云南省昆明市五华区2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

这是一份云南省昆明市五华区2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）亚洲、欧洲、非洲和南美洲的最低海拔如下表：
其中最低海拔最小的大洲是（ ）
A．亚洲B．欧洲C．非洲D．南美洲
2．（2分）一年之中地球与太阳之间的距离随时间而变化，1个天文单位是地球与太阳之间的平均距离，约为1.496亿千米.149600000用科学记数法可以表示为（ ）
A．14.96×107B．1.496×108
C．1.496×109D．0.1496×109
3．（2分）我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2分）下列运算正确的是（ ）
A．3x2+2x2＝6x4B．（﹣2x2）3＝﹣6x6
C．x3•x2＝x6D．﹣6x2y3÷2x2y2＝﹣3y
5．（2分）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，其奖牌取名“湖山”，以良渚文化中的礼器玉琮为表征，将八边形和圆形奖章融为一体，这个八边形的内角和是（ ）
A．720°B．900°C．1080°D．1260°
6．（2分）若有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣2B．x≠﹣2C．x≠0D．x≠2
7．（2分）如图，直线a∥b，∠1＝65°，∠B＝45°，则∠2的度数为（ ）
A．105°B．110°C．117°D．125°
8．（2分）按一定规律排列的单项式：x，﹣2x2，4x3，﹣8x4，16x5，﹣32x6，…，第n个单项式为（ ）
A．（﹣1）n2nxnB．（﹣1）n+12nxn
C．（﹣1）n+12n﹣1xnD．（﹣1）n2n+1xn
9．（2分）三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35＝0的根，则该三角形的周长为（ ）
A．12B．14
C．12或14D．以上都不对
10．（2分）如图，圆锥形的烟囱帽的底面圆的周长是24πcm，其侧面展开图是圆心角为180°的扇形，则它的母线长是（ ）
A．6cmB．10cmC．20cmD．24cm
11．（2分）如图，点P是∠AOC的角平分线上一点，PD⊥OA，垂足为D，且，点M是射线OC上一动点，则PM的值可能是（ ）
A．3B．4C．5D．6
12．（2分）为了解学生的视力情况，从甲、乙两班各随机抽取8名学生进行调查，并将统计数据绘制成如图所示的折线统计图，图中视力值均在格线上，则下列说法错误的是（ ）
A．乙班视力值的众数是4.7
B．甲、乙两班视力值的平均数相等
C．甲、乙两班视力值的中位数相等
D．视力值的波动程度甲班大于乙班
13．（2分）如图，在⊙O中，AB是直径，点C是圆上一点．在AB的延长线上取一点D，CD是⊙O的切线，若∠ACD＝120°，，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
14．（2分）已知直线经过点A（2，m）和点B（n，﹣6），若点A与点B关于原点对称，则这条直线对应的函数解析式是（ ）
A．B．y＝3xC．D．
15．（2分）如图，⊙O的直径AB为4，AC＝BC，点D为AC的中点，点P沿路线A→B→C运动，连接CP，DP．用x表示点P的运动路程，y表示△CPD的面积下列图象适合表示y与x的对应关系的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）
16．（2分）分解因式：2a3﹣8ab2＝ ．
17．（2分）某中学为了解全校学生参加“交通法规”知识竞赛的成绩情况，随机抽取了一部分学生的成绩，并将这部分成绩分成四组（A：60≤x＜70，B：70≤x＜80，C：80≤x＜90，D：90≤x＜100）．根据调查数据绘制了如下所示不完整统计图．
若该校共有学生1400人，则这次竞赛成绩在D组的学生大约有 人．
18．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根据下列步骤作图，并保留作图痕迹：
（1）分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN，该直线交AC于点D，交AB于点E，连接CE；
（2）以点C为圆心，适当长为半径作弧，交AC于点G，交BC于点H，分别以点G，H为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在∠ACB的内部相交于点P，连接CP并延长交AB于点F．若∠A＝30°，则∠ECF＝ °．
