辽宁省大连市甘井子区2024-2025学年上学期九年级期中数学试卷

这是一份辽宁省大连市甘井子区2024-2025学年上学期九年级期中数学试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.我国古代数学的许多创新与发明都在世界上具有重要影响.下列图形“杨辉三角”、“赵爽弦图”、“刘徽割圆术”、“中国七巧板”中，属于中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.用配方法解方程，下列配方正确的是( )
A. B. C. D.
3.如图，根据二次函数的图象，一元二次方程的解是( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
4.一元二次方程根的情况是( )
A. 无实根B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根D. 无法确定
5.已知点，都在反比例函数的图象上.如果，且，则，的大小关系是( )
A. B. C. D. 无法确定
6.关于二次函数，下列结论不正确的是( )
A. 开口向上B. 时，y随x的增大而减小
C. 对称轴是直线D. 顶点坐标为
7.如图：已知点A的坐标为，菱形ABCD的对角线交于坐标原点O，则C点的坐标是( )
A.
B.
C.
D.
8.利用位似可以设计有立体感的美术字.如图，是某同学以点O为位似中心，设计“MATH”中字母“M”美术字的一种方法.若，，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
9.数学活动课上，小明为了测量学校旗杆的高度，在他脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到旗杆顶端C，此时，小明画出如图所示的示意图，并估计他的眼睛与地面的距离为，同时测得，，则旗杆的高度为( )
A. 10m
B.
C.
D. 40m
10.如图，取一根长100cm的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来.在中点O的左侧距离中点O10cm处悬挂一个重量已知的物体，在中点O右侧用一个弹簧测力计向下拉，使木杆处于水平状态.改变弹簧测力计与中点O的距离单位：，观察弹簧测力计的示数单位：的变化，发现：单位：是单位：的函数，部分数据对应如下：
若弹簧测力计的示数F为，则弹簧测力计与中点O的距离L为( )
A. B. C. 35cmD. 36cm
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.方程的根是______.
12.反比例函数的图象经过第一、三象限，则常数m的取值范围是______.
13.如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，连接若，，则线段BD的长为______.
14.小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体AB在幕布前形成倒立的实像点A，B的对应点分别是C，若物体AB的高为6cm，小孔O到物体和实像的水平距离BE，CE分别为8cm、6cm，则实像CD的高度为______
15.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点M是x轴上一动点，连接AM，作线段AM的垂直平分线，过点M作x轴的垂线，记，的交点为P，改变点M的位置，可以得到相应的点P，设点P的坐标是，则y关于x的函数解析式为______.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题10分
用适当的方法解方程：
；
17.本小题8分
如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，
以点O为对称中心，画出关于点O的对称图形；
以点O为旋转中心，将顺时针旋转得到，画出，并直接写出的坐标______.
18.本小题8分
蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流单位：与电阻单位：之间的函数关系如图所示.
求这个函数的解析式；
如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过10A，那么用电器可变电阻应控制在什么范围？
19.本小题8分
某商场销售一种商品，经市场调查发现，每件盈利20元，每星期可卖出300件.为吸引顾客，商场决定在“双十一”期间进行促销活动.若每件商品降价1元，每星期可多卖出20件.
为了实现该商品每星期3000元的销售利润，则每件需降价多少元？
该商品每星期的销售利润能否达到6200元？如果能，求出每件盈利；如果不能，请说明理由.
20.本小题8分
如图，于点B，于点D，，，，点P从点D出发，沿DB方向以每秒3个单位长度的速度向终点B匀速运动，连接AP，CP，过点A作交DB的延长线于点E，设点P的运动时间为t秒.
当时，求证：∽；
当时，若与相似，求线段BE的长.
21.本小题8分
【发现问题】
在2024年巴黎奥运会跳水女子双人10米跳台决赛中，中国选手陈芋汐和全红婵夺得金牌，跳水梦之队实现该项目七连冠.两位选手如同复制粘贴般上演“水花消失术”，令人叹为观止.我们把运动员从跳台上起跳、腾空到入水，近似看成是一条漂亮的抛物线.
【提出问题】
在如图所示的平面直角坐标系中，如果将运动员从点A处起跳后的运动路线看作是抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她运动的竖直高度单位：与水平距离单位：之间有怎样的函数关系.
