广东省惠州市知行学校2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷

这是一份广东省惠州市知行学校2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷，共21页。

1.下面四幅图是我国传统文化与艺术中的几个经典图案，其中不是轴对称图形的是（ ）
2.人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短
C．两直线平行，内错角相等 D．三角形具有稳定性
3.有下列长度的三条线段，其中能组成三角形的是（ ）
A．4，5，9B．2.5，6.5，10C．3，4，5D．5，12，17
4.下列四个图形中，线段BH是△ABC的高的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
6.如图，点D、E分别在AC、AB上，已知AB=AC，添加下列条件，不能说明△ABD≌△ACE的是（ ）
第6题
A．∠B=∠C B．AD=AE C．∠BDC=∠CEB D．BD=CE
第8题
第7题
7.如图，在△ABC中，BC边的中垂线DE，分别与AB、BC边交于点D、E两点，连接CD，边AC的中垂线FG分别与CD、AC边交于点F、G两点，连接AF．若△ADF的周长为13，AD＝4，则BD的长为（ ）
A．4B．9C．13D．17
8.如图，在△ABC中，点D为BC边上一点，连接AD，取AD的中点P，连接BP，CP．若△ABC的面积为4cm2，则△BPC的面积为（ ）
A．4cm2B．3cm2C．2cm2D．1cm2
9.如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使点落在处的处，折痕为.如果，，，那么下列式子中正确的是（ ）
A．B．C．D．
A．1个B．2个C．3个D．4个
10.如图，在△ABC中，延长BA到点E，延长BC到点F．∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，过点P分别作PM⊥BE,PN⊥BF，垂足为M,N，则下列结论正确的有（ ）
①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC=180°；③∠ACB=2∠APB；④S△PAC=S△MAP+S△NCP．
A．1个B．2个C．3个D．4个二.填空题（5小题，共15分）
11．若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是 .
12．若点P(-5,6)与点Q关于x轴对称，则点Q的坐标为 .
13. 在△ABC中，为边上的高，，，则的度数为
第14题
14如图，，，，则的长度为 ．
15.如图，三角形ABC中，的平分线交于点F，平分．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 ．
三、解答题一（每题7分，共3×7=21分）
16. （7分） 小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面0.9m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若小丽妈妈和爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.3m和1.5m，∠BOC=90°，∠BDO=90°,∠CEO=90°．请求出爸爸在C处接住小丽时，小丽距地面的高度是多少？
17. （7分）已知一个多边形的内角和等于外角和的2倍，求这个多边形的边数.
18.(7分)如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AB的两侧，且，，．
(1)求证：△ACE≌△BDF；
(2)若AB=8,AC=2，求CD的长．
四.解答题二（每题9分，共3×9=27分）
19.（9分）【定义】若一个三角形三边长均为偶数，则称这个三角形为“好运三角形”例如，三边为，，10的三角形是“好运三角形”．
(1)【概念运用】在中，，，若为“好运三角形”，求的长；
(2)【变式运用】已知的周长为，，若AB的长为偶数，试判断是否为“好运三角形”．
20.（9分）王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合．
（1）求证：△ADC≌△CEB；
（2）求两堵木墙之间的距离．
21. （9分）如图，于E，于F，若、．
（1）求证：AD平分：
（2）求与AE之间的等量关系．
五、解答题三（共2小题，22题13分，24题14分，共27分）
22.（13分）观察、猜想、探究:
在△ABC中,∠ACB＝2∠B.
（1）如图① ，当∠C＝90°，AD为∠BAC的角平分线时，过D作AB的垂线DE，垂足为E，可以发现AB、AC、 CD存在的数量关系是_________;
（2）如图② ，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD是否还存在（1）中的数量关系？如果存在，请给出证明.如果不存在，请说明理由;
（3）如图③ ，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明.