19．（2分）若关于x的方程有两个相等的实数根，则的值为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共62分）
20．（7分）计算：．
21．（6分）如图，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：△ABC≌△DEF．
22．（7分）在综合与实践活动中，数学兴趣小组想通过清洗夏季校服来探索清洗衣物的节水策略．
【洗衣目标】
经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于0.01%．
【洗衣过程】
步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干；
步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．
重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标．
假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为0.2%，每次拧干后校服上都残留0.5kg水．
浓度关系式：．其中d前、d后分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；w为单次漂洗所加清水量（单位：kg）．
根据以上信息完成下列任务：
（1）如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%，需要多少清水？
（2）如果把4kg清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？
23．（6分）某景区为吸引游客，推出系列活动，其中一项活动是赢玩偶游戏
游戏准备：取一枚硬币和四个小球，在这四个小球上分别标记数字1，2，3，4．每个小球除数字不同外其余均相同，将这四个小球放入一个不透明的箱子中．
游戏流程：第一步，参与者掷一次硬币，若该硬币正面向上，则记为数字1；若该硬币反面向上，则记为数字0．第二步，参与者从箱子里的四个小球中随机摸出一个，记录所摸小球上的数字．
获奖规则：若以上两步所得的数字之和大于3，则可赢得玩偶，其余情况不能赢得玩偶．
乐乐想知道参加一次游戏就能获得玩偶的概率，请你用列表法或画树状图法中的一种方法，帮他求出这个概率．
24．（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，AC、BD相交于点O，E为AB的中点，连接OE，过点E作EF⊥BC于点F，过点O作OG⊥BC于点G．
（1）求证：四边形EFGO是矩形；
（2）若四边形ABCD是菱形，AB＝10，BD＝16，求OG的长．
25．（8分）某校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为师生的午餐，这两种食品每包的营养成分表如下：
（1）若要从这两种食品中摄入3000kJ热量和45g蛋白质，应选取A，B两种食品各多少包？
（2）若每份午餐选取这两种食品共5包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于60g，且热量最低，应如何选取这两种食品？
26．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，AB＝BC，连接BD，过点D的直线与CA的延长线交于点E，且∠EDA＝∠ECD．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）以下与线段AD，线段CD，线段BD有关的三个结论：
①AD+CD＝BD，
②，
③，你认为哪个正确？请说明理由．
27．（12分）在平面直角坐标系中，M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线y＝ax2+bx﹣5上任意两点，设抛物线的对称轴为直线x＝t．（1）若M（﹣2，15），N（3，5），求t的值；
（2）求证：当点M，N的坐标是M（﹣m，0），N（3m，0）时，3b2﹣20a＝0；
（3）若对于任意x1，x2（0＜x1＜1，1＜x2＜2），都有y1＞y2，求t的取值范围．
2024-2025学年云南省昆明市五华区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分）
1．【分析】比较各负数的绝对值，绝对值最大的，海拔就最低，故可得出答案．
【解答】解：|﹣432|＝432，|﹣28|＝28，|﹣156|＝156，|﹣40|＝40
