辽宁省沈阳市虹桥初级中学 2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷

这是一份辽宁省沈阳市虹桥初级中学 2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）的相反数是（ ）
A．﹣B．C．﹣D．
2．（3分）在平面直角坐标系中，点M（m﹣3，m+1）在x轴上，则点M的坐标为（ ）
A．（﹣4，0）B．（0，﹣2）C．（﹣2，0）D．（0，﹣4）
3．（3分）△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B＝∠CB．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
C．a2＝c2﹣b2D．a：b：c＝3：4：5
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）下列各组数值中，哪个是方程x+2y＝6的解（ ）
A．B．C．D．
6．（3分）如图，建立适当的直角坐标系后，正方形网格上B、C的坐标分别为（0，1），（1，﹣1），那么点A的坐标为（ ）
A．（﹣1，2）B．（2，﹣1）C．（﹣2，1）D．（1，﹣2）
7．（3分）直线y＝kx+b与x轴的交点坐标是（2，0），则关于x的方程kx+b＝0的解是（ ）
A．x＝2B．x＝4C．x＝8D．x＝10
8．（3分）在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+1的图象是（ ）
A．B．
C．D．
9．（3分）《九章算术》中有这样一个问题：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”题意为：今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也能为50，问甲、乙各有多少钱？设甲的钱数为x，乙的钱数为y，则列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
10．（3分）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城距离y（千米）与行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．其中正确的结论是（ ）
①A，B两城相距300千米；②甲车的速度是60km/h，乙车的速度是75km/h；③乙车出发后2.5小时追上甲车；④当甲、乙两车相距50千米时，或．
A．①②B．①③④C．①D．①④
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）﹣27的立方根是 ，的平方根是 ．
12．（3分）平面内点A（﹣1，4）到y轴的距离是 ．
13．（3分）如图，一次函数y＝kx+b与y＝x+2的图象相交于点P（m，4），则方程组的解是 ．
14．（3分）点P1（﹣3，y1），P2（2，y2）是一次函数y＝2x﹣b的图象上的两个点，则y1，y2的大小关系是 ．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝6，D是BC的中点，E是AC上一动点，将△CDE沿DE折叠到△C′DE，连接AC′，当△AEC′是直角三角形时，CE的长为 ．
三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（8分）计算：
（1）；
（2）．
17．（8分）用适当的方法解下列方程组：
（1）；
（2）．
18．（8分）如图，点A，B在边长为1的正方形网格中的位置如图所示．
（1）建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（2，3），点B的坐标为（7，0），并描出点C（6，4）；
（2）连接点A，B，C，作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（3）在y轴上找点P，使PA+PB最小，最小值为 ，此时点P坐标为 ．
19．（8分）（列二元一次方程组求解）某商场购进商品后，加价20%作为销售价，商场搞优惠促销，决定由顾客抽奖确定折扣．某顾客购买甲，乙两种商品，分别抽到九折和八折，共付款1008元，两种商品原销售价之和为1200元，甲，乙商品进价分别为多少元？
20．（9分）数学兴趣小组利用所学数学知识来解决实际问题，实践报告如下：
该报告还没有完成，请你帮助兴趣小组解决以上问题．
21．（10分）如图，一次函数y1＝2x﹣2的图象与y轴交于点A，一次函数y2的图象与y轴交于点B（0，6），点C为两函数图象的交点，且点C的横坐标为2．
（1）求一次函数y2的函数解析式；
（2）求△ABC的面积；
（3）问：在坐标轴上，是否存在一点P，使得S△ACP＝2S△ABC？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
22．（12分）我们定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点．
【特例感知】