图 ① 图② 图③
23（14分）如图，平面直角坐标系中有点和y轴上一动点，其中，以点A为直角顶点在第四象限内作等腰直角△ABC，（∠BAC＝90°,AB=AC）设点C的坐标为．
(1)当时，点C的坐标为 ．
(2)动点A在运动的过程中，试判断的值是否发生变化，若不变，请求出其值；若发生变化，请说明理由．
(3)当时，在坐标平面内是否存在一点P（不与点C重合），使与全等？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2024-2025惠州市知行学校八年级期中检测数学试题
答案与解析
一.选择题（10小题，共30分）
1.下面四幅图是我国传统文化与艺术中的几个经典图案，其中不是轴对称图形的是（ ）
[答案]：D
2.人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短
C．两直线平行，内错角相等 D．三角形具有稳定性
[答案]：D
3.有下列长度的三条线段，其中能组成三角形的是（ ）
A．4，5，9B．2.5，6.5，10C．3，4，5D．5，12，17
[答案]:C
4.下列四个图形中，线段BH是△ABC的高的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
[答案]：B
5.如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
[答案]：D
6.如图，点D、E分别在AC、AB上，已知AB=AC，添加下列条件，不能说明△ABD≌△ACE的是（ ）
A．∠B=∠C B．AD=AE C．∠BDC=∠CEB D．BD=CE
[答案]：D
【分析】要使△ABD≌△ACE，则需对应边相等，夹角相等，可用两边夹一角，也可用两角夹一边判定全等．
【详解】已知条件中AB=AC，∠A为公共角，
A中∠B=∠C，满足两角夹一边，可判定其全等，A正确；
B中AD=AE两边夹一角，也能判定全等，B也正确；
C中∠BDC=∠CEB，即∠ADB=∠AEC，又∠A为公共角，∴∠B=∠C，所以可得三角形全等，C对；
D中两边及一角，但角并不是夹角，不能判定其全等，D错．
故选D.
第6题
第8题
第7题
7.如图，在△ABC中，BC边的中垂线DE，分别与AB、BC边交于点D、E两点，连接CD，边AC的中垂线FG分别与CD、AC边交于点F、G两点，连接AF．若△ADF的周长为13，AD＝4，则BD的长为（ ）
A．4B．9C．13D．17
[答案]：B
【分析】根据线段垂直平分线的性质，可得，，再根据△ADF的周长求得的长，即可求解．
【详解】解：BC边的中垂线DE，可得
边AC的中垂线FG，可得
△ADF的周长为13，即
又因为，所以
因为，所以，即
所以
故选B
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
8.如图，在△ABC中，点D为BC边上一点，连接AD，取AD的中点P，连接BP，CP．若△ABC的面积为4cm2，则△BPC的面积为（ ）
A．4cm2B．3cm2C．2cm2D．1cm2
[答案]：C
【分析】由点P为AD的中点，可得△ABP的面积=S△ABD，S△CPD=S△ACD，于是得到结论．
【详解】∵点P是AD的中点，
，
,
故选：C．
9.如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使点落在处的处，折痕为.如果，，，那么下列式子中正确的是（ ）
A．B．C．D．
A．1个B．2个C．3个D．4个
[答案]：A
【分析】根据三角形的外角得：∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论.
【详解】
由折叠得：∠A=∠A'，
∵∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，
∵∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，
∴∠BDA'=γ=α+α+β=2α+β，
故选A.
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键.
10.如图，在△ABC中，延长BA到点E，延长BC到点F．∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，过点P分别作PM⊥BE,PN⊥BF，垂足为M,N，则下列结论正确的有（ ）
①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC=180°；③∠ACB=2∠APB；④S△PAC=S△MAP+S△NCP．
A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D
【分析】①过点作于点，根据角平分线的性质推出即可进行判断；②证，即可进行判断；③根据“平分，平分” 即可进行判断；④由②中全等三角形的性质即可进行判断．
【详解】解：①如图，过点作于点，
∵的平分线交于点P，，，，
，，
，
∴，，
∴平分，故①正确；
②，，
，
，
在和中，
，
，
同理：，
，
，
，故②正确；

