列结论正确的是（ ）
A. 直线l的倾斜角是
B. 点到直线l上的点的最短距离是2
C. 直线l关于x轴对称的直线方程是
D. 直线l在x轴上的截距是
【答案】BC
【解析】
【分析】选项A，转化为直线的斜截式，结合即可判断；选项B，求解点到直线距离，即可判断；选项C，由直线过，且斜率与直线l的斜率互为相反数即可判断；选项D，计算直线与x轴的交点即可判断.
【详解】选项A，记直线倾斜角为，直线l：，故直线斜率，故，错误；
选项B，点到直线l上的点的最短距离即为点到直线的距离，正确；
选项C，直线l：与轴的交点为，直线l关于x轴对称的直线过，且斜率与直线l的斜率互为相反数，故直线方程为，正确；
选项D，直线l：与轴的交点为，故在x轴上的截距是，错误.
故选：BC
10. 已知椭圆的左、右焦点为，，点在椭圆上，且不与椭圆的左、右顶点重合，则下列关于的说法正确的有（ ）
A. 的周长为
B. 当时，的边
C. 当时，面积为
D. 椭圆上有且仅有6个点，使得为直角三角形
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据椭圆的标准方程求得，进而求得，；根据，可求得；根据余弦定理可求得，进而求得面积；根据为直角三角形分情况求得满足题意的点P的个数即可．
【详解】解：由易得，
∴ 的周长为，故A对；
令得，
，故B错；
设，
由余弦定理得，
，
，
∴ ，故C对；
当，由选项B的分析知满足题意的点P有2个；
同理当，满足的点P也有2个；
当，
有，
解得，
所以满足题意的点P为椭圆的上下两顶点，
综上满足的点P共6个，故D对．
故选：ACD．
11. 如图，在圆台中，分别为圆的直径，，圆台的体积为为内侧上更靠近的三等分点，以为坐标原点，下底面垂直于的直线为轴，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则（ ）
A. 的坐标为
B.
C. 平面的一个法向量为
D. 到平面的距离为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据圆台的体积为可求得，可知A正确；由点位置可求得，即可知B正确；利用法向量的定义可知平面的一个法向量为，即C错误；由点到平面距离的向量公式可得到平面的距离为，可知D正确.
【详解】由圆台的体积为，可得，
解得，则，即A正确．
连接，设在下底面的射影为点，连接，如下图所示：
易得，则，
因为，所以，即B正确．
设平面的法向量为，由可知，
则，解得，令，可得，所以，可知C错误．
因为，所以到平面的距离为，D正确．
故选：ABD
三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分．把答案填在横线上．
12. 以点为圆心，与直线相切圆的方程是__________．
【答案】
【解析】
【详解】以点为圆心，与直线相切，圆心到直线的距离等于半径，即半径，所求圆的标准方程：，故答案为．
方法点睛】本题主要考查圆的方程和性质、点到直线距离公式，属于难题.求圆的方程常见思路与方法有:①直接设出动点坐标 ，根据题意列出关于的方程即可；②根据几何意义直接找到圆心坐标和半径，写出方程；③待定系数法，可以根据题意设出圆的标准方程或一般式方程，再根据所给条件求出参数即可.本题（1）是利用方法②解答的.
13. 已知直线L的一个方向向量为，若点为直线L外一点，为直线L上一点，则________；点P到直线L的距离为________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据给定条件，利用空间向量模的坐标表示及点到直线距离公式计算即得.
【详解】依题意，，所以；
点P到直线L的距离.
故答案为：；
14. 设常数．如图在矩形中，平面．若线段上存在点，使得，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】通过建系，把转换成向量垂直坐标运算，结合存在点，进而转换为方程有解问题.
【详解】
因为在矩形中，平面，
所以以，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
设，，其中或不符题意，
则，，，
则有，
由，得
即，
若线段上存在点，即方程在有解，
设函数为，，对称轴为，
则方程在有解需满足，
又因为，
所以.
故答案为：
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 如图，在多面体中，四边形是矩形，侧面是直角梯形，，与交于点，连接.
（1）证明：平面；
（2）若，求三棱锥的体积.
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）取的中点，利用平行公理及线面平行的判定推理即得.