（1）如图1，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点，CD是AB边上的高．若BD＝2，AD＝1，试求线段CD的长度．
【深入探究】
（2）如图2，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点且CA＞CB，CD是AB边上的高．试探究线段AD与CB的数量关系，并给予证明；
【拓展应用】
（3）如图3，等腰△ABC为勾股高三角形，其中AB＝AC＞BC，CD为AB边上的高，过点D向BC边引平行线与AC边交于点E．若，试求线段DE的长度．
23．（12分）定义：若一个一次函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图象的“平衡点”．例如，点（﹣1，1）是函数y＝x+2的图象的“平衡点”．
（1）函数y＝﹣x+3，是否存在“平衡点”，若存在求出“平衡点”坐标，若不存在，说明理由；
（2）设函数y＝x﹣4与y＝2x+b的图象的“平衡点”分别为点A、B，过点A作AC⊥y轴，垂足为C．当△ABC为等腰三角形时，求b的值；
（3）将一次函数y＝kx﹣4（x＜0）的图象关于y轴对称，若对称后的图象存在“平衡点”则k的取值范围为 ．
2024-2025学年辽宁省沈阳市皇姑区虹桥中学八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）的相反数是（ ）
A．﹣B．C．﹣D．
【分析】由于互为相反数的两个数和为0，由此即可求解．
【解答】解：∵+（﹣）＝0，
∴的相反数是﹣．
故选：A．
【点评】此题主要考查了求无理数的相反数，无理数的相反数和有理数的相反数的意义相同，无理数的相反数是各地中考的重要考点．
2．（3分）在平面直角坐标系中，点M（m﹣3，m+1）在x轴上，则点M的坐标为（ ）
A．（﹣4，0）B．（0，﹣2）C．（﹣2，0）D．（0，﹣4）
【分析】根据x轴上的点的纵坐标等于0列式求出m的值，即可得解．
【解答】解：∵点M（m﹣3，m+1）在平面直角坐标系的x轴上，
∴m+1＝0，
解得m＝﹣1，
∴m﹣3＝﹣1﹣3＝﹣4，
点M的坐标为（﹣4，0）．
故选：A．
【点评】本题考查了点的坐标，熟记x轴上的点的纵坐标等于0是解题的关键．
3．（3分）△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B＝∠CB．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
C．a2＝c2﹣b2D．a：b：c＝3：4：5
【分析】根据三角形内角和定理可分析出A、B的正误；根据勾股定理逆定理可分析出C、D的正误．
【解答】解：A、∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC为直角三角形，故此选项不合题意；
B、设∠A＝3x°，∠B＝4x°，∠C＝5x°，
3x+4x+5x＝180，
解得：x＝15，
则5x°＝75°，
所以△ABC不是直角三角形，故此选项符合题意；
C、∵a2＝c2﹣b2，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC为直角三角形，故此选项不合题意；
D、∵a：b：c＝3：4：5，
设a＝3x，b＝4x，c＝5x，
∵（3x）2+（4x）2＝（5x）2，
∴能构成直角三角形，故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了直角三角形的判定，关键是掌握勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：（A）原式＝3，故A错误．
（B）原式＝12，故B错误．
（C）原式＝4，故C错误．
故选：D．
【点评】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．
5．（3分）下列各组数值中，哪个是方程x+2y＝6的解（ ）
A．B．C．D．
【分析】将四个选项分别代入原方程，能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解．
【解答】解：∵将代入原方程，左边＝5≠右边，
∴A选项不符合题意；
∵将代入原方程，左边＝5≠右边，
∴B选项不符合题意；
将代入原方程，左边＝6＝右边，
∴C选项符合题意；
∵将代入原方程，左边＝2≠右边，
∴D选项不符合题意．
综上所述，C选项符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二元一次方程的解．正确利用二元一次方程的解的意义是解题的关键．
6．（3分）如图，建立适当的直角坐标系后，正方形网格上B、C的坐标分别为（0，1），（1，﹣1），那么点A的坐标为（ ）
A．（﹣1，2）B．（2，﹣1）C．（﹣2，1）D．（1，﹣2）
【分析】直接利用已知点位置得出原点位置进而得出答案．
【解答】解：如图所示：
点A的坐标为：（﹣1，2）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了点的坐标，正确得出原点位置是解题关键．
7．（3分）直线y＝kx+b与x轴的交点坐标是（2，0），则关于x的方程kx+b＝0的解是（ ）
