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培优点02 指、对、幂的大小比较（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）-2025高考数学一轮精讲讲练（新高考版）
展开这是一份培优点02 指、对、幂的大小比较（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）-2025高考数学一轮精讲讲练（新高考版），文件包含培优点02指对幂的大小比较3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练原卷版docx、培优点02指对幂的大小比较3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共48页， 欢迎下载使用。
指数与对数是高中一个重要的知识点，也是高考必考考点，其中指数、对数及幂的大小比较是近几年的高考热点和难点，主要考查指数、对数的互化、运算性质，以及指数函数、对数函数和幂函数的性质，一般以选择题或填空题的形式出现在压轴题的位置．
【核心题型】
题型一 直接法比较大小
利用特殊值作“中间量”
在指数、对数中通常可优先选择“－1,0，eq \f(1,2)，1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如lg23，可知1＝lg22
【例题1】（2024·全国·模拟预测）已知，，，则实数a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用指数函数单调性可得、对数函数的单调性可得，，从而可得结果.
【详解】由在R上单调递增，可得，又，
则．
由在上单调递增，可得．
由在上单调递增，可得．
所以，
故选：A
【变式1】（2024·四川德阳·二模）已知，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】观察的式子结构，构造函数，利用导数判断得的单调性，从而判断得，再利用对数函数的单调性判断得，从而得解.
【详解】因为，
观察的式子结构，构造函数，则，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
因为，所以，即，
所以，即，即；
又，所以，即；
综上，.
故选：B.
【变式2】（2023·甘肃平凉·模拟预测）已知幂函数的图象过点，设，则a、b、c的大小用小于号连接为 ．
【答案】
【分析】首先求出幂函数的解析式，再利用其单调性即可比较大小.
【详解】幂函数的图象过点，
则，
所以幂函数的解析式为，且函数为单调递增函数，
又，所以，即.
故答案为：
【变式3】（2023·黑龙江哈尔滨·三模）若，则实数由小到大排列为 < < .
【答案】 b c a
【分析】根据给定条件，构造函数，再利用导数探讨单调性比较大小作答.
【详解】依题意，，而，
令函数，求导得，
因此函数在上单调递增，而，于是，
又，所以.
故答案为：b；c；a
命题点2 找中间值
【例题2】（2024·陕西西安·模拟预测）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】通过和1的比较可得答案.
【详解】因为，，所以．
故选：C
【变式1】（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由，利用换底公式可判断利用指数性质可判断，进而得出结果.
【详解】由题得，
而，所以，
所以.
故选：A.
【变式2】（2024·四川成都·三模）四个数中最大的数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】引入0，1，分别比较这四个数和0，1的大小，即可得到结论.
【详解】因为，，，.
所以最大.
故选：B
【变式3】（2024·北京石景山·一模）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定的条件，利用指数、对数函数、正弦函数的性质，借助进行比较判断选项.
【详解】，，
而，则，即，所以.
故选：B
命题点3 特殊值法
【例题3】（2024·全国·模拟预测）若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由，分类讨论和可判断A，B；取特值可判断C；根据的单调性可判断D.
【详解】因为，所以，
当时，解得；当时，解得，
所以，即，A，B错误.
当时，，C错误.
因为在上单调递减，在上单调递增，所以，
即，D正确.
故选：D
【变式1】（多选）（2024·福建龙岩·一模）下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】AC
【分析】对A和C利用不等式性质即可判断，对B和D举反例即可反驳.
【详解】对A，因为，则两边同乘得，两边同乘得，
则，故A正确；
对B，当时，，故B错误；
对C，因为，则，又因为，所以，故C正确；
对D，举例，则，而，
此时两者相等，故D错误.
故选：AC.
【变式2】（多选）（2023·全国·模拟预测）下列说法正确的有（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】ABD
【分析】运用基本不等式，结合特例法、不等式的性质、指数函数的单调性逐一判断即可.
【详解】选项A：当时，，
所以，当且仅当，即时等号成立，故选项A正确；
选项B：由得，所以，故选项B正确；
选项C：令，满足，但不成立，故选项C错误；
选项D：由得，因为，所以，所以，故选项D正确．
故选：ABD.