【分析问题】
小美完成一次试跳，记录仪记录了她运动时的竖直高度y与水平距离x的几组数据如下：
请把如表中x，y的各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，画出小美运动的抛物线草图，并求出y关于x的函数解析式；
【解决问题】
双人10米跳台要求两位运动员同步完成动作.从数学的角度分析，至少要满足竖直距离的最大值及入水时入水点距跳台的水平距离分别相等.小美和小丽完成了一次双人10米跳台训练，小美的数据如上表中所示，小丽的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系
①用，分别表示小美，小丽在空中最高点的竖直距离，则______填“>”“<”或“=”；
②在距水面高5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则容易失误小美和小丽在空中调整好入水姿势时，水平距离恰好都是米，她们本次训练是否会失误，请通过计算说明理由.
22.本小题12分
【问题背景】
数学课上，我们以等腰直角三角形为背景，利用旋转的性质研究线段和角的关系.老师给出了下面的已知条件：
在中，，，点D是边上的一动点，点P是外任意一点，过点D与点P作射线DP，将射线DP绕点D逆时针旋转得到射线
【问题初探】
如图1，点D与直角顶点B重合，射线DP交边AC于点E，点F在射线DQ上，且满足，连接求证：，
【问题深探】
如图2，点D在直角边AB上，射线DP恰巧经过点C，点F在射线DQ上，且满足，连接请直接写出AC，AD，AF之间的数量关系是______.
【问题拓展】
点D在斜边AC上，且，射线DP交边AB于点E，射线DQ交边CB于点
①如图3，当，，时，求线段AC的长；
②如图4，连接BD，请直接写出BE，BD，BF之间的数量关系______用含k的代数式表示
23.本小题13分
抛物线与x轴交于点，与y轴交于点
求抛物线的解析式；
将抛物线顶点的横坐标加1，纵坐标不变，得到抛物线
①请直接写出______，______；
②若点A，B为抛物线上的点，横坐标分别为，t，点A，B之间包括端点的函数图象称为图象M，设图象M的最高点与最低点的纵坐标分别为，，当时，求t的值；
③点C为抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点C作轴交抛物线于点D，过点C作y轴的垂线交抛物线于点E，过点D作y轴的垂线交抛物线于点F，设以C，D，E，F为顶点的图形面积为S，当点C在D的上方，以C，D，E，F为顶点的图形是四边形时，请直接写出此时m的取值范围______.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：选项A、C、D的图形不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项B的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
故选：
根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
本题主要考查了中心对称图形，关键是找出对称中心．
2.【答案】C
【解析】解：，
，
故选：
先把常数项移到方程右边，再方程两边同时加上9，然后利用完全平方公式把方程左边写成完全平方式即可．
本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．解决本题的关键是方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
3.【答案】C
【解析】解：根据函数图象可知，二次函数的图象与x轴的交点坐标为和，
一元二次方程的解是，，
故选：
根据函数图象得出二次函数图象与x轴的交点，即可得出方程的解．
本题考查了抛物线与x轴的交点，关键是对二次函数图象与x轴交点横坐标与一元二次方程的解的关系．
4.【答案】A
【解析】解：
一元二次方程无实数根，
故选：
先求出的值，再判断，即可解题．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：①当，方程有两个不相等的实数根；②当，方程有两个相等的实数根；③当，方程没有实数根．
5.【答案】C
【解析】解：反比例函数的，
反比例函数的图象分布在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，
，
点，分布在同一支图象上，
，
故选：
根据反比例函数分析出反比例函数的图象分布在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，再根据，说明点，分布在同一支图象上，最后根据反比例函数增减性确定大小即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该性质是关键．
6.【答案】B
【解析】解：二次函数，
，该函数图象开口向上，故选项A正确，不符合题意；
抛物线的对称轴是直线，
时，y随x的增大而减小，故选项B错误，符合题意；选项C正确，不符合题意；
顶点坐标为，故选项D正确，不符合题意．
故选：
根据函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
