特训11 空间向量与立体几何动态问题（四大题型+方法归纳+模拟精练）-2025年高考数学一轮复习 （新高考专用）

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2、精练习题。不搞“题海战术”，在老师指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。
4、重视错题。错误要及时寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
特训11 空间向量与立体几何动态问题（四大题型）
探索性问题：
(1)对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等．
(2)对于位置探究型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，解出参数．
最值或取值范围问题：
在动态变化过程中产生的体积最大、距离最大(小)、角的范围等问题，常用的思路是：
(1)直观判断：在变化过程中判断点、线、面在何位置时，所求的量有相应最大、最小值，即可求解．
(2)函数思想：通过建系或引入变量，把这类动态问题转化为目标函数，从而利用代数方法求目标函数的最值．
目录：
01 ：立体几何中的探索性问题
02： 空间位置关系的判定
03： 轨迹问题
04： 最值、取值范围问题
01 ：立体几何中的探索性问题
例1 如图，在三棱柱中，四边形为正方形，四边形为菱形，且，平面平面，点为棱的中点.
(1)求证：；
(2)棱（除两端点外）上是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.
方法归纳： (1)对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等．
(2)对于位置探究型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，解出参数．
02 ：空间位置关系的判定
例2 （多选）如图几何体是由正方形沿直线旋转得到的，已知点是圆弧的中点，点是圆弧上的动点（含端点），则下列结论正确的是（ ）
A．存在点，使得平面
B．不存在点，使得平面平面
C．存在点，使得直线与平面的所成角的余弦值为
D．不存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为
方法归纳： 解决空间位置关系的动点问题
(1)应用“位置关系定理”转化．
(2)建立“坐标系”计算．
03 ：轨迹问题
例3 (1)如图，在棱长为1的正方体中，P为棱的中点，Q为正方形内一动点（含边界），则下列说法中正确的是 ．
①若平面，则动点Q的轨迹是一条线段
②存在Q点，使得平面
③当且仅当Q点落在棱上某点处时，三棱锥的体积最大
④若，那么Q点的轨迹长度为
方法归纳： 解决与几何体有关的动点轨迹问题的方法
(1)几何法：根据平面的性质进行判定．
(2)定义法：转化为平面轨迹问题，用圆锥曲线的定义判定，或用代替法进行计算．
(3)特殊值法：根据空间图形线段长度关系取特殊值或位置进行排除．
04 ：最值、范围问题
例4 如图，在直三棱柱中，△为边长为2的正三角形，为中点，点在棱上，且.
(1)当时，求证平面；
(2)设为底面的中心，求直线与平面所成角的正弦值的最大值，并求取得最大值时的值.
方法归纳： 在动态变化过程中产生的体积最大、距离最大(小)、角的范围等问题，常用的思路是
(1)直观判断：在变化过程中判断点、线、面在何位置时，所求的量有相应最大、最小值，即可求解．
(2)函数思想：通过建系或引入变量，把这类动态问题转化为目标函数，从而利用代数方法求目标函数的最值．
例5 三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，，点Q为平面ABC内的动点，且满足，记直线PQ与直线AB的所成角为，则的取值范围为 .
（1）先分别求解出两条异面直线的一个方向向量；
（2）计算出两个方向向量夹角的余弦值；
（3）根据方向向量夹角的余弦值的绝对值等于异面直线所成角的余弦值求解出结果.
一、单选题
1．（2023·辽宁·模拟预测）已知空间向量两两夹角均为，且.若向量满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．0D．
2．（2024·安徽马鞍山·三模）已知点，，，，，都在同一个球面上，为正方形，若直线经过球心，且平面．则异面直线，所成的角最小为（ ）
A．B．C．D．
3．（2020·浙江嘉兴·二模）将边长为1的正方形沿对角线翻折，使得二面角的平面角的大小为，若点,分别是线段和上的动点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·浙江杭州·模拟预测）如图，已知矩形的对角线交于点，将沿翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2024·全国·模拟预测）如图，已知矩形ABCD中，E为线段CD上一动点（不含端点），记，现将沿直线AE翻折到的位置，记直线CP与直线AE所成的角为，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·四川遂宁·三模）如图，正方体的棱长为2，线段上有两个动点（在的左边），且．下列说法不正确的是（ ）
A．当运动时，二面角的最小值为
B．当运动时，三棱锥体积不变
C．当运动时，存在点使得
D．当运动时，二面角为定值
7．（2023·全国·模拟预测）如图，在棱长为1的正方体中，P为棱的中点，Q为正方形内一动点（含边界），则下列说法中不正确的是（ ）
A．若平面，则动点Q的轨迹是一条线段
B．存在Q点，使得平面
C．当且仅当Q点落在棱上某点处时，三棱锥的体积最大
D．若，那么Q点的轨迹长度为
8．（2023·陕西咸阳·模拟预测）如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则以下不正确的是（ ）