③平分，平分，
，，
，③正确；
④由②可知，，
，，
，故④正确．
综上分析可知，正确的有4个，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的定义及性质、全等三角形的判断及性质，三角形外角的性质，四边形内角和定理等知识点，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
二.填空题（5小题，共15分）
第14题
11．若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是 .
[答案]：8
若点P(-5,6)与点Q关于x轴对称，则点Q的坐标为 .
[答案]：（-5，-6）
13. 在△ABC中，为边上的高，，，则的度数为
[答案]：20°或60°
14如图，，，，则的长度为 ．
[答案]：3厘米
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
如图，三角形ABC中，的平分线交于点F，平分．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 ．
[答案]：①③④
【分析】根据可以判断①；无法判定②；根据，得到，设与的交点为O，得到，结合可以判定③，活用等腰三角形三线合一性质，可以判定结论④．
【详解】因为，
所以，
所以①正确；
无法判定②；
因为，
所以，
设与的交点为O，
因为平分，平分，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以结论③正确，
因为平分，，
所以直线是线段的垂直平分线，直线是线段的垂直平分线，
所以，
所以，
所以，
所以结论④正确．
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的三线合一性质，角的平分线，余角的性质，平行线的判定，熟练掌握直角三角形的性质，余角的性质，平行线的判定是解题的关键．
三.解答题一（每题7分，共3×7=21分）
16. （7分） 小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面0.9m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若小丽妈妈和爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.3m和1.5m，∠BOC=90°，∠BDO=90°,∠CEO=90°．请求出爸爸在C处接住小丽时，小丽距地面的高度是多少？
【答案】爸爸是在距离地面的地方接住小丽，理由见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的实际应用，通过证明， 进而利用证明从而得到，再根据线段的和差关系求出的长是解题的关键.
【详解】解：爸爸是在距离地面的地方接住小丽的，理由如下：
由题意可知，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵分别为和，
∴
∵，
∴，
∴爸爸是在距离地面的地方接住小丽的.
17. （7分）已知一个多边形的内角和等于外角和的2倍，求这个多边形的边数.
答案：360°×2÷180°+2=6
所以边数为6
18.(7分)如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AB的两侧，且，，．
(1)求证：△ACE≌△BDF；
(2)若AB=8,AC=2，求CD的长．
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理证明△ACE≌△DBF即可；
（2）根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：在△ACE和△BDF中，
，
∴△ACE≌△BDF（AAS）；
（2）由（1）知△ACE≌△BDF，
∴BD＝AC＝2，
∵AB＝8，
∴CD＝AB﹣AC﹣BD＝4，
故CD的长为4．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握证明三角形全等是解决问题的关键．
四.解答题二（每题9分，共3×9=27分）
19.（9分）【定义】若一个三角形三边长均为偶数，则称这个三角形为“好运三角形”例如，三边为，，10的三角形是“好运三角形”．
(1)【概念运用】在中，，，若为“好运三角形”，求的长；
(2)【变式运用】已知的周长为，，若AB的长为偶数，试判断是否为“好运三角形”．
【答案】(1)
(2)是“好运三角形”
【分析】本题考查三角形的三边关系，掌握“好运三角形”的定义，是解题的关键．
（1）先根据三边关系求出的范围，再根据新定义，确定的长即可；
（2）设为偶数)，则，根据三角形的三边关系，列出不等式组求出的取值范围，根据AB的长为偶数，求出的长，进而求出的长，再根据新定义进行判断即可．
【详解】（1）解：，
，即，
为“好运三角形”，
为偶数，
；
（2）设为偶数)，则，