A．x＝2B．x＝4C．x＝8D．x＝10
【分析】根据一次函数y＝kx+b与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b＝0的解即可求解．
【解答】解：∵直线y＝kx+b与x轴的交点坐标是（2，0），
∴关于x的方程kx+b＝0的解是x＝2．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数y＝kx+b与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b＝0的解是解决问题的关键．
8．（3分）在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+1的图象是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】依据一次函数y＝x+1的图象经过点（0，1）和（1，0），即可得到一次函数y＝﹣x+1的图象经过一、二、四象限．
【解答】解：一次函数y＝﹣x+1中，令x＝0，则y＝1；令y＝0，则x＝1，
∴一次函数y＝﹣x+1的图象经过点（0，1）和（1，0），
∴一次函数y＝﹣x+1的图象经过一、二、四象限，
故选：C．
【点评】本题主要考查了一次函数的图象，一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线．
9．（3分）《九章算术》中有这样一个问题：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”题意为：今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也能为50，问甲、乙各有多少钱？设甲的钱数为x，乙的钱数为y，则列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】设甲的钱数为x，乙的钱数为y，根据“若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也能为50”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：设甲的钱数为x，乙的钱数为y，
依题意，得：．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
10．（3分）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城距离y（千米）与行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．其中正确的结论是（ ）
①A，B两城相距300千米；②甲车的速度是60km/h，乙车的速度是75km/h；③乙车出发后2.5小时追上甲车；④当甲、乙两车相距50千米时，或．
A．①②B．①③④C．①D．①④
【分析】由图象可直接判断①正确；用路程除以时间可得甲、乙的速度，即可判断②错误；乙车追上甲车时，60t＝100（t﹣1），可解得此时乙出发2.5﹣1＝1.5（h），判断③错误；当甲车在乙车千米50km时，t＝，当乙车在甲车千米50km时，t＝，可判断④正确．
【解答】解：由图象可得：A，B两城相距300千米，故①正确；
甲车的速度为300÷5＝60（km/h），乙车的速度是300÷（4﹣1）＝100（km/h），故②错误；
乙车追上甲车时，60t＝100（t﹣1），
解得t＝2.5，
此时乙出发2.5﹣1＝1.5（h），故③错误；
当乙还没出发时，甲行驶了50千米，两车相距50千米，此时t＝，
当甲车在乙车千米50km时，由60t﹣100（t﹣1）＝50得t＝，
当乙车在甲车千米50km时，由100（t﹣1）﹣60t＝50得t＝，
乙车到终点了，甲车离终点50千米，此时t＝5﹣＝，
∴甲、乙两车相距50千米时，或或或，故④错误，
∴正确的有①，
故选：C．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确识图．
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）﹣27的立方根是 ﹣3 ，的平方根是 ±3 ．
【分析】根据平方根和立方根的知识点进行解答，若x3＝a，则x＝，x2＝b（b≥0）则x＝，据此得到答案．
【解答】解：﹣3的立方为﹣27，故﹣27的立方根为﹣3，
＝9，故9的平方根为±3，
故答案为﹣3、±3．
【点评】本题主要考查立方根和平方根的知识点，基础题，比较简单，但注意个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．立方根的性质：一个正数的立方根式正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根式0．
12．（3分）平面内点A（﹣1，4）到y轴的距离是 1 ．
【分析】根据点到y轴的距离为点的横坐标的绝对值解答即可．
【解答】解：点A（﹣1，4）到y轴的距离是：|﹣1|＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查点的坐标．解题的关键是明确点到y轴的距离为点的横坐标的绝对值．