本题考查二次函数的图象和性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
7.【答案】B
【解析】解：四边形ABCD为菱形，
，，
点O为坐标原点，
点A和点C关于原点对称，点B和点D关于原点对称，
点A的坐标为，
点坐标为，
故选：
由菱形的性质可知点A和点C关于原点对称，结合条件可求得点C点的坐标．
本题考查了菱形的性质，坐标与图形性质，掌握菱形的性质是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：该图形是以点O为位似中心，
，，
故选：
根据位似图形的性质知：，代入数值求解即可．
本题考查的是位似变换．位似变换的两个图形相似．根据相似多边形对应边成比例．
9.【答案】A
【解析】解：由题意得，，，
根据镜面反射可知：，
，，
，
∽，
，
，
，
，
解得，
则旗杆的高度为10米．
故选：
根据镜面反射性质，可求出，再利用垂直求，得出∽，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案．
本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于熟练掌握镜面反射的基本性质和相似三角形的性质．
10.【答案】C
【解析】解：，
与L之间的表达式为，
当时，得，
解得，
若弹簧测力计的示数F为，则弹簧测力计与中点O的距离L为
故答案为：
根据表格中变量之间的变化规律，写出F与L之间的表达式，将代入表达式求出对应L的值即可．
本题考查函数的表示方法，根据变量之间的变化规律，写出F与L之间的表达式是解题的关键．
11.【答案】，
【解析】解：，
或，
，
故答案为，
方程左边分解得到，原方程转化为或，然后解一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程右边化为0，再把方程左边因式分解，这样把原方程转化为两个一元一次方程，然后解一次方程即可得到原方程的解．
12.【答案】
【解析】解：反比例函数的图象经过第一、三象限，
，
解得：
故答案为：
根据反比例函数性质解答即可．
本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数性质是关键．
13.【答案】
【解析】解：由旋转的性质可知：，
在中，，，，
，
又旋转角为，
，
在中，，
即BD的长为，
故答案为：
根据旋转的性质可知：，，应用勾股定理求出AB的长；又由旋转的性质可知：，再用勾股定理即可求出BD的长．
本题考查了旋转的性质与勾股定理的应用，解题的关键是利用旋转的性质判定的形状与边AB、AD的长．
14.【答案】
【解析】解：，
，
，
∽，
，
，
，
答：实像CD的高度为，
故答案为：
根据相似三角形的判定和性质定理即可得到答案．
本题考查了相似三角形的应用：常常构造“A”型或“X”型相似图，利用三角形相似，对应边成比例可求线段的长度．
15.【答案】
【解析】解：如图，连接AP，过A点作交于点N，
线段AM的垂直平分线为，
，
点P的坐标是，
，，，
在中，根据勾股定理得：，
，
故答案为：
连接AP，过A点作交于点N，可知，，，在中由勾股定理即可求答案．
本题考查了函数关系式，线段垂直平分线的性质和勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质，勾股定理是解题的关键．
16.【答案】解：，
，即，
则，
，；
，，，
，
则，即，
【解析】利用配方法求解即可；
利用公式法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
17.【答案】
【解析】解：如图，即为所求．
如图，即为所求．
由图可得，的坐标为
故答案为：
根据中心对称的性质作图即可．
根据旋转的性质作图，即可得出答案．
本题考查作图-旋转变换，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键．
18.【答案】解：设反比例函数解析式为，
图象经过点，
，
解得，
与R之间的函数解析式为；
用电器限制电流不超过10A，
，
即，
，
答：用电器可变电阻应控制在或以上．
【解析】先由电流I是电阻R的反比例函数，可设，将点代入函数解析式，利用待定系数法即可求出这个反比例函数的解析式；
将代入中所求的函数解析式即可确定电阻的取值范围．
本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是正确地从题干中整理出函数模型，并利用函数的知识解决实际问题．
19.【答案】解：设每件降价x元，则每件盈利元，每星期可卖出件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：不符合题意，舍去，
答：每件需降价15元；
该商品每星期的销售利润不能达到6200元，理由如下：
假设该商品每星期的销售利润能达到6200元，设每件降价y元，则每件盈利元，每星期可卖出件，
根据题意得：，
整理得：，
，
原方程没有实数根，
假设不成立，
即该商品每星期的销售利润不能达到6200元．
【解析】设每件降价x元，则每件盈利元，每星期可卖出件，利用总利润=每件的销售利润每星期的销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