【变式3】（2024·上海静安·二模）在下列关于实数的四个不等式中，恒成立的是 ．（请填入全部正确的序号）
①；②；③；④．
【答案】②③④
【分析】取特值可判断①；作差法可判断②④；要证即证可判断③.
【详解】对于①，取，故①错误；
对于②，，故②正确；
对于③，当，要证，即证，
即，即证，
而恒成立，
当时，，所以，故③正确.
对于④，，所以，故④正确.
故答案为：②③④.
题型二 利用指数、对数及幂的运算性质化简比较大小
求同存异法比较大小
如果两个指数或对数的底数相同，则可通过真数的大小与指数、对数函数的单调性判断出指数或对数的大小关系，要熟练运用指数、对数公式、性质，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况．
【例题4】（2024·天津·一模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由幂函数和对数函数的单调性即可得出答案.
【详解】因为，
，，
因为在上单调递增，
所以，所以.
故选：B
【变式1】（2024·陕西西安·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据指数函数的性质判断a的范围，利用指数函数、幂函数以及正弦函数的单调性可比较的大小关系，结合b的范围，即可判断出答案.
【详解】由题意得，
且，
又，故，
故选：C
【变式2】（2024·广东肇庆·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用幂函数和对数函数的性质来判断即可.
【详解】幂函数在上单调递增，故，
又，
所以.
故选：A.
【变式3】（2024·四川攀枝花·二模）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用幂函数、指数函数与对数函数的单调性比较大小即可.
【详解】易知在上单调递增，则，即，
而由单调递增，得，即，
又单调递增，故则.
故选：A
题型三 构造函数比较大小
某些数或式子的大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小．
【例题5】（2024高三·全国·专题练习）若，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】构造函数，利用导数求证不等式和，即可求解.
【详解】设，
则当时,在单调递减，
当时，在单调递增，故当，故当且仅当时取等号，
当在单调递增，
当在单调递减，所以，故，当且仅当时取等号，
所以 ，故．
，故
因此，
故选：A
【点睛】方法点睛：比较大小问题，常常根据：
（1）结合函数性质进行比较；
（2）利用特殊值进行估计，再进行间接比较；
（3）根据结构特征构造函数，利用导数分析单调性，进而判断大小
【变式1】（2024·辽宁·二模）若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】通过构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，得到在区间上单调递增，从而得出，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，得到在区间上单调递增，从而得出，即可得出结果.
【详解】令，则，
令，则在区间上恒成立，
即在区间上单调递减，又，
而，所以，
即在区间上单调递增，所以，
得到，即，所以，
令，则，当时，，
即在区间上单调递增，
所以，得到，即，所以，
综上所述，，
故选：B.
【点睛】关键点点晴：通过构造函数和，将问题转化成比较函数值的大小，再利用导数与函数单调性间的关系，即可解决问题.
【变式2】（2023·辽宁·模拟预测）已知，试比较的大小关系（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据三个指数的底数的形式，通过构造新函数，利用导数的性质判断其大小，再根据三个数的形式构造新函数，通过取对数法，结合导数的性质判断其单调性，最后利用单调性判断即可.
【详解】设，
当时，，单调递减，
所以有，
因为，
所以，
设，
设，
当时，，函数单调递减，
因为，
所以，
因为函数是正实数集上的增函数，
故，
即，所以，
故选：C
【点睛】关键点睛：根据所给指数的底数和指数的形式，构造函数，利用导数的性质是解题的关键
【变式3】（2023·湖南·模拟预测）设，，，则，，的大小顺序为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据a、b、c的结构，构造函数，利用导数判断单调性，即可比较出a、b、c的大小，从而可得到正确答案．
【详解】因为，，
故构造函数，则，
令，解得，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
又因为，，
所以，．
因为，又，
所以，即，故，
故选：A．
【课后强化】
基础保分练
一、单选题
1．（2024·天津·二模）若，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合中间量法求解即可.
【详解】，
，
，
所以.
故选：B.
2．（2024·北京顺义·二模）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用换底公式计算a，利用指数函数单调性判断b，c即可得答案.