∵432＞156＞40＞28，
∴﹣432＜﹣156＜﹣40＜﹣28，
∴海拔最低的是亚洲．
故选：A．
【点评】本题考查的是有理数的大小比较与正数和负数，掌握正数和负数的意义是解题的关键．
2．【分析】把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
【解答】解：149600000＝1.496×108，
故选：B．
【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．
3．【分析】中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转180°，能够与自身重合的图形．轴对称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．依据定义判断．
【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意．
C．是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意．
D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键．
4．【分析】根据整式中合并同类项、幂的乘方、同底数幂相乘、单项式除单项式法则逐项运算判断即可．
【解答】解：A、3x2+2x2＝5x2，原选项计算错误，不符合题意；
B、（﹣2x2）3＝﹣8x6，原选项计算错误，不符合题意；
C、x3•x2＝x5，原选项计算错误，不符合题意；
D、﹣6x2y3÷2x2y2＝﹣3y，原选项计算正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了整式运算中的合并同类项、幂的乘方、同底数幂相乘、单项式除单项式法则，熟练这些法则是解该类题目的关键．
5．【分析】利用多边形内角和定理，即可求出八边形的内角和．
【解答】解：根据题意得，八边形的内角和是（8﹣2）×180°＝1080°．
故选：C．
【点评】本题考查了多边形内角，掌握多边形内角和定理是关键．
6．【分析】根据分母不为零的条件进行解题即可．
【解答】解：当分母不为零时，有意义，
即x﹣2≠0，
解得x≠2．
故选：D．
【点评】本题考查分式有意义的条件，熟练掌握分母不为零的条件是解题的关键．
7．【分析】根据a∥b可得出∠DCB＝∠1＝65°，再根据三角形外角的性质可得结论．
【解答】解：∵a∥b，∠1＝65°，
∴∠DCB＝∠1＝65°，
∵∠B＝45°，
∴∠2＝∠B+∠DCB＝45°+65°＝110°，
故选：B．
【点评】本题主要考查平行线的性质和三角形外角的性质，熟记平行线的性质和三角形外角的性质是解题的关键．
8．【分析】分别从符号、符号后的数字、以及字母的指数三方面找规律即可．
【解答】解：根据一列单项式，可以发现系数的符号由奇偶性决定，所以为（﹣1）n+1，其后的数字为2n﹣1，字母为xn，
∴第n个单项式为（﹣1）n+12n﹣1xn．
故选：C．
【点评】本题考查数字的变化规律，解决本题的关键是明确题意，发现单项式的变化特点．
9．【分析】首先利用因式分解法求出方程的根，再根据三角形三边关系定理，确定第三边的长，进而求其周长．
【解答】解：解方程x2﹣12x+35＝0，
得x1＝5，x2＝7，
即第三边的边长为5或7．
∵三角形两边的长是3和4，
∴1＜第三边的边长＜7，
∴第三边的边长为5，
∴这个三角形的周长是3+4+5＝12．
故选：A．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，三角形的三边关系．已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
10．【分析】根据弧长公式列方程求解即可．
【解答】解：∵圆锥的底面圆的周长为24π cm，
∴它的侧面展开图的弧长为24π cm，
设母线的长为l，
∴24π＝，
解得l＝24，
∴母线长是24cm．
故选：D．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了弧长和勾股定理．
11．【分析】当PM⊥OC时，PM的值最小，根据角平分线的性质求出PD＝PM，再求出答案即可．
【解答】解：当PM⊥OC时，PM的值最小，
∵PD⊥OA，点P是∠AOC的角平分线上一点，PM⊥OC，
∴PD＝PM，
∵PD＝，
∴PM＝，
即PM≥，
故选：D．
【点评】本题考查了垂线的性质和角平分线的性质，能找出点P的位置是解此题的关键，注意：垂线段最短，角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