假设该商品每星期的销售利润能达到6200元，设每件降价y元，则每件盈利元，每星期可卖出件，利用总利润=每件的销售利润每星期的销售量，可列出关于y的一元二次方程，由根的判别式，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即该商品每星期的销售利润不能达到6200元．
本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程；牢记“当时，方程无实数根”．
20.【答案】解：当时，，，
，，
：：3，BP：：：3，
：：：3，
，
，
，
，
∽；
当时，，，
点P从点D出发，沿DB方向以每秒3个单位长度的速度向终点B匀速运动，
，
解得：，
，
，
，
∽，
AB：：PD，
：：3t，
，
若与相似，有以下两种情况：
①当∽时，则，如图1所示：
，
，
，
，
解得：，
；
②当∽时，则AB：：AB，如图2所示：

：：2，
整理得：，
解得：，或，
，
不合题意，舍去，
，
综上所述：线段BE长为或
【解析】当时，，，进而得AB：：：3，再根据即可得出结论；
当时，，，依题意得，先证明相似得，分两种情况讨论如下：①当∽时，则，由此得，进而得，即，据此解出t即可；②当∽时，则AB：：AB，即2：：2，据此解出t即可，综上所述即可线段BE的长．
此题主要考查了相似三角形的判定和性质，准确识图，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点．
21.【答案】>
【解析】解：由题意，根据表格数据可以作图如下．
图象过，，
抛物线的对称轴是直线
顶点为
可设抛物线为
又抛物线过，
抛物线为
①由题意，小丽的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系为，
又，
故答案为：
②由题意，对于小美而言，其对应抛物线为，
令，则
又对于小丽而言，其对应抛物线为，
令，则
她们本次训练不会失误．
依据题意，根据表格数据即可作图；又图象过，，故抛物线的对称轴是直线，从而顶点为，可设抛物线为，再结合抛物线过，可得，求出a即可判断得解；
①依据题意，由小丽的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系为，从而，结合，进而可以判断得解；
②依据题意，对于小美而言，其对应抛物线为，再令，则，又对于小丽而言，其对应抛物线为，再令，则，进而可以判断得解．
本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
22.【答案】
【解析】证明：，，
又，
，
，，
≌，
，，
，
，
，
；
如图，过F作交BA延长线于点H，则，
，
，
，
≌，
，，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
是等腰直角三角形，
；
故答案为：；
①方法一：解：过点D作于点M，于点N，
，
，
，
∽，
，
，，
，
，，
，
，
，
∽，
，
设，
，，
，，，
，
，
，
，
，，
；
方法二：解：过点D作于点M，过点D作交BC于点
，
，
，
∽，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
，，，
，，
；
②如图，作交BC于点N，则，
，
，
根据四边形内角和可得出，
，
，
∽，
，
，，
在中，，
，
即，
，
故答案为：
利用边角边证≌，得到，再通过倒角即可证出；
构造一线三垂直全等，过F作交BA延长线于点H，先证≌，得到，，在证出，进而得到，再通过即可得解；
①过点D作于点M，于点N，先证∽，得到，再证∽，得出，设参，利用建立方程即可得解；
②根据前述思路构造旋转相似，所以作交BC于点N，先证∽，得到，进而得出，，在中利用勾股定理将BF、BE、BD转化在一起即可得解．
本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
23.【答案】或
【解析】解：把点，点代入抛物线中，
，解得：
抛物线
①将抛物线的顶点的横坐标加1，纵坐标不变，
得到抛物线的顶点坐标为，
故，
，
②当时，，当时，
，当时，，
情况一：当时，
，，
，
，
，舍去，
情况二：当，
，，
，
，舍去，
情况三：当时，
，，
，
，
情况四：当时，
，，
，
，舍去
综上所述，t的值为或或或
③由题意可设点，，，
则当时，如图1所示，
，，，
根据梯形面积公式可得：，
，
即，解得：；
当时，且点C在D的上方，如图2所示，
此时，，，，
故，
令，解得：
综上所述，m的取值范围为：或
故答案为：或
把点，点代入抛物线中，即可求解；
①抛物线的顶点坐标为，横坐标加1，纵坐标不变后得新抛物线的顶点为，据此可得新抛物线的顶点表达式，进而化简即可求解，；
②结合对称轴分当时、、、四类讨论即可；
③由题意可设点，，，画出示意图，把以C，D，E，F为顶点的四边形面积表示出来，代入中，解不等式即可．
本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，二次函数最值的分类讨论，四边形面积的求法，一元二次不等式的解法，综合性强，难度大，熟悉以上内容并结合分类讨论是解题关键．…
49
14
…
…
2
4
5
7
…
水平距离
3
竖直高度
10
10