解得，
为偶数，
．
，
又，
是“好运三角形”．
20.（9分）王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合．
（1）求证：△ADC≌△CEB；
（2）求两堵木墙之间的距离．
【分析】（1）根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可；
（2）利用全等三角形的性质进行解答．
【解答】（1）证明：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠BCE＝∠DAC
在△ADC和△CEB中，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
（2）解：由题意得：AD＝2×3＝6（cm），BE＝7×2＝14（cm），
∵△ADC≌△CEB，
∴EC＝AD＝6cm，DC＝BE＝14cm，
∴DE＝DC+CE＝20（cm），
答：两堵木墙之间的距离为20cm．
【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．
21. （9分）如图，于E，于F，若、．
（1）求证：AD平分：
（2）求与AE之间的等量关系．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】
【分析】（1）证，得出，用角平分线的判定证明即可；
（2）证△ADE≌△ADF，得出AE=AF即可．
【详解】解：（1）证明：∵于E，于F，
∴
在和中，
，
∴．
∴．
又∵于E，于F，
∴AD平分．
（2），
∵，AD=AD，
∴△ADE≌△ADF（HL），
∴AE=AF，
，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，解题关键是找准全等三角形，利用已知条件证明．
五、解答题三（共2小题，22题13分，24题14分，共27分）
22.（13分）观察、猜想、探究:
在△ABC中,∠ACB＝2∠B.
（1）如图① ，当∠C＝90°，AD为∠BAC的角平分线时，过D作AB的垂线DE，垂足为E，可以发现AB、AC、 CD存在的数量关系是_________;
（2）如图② ，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD是否还存在（1）中的数量关系？如果存在，请给出证明.如果不存在，请说明理由; 图 ① 图② 图③
（3）如图③ ，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明.
【答案】（1）AB＝AC+CD；（2）存在，理由见解析；（3）AB＝CD﹣AC，理由见解析
【分析】（1）根据∠ACB=90°，∠ACB=2∠B，得到∠B=45°，CD⊥AC，由线段垂直平分线的性质可得DE=CD，再证明∠B=∠EDB，得到BE=ED=CD，最后证明Rt△AED≌Rt△ACD得到AE=AC，即可得到结论；
（2）在AB上截取AG＝AC，证明△ADG≌△ADC得到CD＝DG，∠AGD＝∠ACB，再由∠ACB＝2∠B，得到∠B＝∠GDB，则BG＝DG＝DC，即可得到AB＝BG+AG＝CD+AC；
（3）在AF上截取AG＝AC，由AD为∠FAC的平分线，得到∠GAD＝∠CAD，可证△ADG≌△ACD，得到CD＝GD，∠AGD＝∠ACD，即可推出∠ACB＝∠FGD，再由∠ACB＝2∠B，推出∠B＝∠GDB，得到BG＝DG＝DC，则AB＝BG﹣AG＝CD﹣AC．
【详解】解：（1）AB＝AC+CD，理由如下：
∵∠ACB=90°，∠ACB=2∠B，
∴∠B=45°，CD⊥AC，
∵DE⊥AB，AD平分∠BAC，
∴DE=CD，∠DEB=∠DEA=90°，
∴∠EDB=180°-∠B-∠DEB=45°，
∴∠B=∠EDB，
∴BE=ED=CD，
在Rt△AED和Rt△ADC中
，
∴Rt△AED≌Rt△ACD（HL），
∴AE=AC，
∴AB+AE+BE=AC+CD；
（2）还存在AB＝CD+AC，理由如下：
在AB上截取AG＝AC，如图2所示，
∵AD为∠BAC的平分线，
∴∠GAD＝∠CAD，
∵在△ADG和△ADC中，
，
∴△ADG≌△ADC（SAS），
∴CD＝DG，∠AGD＝∠ACB，
∵∠ACB＝2∠B，
∴∠AGD＝2∠B，
又∵∠AGD＝∠B+∠GDB，
∴∠B＝∠GDB，
∴BG＝DG＝DC，
则AB＝BG+AG＝CD+AC；
（3）AB＝CD﹣AC，理由如下：
在AF上截取AG＝AC，如图3所示，
∵AD为∠FAC的平分线，
∴∠GAD＝∠CAD，
∵在△ADG和△ACD中，
，
∴△ADG≌△ACD（SAS），
∴CD＝GD，∠AGD＝∠ACD，
∵∠FGD=180°-∠AGD，∠ACB=180°-∠ACD，
∴∠ACB＝∠FGD，
∵∠ACB＝2∠B，
∴∠FGD＝2∠B，
又∵∠FGD＝∠B+∠GDB，
∴∠B＝∠GDB，
∴BG＝DG＝DC，
则AB＝BG﹣AG＝CD﹣AC．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质与定义，三角形外角的性质，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．
23（14分）如图，平面直角坐标系中有点和y轴上一动点，其中，以点A为直角顶点在第四象限内作等腰直角△ABC，（∠BAC＝90°,AB=AC）设点C的坐标为．
(1)当时，点C的坐标为 ．
(2)动点A在运动的过程中，试判断的值是否发生变化，若不变，请求出其值；若发生变化，请说明理由．
(3)当时，在坐标平面内是否存在一点P（不与点C重合），使与全等？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)动点A在运动的过程中，的值不变，详见解析
(3)或或
【分析】本题考查全等三角形判定及性质．
（1）根据题意过点C作轴于点，证明出，利用全等性质即可得到本题答案；
（2）由（1）得，利用全等性质及点坐标表示线段长即可得到本题答案；
（3）根据题意分3种情况讨论P点位置，利用全等三角形性质及判定即可得到本题答案．
【详解】（1）解：如下图，过点C作轴于点E，则，
，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
在和中，
∴（AAS），
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：动点A在运动的过程中，的值不变．理由如下：
由（1）知，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵点C的坐标为，
∴，即的值不变；
（3）解：存在一点P，使与全等，
符合条件的点P的坐标是或或，
分为三种情况讨论：
①如下图，过点P作轴于点E，则，

∴，
∴，
在和中，
，
∴（AAS），
∴，
∴，
即点P的坐标是，
②如下图，过点C作轴于点M，过点P作轴于点E，

则．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴（AAS），
∴．
∵，
∴，
即点P的坐标是；
③如下图，过点P作轴于点E，则．

∵，
∴，
∴，
∴．
在和中，
，
∴（AAS），
∴，
∴，
即点P的坐标是，
综上所述，符合条件的点P的坐标是或或．