【详解】因为，，，
所以.
故选：D
3．（2024·全国·模拟预测）若，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据指数函数，对数函数，幂函数的单调性比较大小．
【详解】由，则，
又，
且，
所以．
故选：A．
4．（2024·全国·模拟预测）若，则下列大小关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用指数函数，对数函数及幂函数的单调性可比较与1和，与0和的大小，后利用结合对数函数单调性，可比较与0的大小，即可得答案.
【详解】因对数函数在上单调递增，则，即．
因指数函数在上单调递减，幂函数在上单调递增，
则，即．
又注意到，在上单调递增，所以，即，所以．
故选：D．
二、多选题
5．（2024·贵州遵义·一模）已知正实数a，b满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】利用导数证明，利用不等式的性质，结合函数的单调性可得，再逐项判断即可得解.
【详解】令函数，求导得，函数在上递增，
，即当时，，则当时，，
于是，而函数在上递增，因此，
对于A，，A正确；
对于B，函数在上递减，则，B错误；
对于C，函数在上递减，则，C正确；
对于D，，则，D错误.
故选：AC
6．（2024·全国·模拟预测）已知，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】根据基本不等式可判定A，根据指数函数的单调性可判定B，根据基本不等式、对数运算及对数函数单调性可判断C，根据二次函数的性质可判断D.
【详解】，，且，，
当且仅当时取等号，故A正确.
，，且，，，
，，故B正确.
由，得，当且仅当时取等号，，故C错误.
，又，，故D错误.
故选：AB.
三、填空题
7．（2023·吉林长春·模拟预测）已知，，，则a，b，c的大小关系为 ．
【答案】
【分析】由对数函数及指数函数单调性得到，，，从而得到大小关系.
【详解】因为在上单调递减，，
故且，所以，
因为在R上单调递减，，
所以，
，
故.
故答案为：
8．（2023·全国·模拟预测）已知，，现有如下说法：①；②；③.则正确的说法有 .（横线上填写正确命题的序号）
【答案】②③
【分析】根据对数的运算法则及对数函数的性质判断即可.
【详解】因为，，
所以，，所以，故①错误；
，所以，故②正确；
，所以，故③正确.
故答案为：②③
四、解答题
9．（22-23高三·全国·对口高考）（1）比较与的大小；
（2）已知，比较与大小
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用作商法，分类讨论即可；
（2）利用做差法、换底公式以及不等式的性质分析即可.
【详解】（1）因为，
所以，
所以①当时，，
所以，
②当时，，
即，
所以，
③当时，，
即，
所以，
综上所述：当，.
（2）
，
因为，所以，
所以，
由
，
所以，
所以，
即，
故.
10．（2020高三·上海·专题练习）设，且，记，试比较的大小.
【答案】
【分析】根据对数函数的性质，由，先得到；再分别讨论，两种情况，得到，即可得出结果.
【详解】因为，所以，
根据对数函数的性质可得：，即；
又，
当时，，
所以，即，因此；
当时，由，得，即，因此；
综上，.
【点睛】本题主要考查比较对数式的大小，熟记对数函数的性质即可，属于常考题型.
综合提升练
一、单选题
1．（2024·天津河东·一模）设，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据对数的单调性以及指数的单调性即可利用中间值求解.
【详解】，
故,
故选：A
2．（2024·河南·模拟预测）设，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据指数幂与对数的运算性质，分别求得的取值范围，即可求解.
【详解】由，
即，所以．
故选：C．
3．（2024·陕西安康·模拟预测）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据对数运算以及对数函数单调性可得，结合分数指数幂运算分析可得，即可得结果.
【详解】因为，，
因为，可知，
又因为，所以.
故选：C.
4．（2024·四川·模拟预测）已知，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用当时，判断，通过函数在是减函数判断.
【详解】当时，设，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，
也就是说当时，，
用代替，可得，即，
所以，即．
又知，所以，所以．
故选：A
5．（2023·天津河北·一模）若，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】首先化简，，，再根据即可得解.