13．（3分）如图，一次函数y＝kx+b与y＝x+2的图象相交于点P（m，4），则方程组的解是 ．
【分析】由两条直线的交点坐标（m，4），先求出m，再求出方程组的解即可．
【解答】解：∵y＝x+2的图象经过P（m，4），
∴4＝m+2，
∴m＝2，
∴一次函数y＝kx+b与y＝x+2的图象相交于点P（2，4），
∴方程组的解是，
故答案为．
【点评】本题考查一次函数的交点与方程组的解的关系、待定系数法等知识，解题的关键是理解方程组的解就是两个函数图象的交点坐标．
14．（3分）点P1（﹣3，y1），P2（2，y2）是一次函数y＝2x﹣b的图象上的两个点，则y1，y2的大小关系是 y1＜y2 ．
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征解答本题即可．
【解答】解：∵一次函数y＝2x﹣b的k＝2＞0，
∴y随x的增大而增大，
∵﹣3＜2，
∴y1＜y2．
故答案为：y1＜y2．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝6，D是BC的中点，E是AC上一动点，将△CDE沿DE折叠到△C′DE，连接AC′，当△AEC′是直角三角形时，CE的长为 3或 ．
【分析】分两种情形，当∠AC'E＝90°或∠AEC'＝90°时，分别画出图形来解答．
【解答】解：当∠AC'E＝90°时，
∵将△CDE沿DE折叠到△C′DE，
∴∠EC'D＝∠C＝90°，
∴∠AC'E+∠EC'D＝180°，
∴点A、C'、D三点共线，
∵AC＝4，CD＝3，
由勾股定理得AD＝5，
设CE＝C'E＝x，则AE＝4﹣x，AC'＝2，
在Rt△AC'E中，由勾股定理得：
（4﹣x）2＝22+x2，
解得x＝，
∴CE＝，
当∠AEC'＝90°时，
∴∠CEC'＝90°，
∴∠CED＝45°，
∴CE＝CD＝3，
∠EAC'不可能为90°，
综上，CE＝3或．
故答案为：3或．
【点评】本题主要考查了翻折的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会运用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（8分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先利用二次根式的除法法则运算，然后化简后合并即可；
（2）利用二次根式的乘法法则和完全平方公式计算．
【解答】解：（1）原式＝+﹣4
＝2+3﹣4
＝1；
（2）原式＝+4﹣4+3
＝3+4﹣4+3
＝7﹣．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
17．（8分）用适当的方法解下列方程组：
（1）；
（2）．
【分析】（1）将①代入②可求解x值，将x＝1代入①可求解y值，进而解方程；
（2）①×2+②×3可求解x值，再将x值代入①可求解y值，进而解方程．
【解答】解：（1），
将①代入②得5x+2（x﹣1）＝5，
解得x＝1，
将x＝1代入①得y＝1﹣1＝0，
∴方程组的解为；
（2），
①×2+②×3得13x＝78，
解得x＝6，
将x＝6代入①得2×6﹣3y＝6，
解得y＝2，
∴方程组的解为．
【点评】本题主要考查二元一次方程组的解法，解二元一次方程组：加减消元法，代入消元法，选择合适的解法是解题的关键．
18．（8分）如图，点A，B在边长为1的正方形网格中的位置如图所示．
（1）建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（2，3），点B的坐标为（7，0），并描出点C（6，4）；
（2）连接点A，B，C，作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（3）在y轴上找点P，使PA+PB最小，最小值为 ，此时点P坐标为 （0，） ．
【分析】（1）根据点A的坐标建立平面直角坐标系，然后描出点C（6，4）即可．
（2）根据轴对称的性质作图即可．
（3）取点A关于y轴的对称点A′，连接A′B，交y轴于点P，则点P即为所求．利用勾股定理求出A'B的长，即可得PA+PB的最小值；利用待定系数法求出直线A'B的解析式再令x＝0，求出y的值，即可得点P坐标．
【解答】解：（1）建立平面直角坐标系以及描出点C如图所示．
（2）如图，△A1B1C1即为所求．
（3）取点A关于y轴的对称点A′，连接A′B，交y轴于点P，连接AP，
此时PA+PB＝PA'+PB＝A'B，为最小值，
则点P即为所求．
由勾股定理得，A'B＝＝，
∴PA+PB的最小值为．
设直线A'B的解析式为y＝kx+b，
将A'（﹣2，3），B（7，0），代入，
得，
解得，
∴设直线A'B的解析式为，
令x＝0，得y＝，
∴点P的坐标为（0，）．
故答案为：；（0，）．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、轴对称﹣最短路线问题、勾股定理、待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