（2）根据给定条件，利用线面垂直的判定证明平面，再利用锥体体积公式计算即得.
【小问1详解】
如图，取的中点，连接，矩形的对角线与交于点，
则为的中点，于是，，又，，
则，，因此四边形是平行四边形，则，又平面平面，
所以平面.
【小问2详解】
在中，由，得，则，
因此，
显然平面，则平面，
于是，
所以三棱锥的体积为.
16. 已知的一条内角平分线的方程为，一个顶点为，边上的中线所在直线的方程为．
（1）求顶点的坐标；
（2）求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由点在直线上，设，由为边上的中线，得出线段的中点在直线上，根据中点公式求出中点，代入直线的方程即可求解；
（2）由是的一条角平分线，得出点关于直线的对称点在直线上，由点关于直线对称得出坐标，结合点的坐标求出直线的方程，再与直线联立求出的坐标，由两点之间距离公式求出，由点到直线距离公式求出到直线的距离，即可根据三角形面积公式代入计算即可．
【小问1详解】
因为直线的方程为，
设，又，
所以线段的中点坐标为，
因为线段的中点在直线上，
所以，整理得，即，
所以．
【小问2详解】
因为是的一条角平分线，
所以点关于直线的对称点在直线上，
设，
则，解得，
所以，
所以直线的方程为，整理得，
联立直线与直线的方程，，
解得，即，
所以，
点到直线的距离，
所以．
17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A；
（2）若，，的角平分线交BC于点D，求的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理和得到，由辅助角公式求出，进而求出A；
（2）先根据向量数量积公式得到，由余弦定理变形得到，由和面积公式求出
小问1详解】
∵，
∴由正弦定理得：，
∴，
即，
又∵，
∴，则有，
∴，
即，
又∵，∴，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，解得；
【小问2详解】
由得，，所以，
由（1）知，，
由余弦定理得：，
因为，所以，
∴，
由得：，
∴．
18. 已知三棱柱中，是的中点，是线段上一点.
（1）求证：；
（2）设是棱上动点（不包括边界），当的面积最小时，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等腰三角形的“三线合一”证明线线垂直，结合勾股定理证明直线垂直，从而由线面垂直判定定理得平面，利用线面垂直的性质进行证明即可；
（2）根据三角形的面积最小，得到是的中点，建立坐标系求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．
【小问1详解】
证明：连接
，，是的中点
，是的中点
，
，
平面
平面，平面，，
在三棱柱中，，
，，
，
平面，
平面，．
【小问2详解】
连接，由（1）可知，
平面，平面
平面，
，要使的面积最小，则最小，
又，△是等腰直角三角形
即时，最小，是的中点，
如图，建立以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴的空间直角坐标系：
则，，，,0,，
设,,，则，即，得，，，
即,,，
，则，
，,,，
设平面的法向量为,,，
由，得，即，令，则，，即，
设直线与平面所成角为，
则,，
即直线与平面所成角的正弦值为．
19. 在平面直角坐标系中，已知两点，动点满足，设点的轨迹为.如图，动直线与曲线交于不同的两点（均在轴上方），且.
（1）求曲线的方程；
（2）当为曲线与轴正半轴的交点时，求直线的方程；
（3）是否存在一个定点，使得直线始终经过此定点？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）存在，定点为
【解析】
【分析】（1）设Px,y，根据已知条件列方程，化简求得曲线的方程.
（2）设，根据已知条件求得点的坐标，从而求得直线的斜率，进行求得直线的方程.
（3）设直线方程为，联立直线的方程和曲线的方程，化简写出根与系数关系，由列方程，化简求得的关系式，进而求得定点坐标.
【小问1详解】
设Px,y，由得，
化简得，则曲线的方程为；
【小问2详解】
由题意知，设Bx2,y2，
依题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，
由，得，
则，所以(舍去)或，即，
则，
则直线方程为；
【小问3详解】
设直线方程为，设Ax1,y1,Bx2,y2，
联立方程，得，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
则直线始终经过此定点.
【点睛】求解曲线的方程，可以有以下两种方法：一是根据圆锥曲线的定义，求得曲线的方程；另一个是根据已知条件中所给的等量关系式，如本题中，利用坐标表示点，化简后可求得曲线方程.
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