【详解】，即，
，
，
又，所以，
所以，
故选：D
6．（2024·全国·模拟预测）已知，则下列各式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据对数函数的单调性即可判断AB；根据指数函数的单调性即可判断C；构造函数，利用导数判断出函数的单调性即可判断D.
【详解】对于AB，因为，所以，故A错误；
因为，所以，但不一定大于1，
故不一定大于0，故B错误；
对于C，因为，则，所以，故C错误；
对于D，不等式等价于，两边取自然对数得，
因为，所以原不等式等价于，
设函数，则，
令，则，
当时，，所以在上单调递减，
故当时，，所以，
故在上单调递减，
所以，即，故D正确．
故选：D．
7．（2024·宁夏银川·二模）定义域为的函数满足为偶函数，且当时，恒成立，若，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据条件先得到函数的对称性和单调性，再根据单调性比较大小.
【详解】当时，恒成立，
即当时，，函数在上单调递增，
又为偶函数，即，所以函数关于对称，
则函数在上单调递减，
所以
因为，所以
所以，
所以，即，
故选：D.
8．（2024·全国·模拟预测）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先利用常见不等式放缩得到，的大小关系，再利用幂函数的单调性比较，的大小关系即可得到答案.
【详解】令，则恒成立，
所以在单调递增，
所以当时，，即；
令，则恒成立，
所以在单调递增，
所以当时，，即；
由诱导公式得，
所以，因此；
因为，，
故只需比较与的大小，
由二项式定理得，，
所以．
综上，.
故选：C
【点睛】方法点睛：本题考查比较大小问题，此类问题常见的处理方法为：
（1）中间值法：通过与特殊的中间值比较大小，进而判断两个数的大小关系；
（2）构造函数法：通过观察两个数形式的相似之处，构造函数，利用导数研究函数单调性与极值等性质进而比较大小；
（3）放缩法：利用常见的不等式进行数的放缩进而快速比较大小.
二、多选题
9．（2023·广东广州·模拟预测）下列是（，，）的必要条件的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【分析】AB选项，可举出反例；CD选项，利用指数函数单调性可进行判断.
【详解】A选项，若，则A错误，
B选项，等价为，当时不成立，故B错误，
C选项，因为在R上单调递增，而，所以，C正确；
D选项，因为在R上单调递增，而，所以，D正确.
故选：CD
10．（2024·全国·模拟预测）已知实数，其中是函数的两个零点．实数满足，则下列不等式一定成立的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】设，利用导数研究其性质，画出大致图象，是直线与函数的图象交点的横坐标，数形结合可得，又由条件得，可推出，得，即可判断ABC；由，取对数后可得，设，令，利用导数可证得，进而可判断D.
【详解】设，，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，当时，取极小值.
是函数的两个零点，
即直线与函数的图象交点的横坐标，如图，
由图可知，，
由，得，
所以，
所以，所以，所以B，C正确，无法判断A是否正确；
对于D，由，取对数后可得，即，
，设，
令，则，
所以在上单调递减，则，
所以，
即，从而可得，
所以，D正确，
故选：BCD．
11．（2024·重庆·一模）已知，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根据指对互化与运算以及指数函数、对数函数单调性即可判断ABC，利用基本不等式即可判断D.
【详解】由题意得，，
，，则，则，
对A，根据对数函数在上单调递增，则，故A正确；
对B，因为，即，则，故B正确；
对C，因为，根据指数函数在上单调递减，则，故C错误；
对D，因为，，
，
当且仅当时等号成立，而显然，则，故D正确；
故选：ABD.
三、填空题
12．（23-24高三上·北京昌平·阶段练习）①在中，，，，则 ；
②已知，，，则的大小关系是
【答案】
【分析】对于①：利用余弦定理运算求解即可；对于②：根据指、对数函数单调性分析判断.
【详解】对于①：利用余弦定理，即，而，解得；
对于②：因为，且在定义域内单调递增，
可得，即，
又因为，所以.
故答案为：；.
13．（22-23高三上·陕西咸阳·阶段练习）已知，则a，b，c的大小关系为 .
【答案】
【分析】由题意根据对数函数、指数函数单调性比较大小即可.
【详解】由题意，
故a，b，c的大小关系为.
故答案为：.