19．（8分）（列二元一次方程组求解）某商场购进商品后，加价20%作为销售价，商场搞优惠促销，决定由顾客抽奖确定折扣．某顾客购买甲，乙两种商品，分别抽到九折和八折，共付款1008元，两种商品原销售价之和为1200元，甲，乙商品进价分别为多少元？
【分析】设甲商品进价为x元，乙商品进价为y元，某顾客购买甲，乙两种商品，分别抽到九折和八折，共付款1008元，两种商品原销售价之和为1200元，列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：设甲商品进价为x元，乙商品进价为y元，
依题意得：，
解得：，
答：甲商品进价为400元，乙商品进价为600元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
20．（9分）数学兴趣小组利用所学数学知识来解决实际问题，实践报告如下：
该报告还没有完成，请你帮助兴趣小组解决以上问题．
【分析】（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理求出的AC长，即可得到结论；
（2）在Rt△A′BC中，根据勾股定理求出A′B，即可得到结论．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15米，AB＝17米，
由勾股定理，可得AC＝＝8米，
∴AD＝AC+CD＝8+1.5＝9.5（米），
答：风筝离地面的垂直高度为9.5米；
（2）如图，当风筝沿DA方向再上升12米，A'C＝20米，

在Rt△A′BC中，∠A'CB＝90°，BC＝15米，
由勾股定理，可得A′B＝＝25米，
则应该再放出25﹣17＝8（米），
答：他应该再放出8米长的线．
【点评】本题考查了用勾股定理解决实际问题，解题的关键是熟练掌握直角三角形中的三边关系．
21．（10分）如图，一次函数y1＝2x﹣2的图象与y轴交于点A，一次函数y2的图象与y轴交于点B（0，6），点C为两函数图象的交点，且点C的横坐标为2．
（1）求一次函数y2的函数解析式；
（2）求△ABC的面积；
（3）问：在坐标轴上，是否存在一点P，使得S△ACP＝2S△ABC？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）求出C的坐标，然后利用待定系数法即可解决问题；
（2）求得A点的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可；
（3）分两种情况，利用三角形面积公式即可求得．
【解答】解：（1）把x＝2代入y1＝2x﹣2得y＝2，
∴C（2，2），
设y2＝kx+b（k≠0），
把B（0，6），C（2，2）代入可得：
，
解得：，
∴y2＝﹣2x+6．
（2）∵一次函数y1＝2x﹣2的图象与y轴交于点A，
∴A（0，﹣2），
∴；
（3）存在，理由如下：
∵S△ACP＝2S△ABC＝2×8＝16，
∴S△ACP＝16，
当P在y轴上时，，即，
∴|AP|＝16，
∵A（0，﹣2），
∴点P的坐标为（0，14）或（0，﹣18），
当P在x轴上时，设直线y1＝2x﹣2与x轴交于点D，
∴D（1，0），
∴，
∴，
∴|PD|＝8，
∵D（1，0），
∴点P的坐标为（﹣7，0）或（9，0），
综上，在坐标轴上，存在一点P，使得S△ACP＝2S△ABC，点P的坐标为（0，14）或（0，﹣18）或（﹣7，0）或（9，0）．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，坐标与图形的性质，三角形面积，以及分类讨论的数学思想，熟练掌握待定系数法和分类讨论是解题的关键．
22．（12分）我们定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点．
【特例感知】
（1）如图1，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点，CD是AB边上的高．若BD＝2，AD＝1，试求线段CD的长度．
【深入探究】
（2）如图2，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点且CA＞CB，CD是AB边上的高．试探究线段AD与CB的数量关系，并给予证明；
【拓展应用】
（3）如图3，等腰△ABC为勾股高三角形，其中AB＝AC＞BC，CD为AB边上的高，过点D向BC边引平行线与AC边交于点E．若，试求线段DE的长度．
【分析】（1）根据勾股定理得到CB2＝CD2+4，CA2＝CD2+1，根据勾股高三角形的定义得到CD2＝BC2﹣AC2，计算即可得到答案；
（2）由CA2﹣CB2＝CD2可得：CA2﹣CD2＝CB2，根据勾股高三角形的定义得：CA2﹣CD2＝AD2，即可推出AD2＝CB2；
（3）过点A向ED引垂线，垂足为G，只要证明△AGD≌△CDB（AAS），即可解决问题．
【解答】解：（1）由勾股定理可得：CB2＝CD2+BD2＝CD2+4，CA2＝CD2+AD2＝CD2+1，
∵△ABC为勾股高三角形，C为勾股顶点，CD是AB边上的高，
∴CD2＝BC2﹣AC2，
∴CD2＝（CD2+4）﹣（CD2+1），
解得：CD＝；
（2）AD＝CB，证明如下：
∵△ABC为勾股高三角形，C为勾股顶点且CA＞CB，CD是AB边上的高，
∴CD2＝CA2﹣CB2，