12．【分析】根据折线统计图中的数据，依据众数、中位数及平均数的定义和方差的意义求解即可．
【解答】解：由折线统计图知，乙班数据为4.4、4.4、4.7、4.7、4.7、4.8、4.9、5.0，
所以乙班视力值的众数是4.7，故A选项正确，不符合题意；
甲班数据为4.5、4.6、4.6、4.7、4.7、4.8、4.8、4.9，
则甲班视力值的平均数为×（4.5+4.6+4.6+4.7+4.7+4.8+4.8+4.9）＝4.7，
乙班视力值的平均数为×（4.4+4.4+4.7+4.7+4.7+4.8+4.9+5.0）＝4.7，故B选项正确，不符合题意；
甲班视力值的平均数为＝4.7，乙班视力值的平均数为＝4.7，故C选项正确，不符合题意；
由折线统计图知，甲班视力值的波动幅度小于乙班，故D选项错误，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了折线统计图．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．折线统计图表示的是事物的变化情况，也考查了中位数、平均数，极差及方差的定义．
13．【分析】连接OC，由切线的性质、等腰三角形的性质和圆周角定理求得∠BOC＝2∠A＝60°，在Rt△OCD中，解直角三角形得OC＝2，然后利用S阴影＝SRt△OCD﹣S扇形BOC即可解答．
【解答】解：连接OC，
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，即∠OCD＝90°，
∴∠ACO＝∠ACD﹣∠OCD＝120°﹣90°＝30°，
∵OC＝OA，
∴∠A＝∠ACO＝30°，
∴∠BOC＝2∠A＝60°，
∵∠OCD＝90°，
∴，
∴阴影部分的面积＝S△OCD﹣S扇形BOC＝＝2﹣．
故选：D．
【点评】本题主要考查圆周角定理，切线的性质，扇形的面积公式，等腰三角形的性质，三角形的面积，解直角三角形，熟练掌握性质是解题关键．
14．【分析】由点A，B关于原点对称，可求出m，n的值，进而可得出点A，B的坐标，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出直线对应的函数解析式．
【解答】解：∵点A（2，m）和点B（n，﹣6）关于原点对称，
∴m＝6，n＝﹣2，
∴点A的坐标为（2，6），B（﹣2，﹣6）．
设这条直线对应的函数解析式为y＝kx+b（k≠0），
∴，
解得：k＝3，b＝0，
∴这条直线对应的函数解析式为y＝3x．
故选：B．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及关于原点对称的点的坐标，由点A，B关于原点对称，求出点A的坐标是解题的关键．
15．【分析】根据等腰三角形的性质，勾股定理以及三角形的面积公式求出△ABD和△BDC的面积为2，进而得出点D到AB和点D到BC的距离，从而得出P在AC上与P在BC上时y与x的函数关系式，再进行判断即可．
【解答】解：∵⊙O的直径AB为4，AC＝BC，
∴AC＝BC＝2，
∵点D为AC中点，
∴AD＝CD＝，
∴S△ABD＝S△BDC＝S△ABC＝2，
∴BD＝＝，
设点D到AB的距离为h，
∴S△ABD＝AB•h＝2，
即×4h＝2，
解得h＝1，
∴点D到AB的距离为1，
同理可得点C到AB的距离为2，
当P在AB上时，AP的长为x，
∴S△CPD＝S△APC﹣S△APD＝×2•x﹣×1•x＝x（0≤x≤4）；
当P在BC上时，PC的长为：4+2﹣x，
∴S△CPD＝PC•CD＝××（4+2﹣x）＝﹣x+2+2（4＜x＜4+2），
故只有选项A符合题意．
故选：A．
【点评】此题考查动点问题的函数图象，关键是根据题意得出解析式，然后根据解析式判断函数图象．
二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）
16．【分析】直接提取公因式2a，再利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：原式＝2a（a2﹣4b2）
＝2a（a+2b）（a﹣2b）．
故答案为：2a（a+2b）（a﹣2b）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
17．【分析】先由B组人数及其所占百分比得出总人数，再用总人数乘以样本中D组人数所占比例即可．
【解答】解：∵被调查的总人数为12÷20%＝60（人），
∴这次竞赛成绩在D组的学生大约有1400×＝420（人），
故答案为：420．
【点评】本题考查频数分布直方图、扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系是解决问题的前提，掌握频率＝是正确解答的关键．