14．（2023高三上·全国·专题练习）若，，则与的大小关系为 .（用“”连接）
【答案】
【分析】利用作商法以及基本不等式可得出两个对数式的大小关系.
【详解】
，
因为，，则，，
所以.
故答案为：.
四、解答题
15．（22-23高三上·甘肃兰州·阶段练习）比较下列两组数的大小（写出详细理由）．
(1)a=0.40.3，b=0.30.3，c=0.30.4
(2)a=lg26，b=lg312，c=lg515
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意，根据指数函数与幂函数的单调性，可得答案；
（2）由题意，根据对数运算性质化简，结合中间值法，可得答案.
【详解】（1）由函数，且，则；
由函数，且，则；
则，即.
（2），
，
，
则，故.
16．（2020高三·全国·专题练习）比较大小：①，，；②，，；③，，．
【答案】①；②；③．
【解析】(1)构造相应的函数，依据其单调性比较函数值的大小，如：在上递减有，是增函数有，即可得大小关系；(2)将，，与0和1比较大小，即可确定它们的大小关系；(3)利用同底的指数、对数以0、1作为界值，比较，，的大小
【详解】①∵在上递减，
∴，
∵是增函数，
∴
综上，；
②∵，，
∴；
③，，，则
【点睛】本题考查了比较指数式、对数式的大小，结合相应的指数或对数函数，利用其单调性比较函数值的大小，或以0、1作为界值，结合同底的指数函数或对数函数的单调性比较大小
17．（2022高三·全国·专题练习）已知均为正实数，且．
(1)比较与的大小；
(2)比较和的大小．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）利用作差法比较大小，即得答案；
（2）结合指数函数以及对数函数的单调性，分类讨论的取值范围，即可得答案.
【详解】（1），
均为正实数，，
；
（2）当时，函数为增函数；当时，函数为减函数．
①当时，，则，
若，则；
若，则；
②当时，；
③当时，，则，
若，则；
若，则．
综上所述，当或时，；
当时，；
当或时，.
18．（22-23高三下·全国·开学考试）已知函数的最小值为0．
(1)求实数a的值；
(2)设，，，判断，，的大小．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出函数的导函数，分、两种情况讨论，分别求出函数的单调区间，即可得到函数的最小值为，从而得到，再令，利用导数说明函数的单调性，即可得到值，从而得解；
（2）由（1）可得，当时两边取对数得到，当时，设，根据函数值的情况判断，当时，设，即可判断，从而得解.
【详解】（1）解：由题意得．
当时，，单调递增，无最小值，不满足题意．
当时，令，得．
当时，；当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增．
所以的最小值为，即．
设，则．令，得．
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
即．故的解只有，
综上所述，．
（2）解：由（1）可得，所以，当且仅当时等号成立．
当时，不等式两边取对数，得，所以，当且仅当时等号成立．
当时，设，
则，当且仅当时，等号成立．
因为，所以，所以．
当时，设，因为，
所以，
所以，即．
故，所以．
综上所述，．
19．（2024·全国·模拟预测）已知函数．
(1)当时，讨论的单调性．
(2)若有两个零点，且，证明：．
【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减
(2)证明见解析
【分析】（1）利用导数判断的单调性，进而可得时，， 时，，进而可得单调区间；
（2）令，可得，构造函数，有两个极点可得，进而可得，进而运算可得要证，
，只需证，换元证明即可．
【详解】（1）当时，，定义域为，
则．
设，
则，
所以在上单调递减，即在上单调递减．
又，即，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减．
（2）令，得．
又，所以．显然当时，方程只有一个根，不符合题意，
所以．令，则．
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，则．
而，所以当时，恒有．
要使有两个零点，则需直线与函数的图象有两个交点，所以．
由上述可知，，且①，②．
②－①，得，所以．
②＋①，得，
所以．
设，则．
要证，又，所以只需证，
即证，即证．
令，则，所以在上单调递增，
则，即，故．
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
拓展冲刺练
一、单选题
1．（2024·北京东城·一模）已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】举出反例即可判断ABD，利用作差法即可判断C.