∴CA2﹣CD2＝CB2，
由勾股定理得：CA2﹣CD2＝AD2，
∴CB2＝AD2，
∴AD＝CB；
（3）如图3，过点A作AG⊥DE，垂足为G，
∵“勾股高三角形”△ABC为等腰三角形，且AB＝AC＞BC，
∴只能是AC2﹣BC2＝CD2，
由（2）可知：AD＝BC，
又∵ED∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠ACB，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠B，
∴∠AED＝∠ADE，
∴AE＝AD，
而∠AGD＝∠CDB＝90°，
∴△AGD≌△CDB（AAS），
∴DG＝BD，
∵△ADE为等腰三角形，AG⊥DE，
∴ED＝2DG＝2BD，
又AB＝AC，AD＝AE，
∴BD＝EC＝2
∴ED＝4．
【点评】本题是三角形综合题，考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，勾股高三角形的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目．
23．（12分）定义：若一个一次函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图象的“平衡点”．例如，点（﹣1，1）是函数y＝x+2的图象的“平衡点”．
（1）函数y＝﹣x+3，是否存在“平衡点”，若存在求出“平衡点”坐标，若不存在，说明理由；
（2）设函数y＝x﹣4与y＝2x+b的图象的“平衡点”分别为点A、B，过点A作AC⊥y轴，垂足为C．当△ABC为等腰三角形时，求b的值；
（3）将一次函数y＝kx﹣4（x＜0）的图象关于y轴对称，若对称后的图象存在“平衡点”则k的取值范围为 k＜1且k≠0 ．
【分析】（1）由新定义即可求解；
（2）当AB＝AC时，则2（2+b）2＝4，即可求解；当AB＝BC或AC＝BC时，同理可解；
（3）一次函数y＝kx﹣4（x＜0）的图象关于y轴对称的直线为：y＝﹣kx﹣4（x＜0），令﹣x＝﹣kx﹣4（x＜0），解得：x＝＜0，即可求解．
【解答】解：（1）令y＝﹣x，则﹣x＝﹣x+3不成立，故函数y＝﹣x+3不存在平衡点，
令y＝﹣x，则﹣x＝﹣x+2，则x＝4，则函数存在平衡点（﹣4，4）；
（2）令﹣x＝x﹣4，则x＝2，则点A（2，﹣2），则点C（0，﹣2），
令﹣x＝2x+b，则x＝﹣b，则点C（﹣b，b），
由点A、B、C的坐标得，AB2＝2（2+b）2，AC2＝4，BC2＝（b）2+（b+2）2，
当AB＝AC时，则2（2+b）2＝4，
解得：b＝或，
当AB＝BC或AC＝BC时，
同理可得：2（2+b）2＝（b）2+（b+2）2或4＝（b）2+（b+2）2，
解得：b＝0或﹣3，
综上，b的值为0或﹣3或或；
（3）一次函数y＝kx﹣4（x＜0）的图象关于y轴对称的直线为：y＝﹣kx﹣4（x＜0），
令﹣x＝﹣kx﹣4（x＜0），
解得：x＝＜0，
则k＜1且k≠0，
故答案为：k＜1且k≠0．
【点评】本题考查一次函数的综合应用，涉及新定义，等腰三角形，对称等知识，解题的关键是读懂新定义．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/11/26 14:54:25；用户：玉米先生；邮箱：15648027734；学号：45942780活动课题
风筝离地面垂直高度探究
问题背景
风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度.
测量数据抽象模型
小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离BC的长为15米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线AB的长为17米，牵线放风筝的手到地面的距离为1.5米．
问题产生
经过讨论，兴趣小组得出以下问题：
（1）运用所学勾股定理相关知识，根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度．
（2）如果想要风筝沿DA方向再上升12米，且BC长度不变，则他应该再放出多少米线？
问题解决
……
活动课题
风筝离地面垂直高度探究
问题背景
风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度.
测量数据抽象模型
小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离BC的长为15米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线AB的长为17米，牵线放风筝的手到地面的距离为1.5米．
问题产生
经过讨论，兴趣小组得出以下问题：
（1）运用所学勾股定理相关知识，根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度．
（2）如果想要风筝沿DA方向再上升12米，且BC长度不变，则他应该再放出多少米线？
问题解决
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