A．当在平面上运动时，四棱锥的体积不变
B．当在线段上运动时，与所成角的取值范围是
C．使直线与平面所成的角为的点的轨迹长度为
D．若是的中点，当在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是
二、多选题
9．（2024·贵州贵阳·模拟预测）在正三棱柱中，，点P满足，其中，则（ ）
A．当时，最小值为
B．当时，三棱锥的体积为定值
C．当时，平面平面
D．若，则P的轨迹长度为
10．（2024·浙江·三模）已知正方体的棱长为1，点满足，其中，，则（ ）
A．当时，则的最小值为
B．过点在平面内一定可以作无数条直线与垂直
C．若与所成的角为，则点的轨迹为双曲线
D．当，时，正方体经过点、、的截面面积的取值范围为
11．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知正方体棱长为4，点N是底面正方形ABCD内及边界上的动点，点M是棱上的动点（包括点），已知，P为MN中点，则下列结论正确的是（ ）
A．无论M，N在何位置，为异面直线B．若M是棱中点，则点P的轨迹长度为
C．M，N存在唯一的位置，使平面D．AP与平面所成角的正弦最大值为
三、填空题
12．（2024·浙江金华·三模）四棱锥的底面为正方形，平面，且，．四棱锥的各个顶点均在球O的表面上，，，则直线l与平面所成夹角的范围为 ．
13．（2024·北京通州·二模）如图，几何体是以正方形ABCD的一边BC所在直线为旋转轴，其余三边旋转90°形成的面所围成的几何体，点G是圆弧的中点，点H是圆弧上的动点，，给出下列四个结论：
①不存在点H，使得平面平面CEG；
②存在点H，使得平面CEG；
③不存在点H，使得点H到平面CEG的距离大于；
④存在点H，使得直线DH与平而CEG所成角的正弦值为．
其中所有正确结论的序号是 ．
14．（2023·江西宜春·一模）如图，多面体中，面为正方形，平面，且为棱的中点，为棱上的动点，有下列结论：
①当为的中点时，平面；
②存在点，使得；
③直线与所成角的余弦值的最小值为；
④三棱锥的外接球的表面积为.
其中正确的结论序号为 .（填写所有正确结论的序号）
四、解答题
15．（2024·江西新余·二模）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，且，.

(1)若为的中点，证明：平面平面；
(2)若，，线段上的点满足，且平面与平面夹角的余弦值为，求实数的值.
16．（2023·山东潍坊·三模）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，且边长为，点在母线上，且，．

(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面
(3)若点为线段上的动点．当直线与平面所成角的正弦值最大时，求此时点到平面的距离．
17．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）如图1，在平行四边形中，，将沿折起，使点D到达点P位置，且，连接得三棱锥，如图2．
(1)证明：平面平面；
(2)在线段上是否存在点M，使平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
18．（2024·浙江绍兴·模拟预测）如图所示，四棱台，底面为一个菱形，且. 底面与顶面的对角线交点分别为，. ，，与底面夹角余弦值为.
(1)证明：平面；
(2)现将顶面绕旋转角，旋转方向为自上而下看的逆时针方向. 此时使得底面与的夹角正弦值为，此时求的值()；
(3)求旋转后与的夹角余弦值.
19．（2024·山东济南·一模）在空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都能表示成，其中，，且为该平面的法向量.已知集合，，.
(1)设集合，记中所有点构成的图形的面积为，中所有点构成的图形的面积为，求和的值；
(2)记集合Q中所有点构成的几何体的体积为，中所有点构成的几何体的体积为，求和的值：
(3)记集合T中所有点构成的几何体为W.
①求W的体积的值；
②求W的相邻（有公共棱）两个面所成二面角的大小，并指出W的面数和棱数.