18．【分析】（1）根据题中的步骤作图；
（2）根据线段的垂直平分线的性质和角的平分线的性质求解．
【解答】解：（1）DE即为所求；
（2）CF即为所求；
由作图得：DE垂直平分AC，CF平分∠ACB，
∴AE＝CE，∠ACF＝∠ACB＝45°，
∴∠ACE＝∠A＝30°，
∴∠ECF＝∠ACF﹣∠ACE＝15°，
故答案为：15°．
【点评】本题考查了复杂作图，掌握线段的垂直平分线的性质和角的平分线的性质是解题的关键．
19．【分析】根据根的判别式的意义得到Δ＝（﹣2k）2﹣4××（﹣4k+1）＝0，所以2k2＝1﹣4k，然后利用降次的方法和整体代入的方法进行计算．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣2k）2﹣4××（﹣4k+1）＝0，
∴2k2＝1﹣4k，
∴原式＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝49．
故答案为：49．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系，当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．灵活运用降次的方法是解决问题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共62分）
20．【分析】先根据有理数的乘方、负整数指数幂、绝对值、零指数幂、算术平方根的定义计算，再合并即可．
【解答】解：
＝﹣1+（﹣2）++1+
＝．
【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
21．【分析】根据BE＝CF求出BC＝EF，再根据全等三角形的判定定理SSS推出即可．
【解答】证明：∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
即BC＝EF，
在△ABC 和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等．
22．【分析】（1）依题意，直接代入公式求解w即可得解；
（2）依题意，先求得第一次漂洗后的洗衣液溶度，再求第二次漂洗后洗衣液的溶度看是否≤0.01%即可．
【解答】解：（1）依题意，把d后＝0.01%，d前＝0.2%代入：
，
解得：w＝9.5，
经检验，w＝9.5是原分式方程的解，且符合题意，
所以，只经过一次漂洗，使校服上残留的洗衣液浓度降为0.01%，需要9.5 kg清水；
（2）第一次漂洗：把w＝2 kg，d前＝0.2%代入：
，
得到d后＝0.04%，
第二次漂洗：把w＝2 kg，d前＝0.04%代入：
，
得到d后＝0.008%，
而0.008%＜0.01%，
所以进行两次漂洗，能达到洗衣目标．
【点评】本题考查了分式的应用题，做题要注意解分式方程要检验．
23．【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：列表如下：
由表知，共有8种等可能结果，其中两次所得的数字之和大于3的有3种结果，
所以他获得玩偶的概率为．
【点评】本题考查列表法和树状图法，解答此类问题的关键是明确题意，写出所有的可能情况，求出相应的概率．
24．【分析】（1）由平行四边形的性质得OA＝OC，进而证明OE是△ABC的中位线，得OE∥BC，再证明四边形EFGO是平行四边形，然后由矩形的判定即可得出结论；
（2）由菱形的性质得BC＝AB＝10，OA＝OC，OB＝OD＝BD＝8，AC⊥BD，进而由勾股定理得OC＝6，再由矩形的性质得∠OGF＝90°，则OG⊥BC，然后由三角形面积求出OG的长即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
∵E为AB的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE∥BC，
∵EF⊥BC，OG⊥BC，
∴EF∥OG，∠EFG＝90°，
∴四边形EFGO是平行四边形，
又∵∠EFG＝90°，
∴平行四边形EFGO是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，BD＝16，
∴BC＝AB＝10，OA＝OC，OB＝OD＝BD＝8，AC⊥BD，
∴∠BOC＝90°，
∴OC＝＝＝6，
由（1）可知，四边形EFGO是矩形，
∴∠OGF＝90°，
∴OG⊥BC，
∴S△OBC＝BC•OG＝OB•OC，
∴OG＝＝＝4.8，
即OG的长为4.8．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的性质、三角形中位线定理、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
25．【分析】（1）设选用A种食品x包，B种食品y包，根据要从这两种食品中摄入3000kJ热量和45g蛋白质，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设选用A种食品m包，则选用B种食品（5﹣m）包，根据要使每份午餐中的蛋白质含量不低于60g，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设每份午餐的总热量为w kJ，利用每份午餐的总热量＝每包A种食品的热量×选用A种食品的数量+每包B种食品的热量×选用B种食品的数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设选用A种食品x包，B种食品y包，
根据题意得：，
解得，
答：应选用A种食品3包，B种食品1包；
（2）设选用A种食品m包，则选用B种食品（5﹣m）包，
根据题意得：10m+15（5﹣m）≥60，
解得：m≤3．
设每份午餐的总热量为w kJ，则w＝700m+900（5﹣m），
即w＝﹣200m+4500，
∵﹣200＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝3时，w取得最小值，此时5﹣m＝5﹣3＝2．
答：应选用A种食品3包，B种食品2包．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
26．【分析】（1）证明△EDA∽△ECD，进而求解；
（2）证明△ABD≌△CBG（ASA），得到AD＝CG，BD＝BG，则DG＝CG+CD＝AD+CD，进而求解．
【解答】（1）证明：如图1，连接OD，
∵AC是⊙O的直径．
∴∠ADC＝90°，即∠ADO+∠ODC＝90°．
∵∠EDA＝∠ECD，∠E＝∠E，
又∵∠AED＝∠DEC，
∴△EDA∽△ECD，
∴∠EDA＝∠ECD，
∵OC＝OD，
∴∠ODC＝∠ECD
∴∠EDA＝∠ODC，
∴∠ADO+∠EDA＝90°，即∠EDO＝90°．
∴OD⊥DE
又∵OD是半径，
∴直线DE是⊙O的切线；
（2）解：②正确，理由如下：
过点B作BG⊥BD交DC延长线于点G，如图2，
∴∠DBG＝90°．
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ABD+∠DBC＝∠CBG+∠DBC＝90°，
∴∠ABD＝∠CBG，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BAD＝∠BCG，
∵AB＝CB，
∴△ABD≌△CBG（ASA），
∴AD＝CG，BD＝BG，
∴DG＝CG+CD＝AD+CD，
∵∠DBG＝90°，BD＝BG，
∴∠G＝45°，
则DG＝BD，
∴AD+CD＝BD．
【点评】本题考查圆周角定理，切线的判定，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等，正确作辅助线是解题的关键．
27．【分析】（1）把M（﹣2，15），N（3，5）代入y＝ax2+bx﹣5，得到a＝﹣b，再根据t＝﹣代入数据计算即可求解；
（2）利用对称轴的性质求得b＝﹣2am，把M（﹣m，0）代入y＝ax2+bx﹣5，求得a＝，得到b＝﹣2am＝﹣，再代入计算即可求解；
（3）先求得，分当a＞0和a＜0时，两种情况讨论，即可求解．
【解答】（1）解：由题意得t＝﹣，把M（﹣2，15），N（3，5）代入y＝ax2+bx﹣5，
得，
②×2﹣①得14a+8b＝0，
即a＝﹣b，
∴t＝﹣；
（3）证明：由题意得t＝﹣＝＝m，即b＝﹣2am，
把M（﹣m，0）代入y＝ax2+bx﹣5，
得am2﹣bm﹣5＝0，
即am2＝bm+5＝5﹣2am2，
整理得a＝，b＝﹣2am＝﹣，
∴3b2﹣20a＝3×（﹣）2﹣20×＝0，
∴3b2﹣20a＝0．
（3）解：∵0＜x1＜1，1＜x2＜2，
∴，且x1＜x2，
当a＞0时，
∵y1＞y2，
∴（x2，y2） 离对称轴更近，则（x1，y1）与（x2，y2）的中点在对称轴左侧，
∴；
当a＜0时，
∵y1＞y2，
∴（x1，y1）离对称轴更近，则（x1，y1）与（x2，y2）的中点在对称轴右侧，
∴，t；
综上，当a＞0时，t；当a＜0时，t．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是根据数形结合求解．
大洲
亚洲
欧洲
非洲
南美洲
最低海拔/m最低海拔/m
﹣432
﹣28
﹣156
﹣40
1
0
1
2
1
2
3
2
3
4
3
4
5
4