【详解】当时，，故AD错误；
当时，，故B错误；
对于C，因为，所以，因为，所以且，
则，
所以，故C正确.
故选：C.
2．（2024·天津·一模）已知函数，若，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先判断函数自变量大小可得，再根据函数在上的单调性判断即可.
【详解】因为，，
所以，
当时，，
因为，所以在上单调递增，
所以，
故选：C.
3．（2024·安徽阜阳·一模）设，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，由对数的运算化简，再由对数函数的单调性即可得到结果.
【详解】，
，
，
.
故选：D．
4．（2023·山西·模拟预测）已知实数满足，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】令，求得，设，求得为单调递增函数，得到，即单调递减，得出，再由函数，利用导数得到单调递增，结合，得到，即可求解.
【详解】由，可得，且，，
令，则，
设，可得，所以为R上单调递增函数，
因为，可得，即，
所以，即单调递减，所以，即，
即，所以，
再设，可得，
所以在上在单调递增，所以，即，
又因为，所以，所以，
综上可得：.
故选：C.
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是根据所给数的特征，构造适当的函数，利用函数的单调性比较大小.
5．（2024·河南郑州·模拟预测）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据已知条件及构造函数（），利用导数的正负与函数的单调性的关系，结合函数的单调性，再利用作差法、对数的运算及基本不等式即可求解.
【详解】设（），则，
所以在上单调递减，
所以，即 ，
所以，，
，所以，
故选：A．
【点睛】关键点睛：利用构造法和作差法，再利用导数法求函数的单调性，结合函数单调性及基本不等式即可.
二、多选题
6．（2023·山东青岛·三模）已知实数a，b，满足a＞b＞0，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】对于选项A：根据题意结合基本不等式分析判断；对于选项B：利用作差法分析判断；对于选项C：分析可得，结合指数函数单调性分析判断；对于选项D：结合幂函数单调性分析判断.
【详解】对于选项A：因为，即，解得或，
所以或，故A错误；
对于选项B：，
因为a＞b＞0，则，即，且，
所以，即，故B正确；
对于选项C：因为a＞b＞0，且，
可得同号，则有：
若同正，可得，
则，可得；
若同负，可得，
则，可得；
综上所述：，
又因为在定义域内单调递减，所以，故C正确；
对于选项D：因为a＞b＞0，则，
可得在内单调递增，可得，
且，所以，故D正确；
故选：BCD.
7．（2023·云南大理·模拟预测）若，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】根据题意可得，，，
选项A根据换底公式结合对数函数的单调性可得；
选项B由可判断；
选项C由可判断；
选项D由，结合指数函数的单调性可判断.
【详解】由，得，，
，
且，，
选项A：，故A正确；
选项B： ，当且仅当时等号成立，
因，所以，故B错误；
选项C：，当且仅当时等号成立，
因，所以，故C正确；
选项D：，
所以，故D正确.
故选：ACD
三、填空题
8．（22-23高三·全国·对口高考）将由小到大排列的顺序是： ．
【答案】
【分析】由指对数运算化简，进而判断它们的大小.
【详解】，
，
，
所以.
故答案为：
9．（23-24高三上·新疆喀什·期中）已知，则的大小关系是 （用“＜”表示）
【答案】
【分析】根据指数函数的单调性即可比较，进而由对数的性质即可求解,进而可比较大小.
【详解】解：∵函数在R上单调递减，
又∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴．
故答案为：
10．（2023高三上·全国·竞赛）已知，，，则这三个数的大小关系为 ．（用“”连接）
【答案】
【分析】构造且，应用导数研究单调性比较大小，通过与的图象比较与的大小，进而得到大小，即可得答案.
【详解】由，，令且，则，
所以在上递减，则，即，
所以，
由，，只需比较与的大小，
根据与，相交于两点，图象如下，
由，结合图知，故，
综上，.
故答案为：
四、解答题
11．（2024·辽宁抚顺·三模）设函数．
(1)讨论的单调性．
(2)证明：．
(3)当时，证明：．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）求得，结合导数的符号，即可求得的单调区间；
（2）根据题意，求得，得到的单调性和最小值，即可得证；
（3）根据题意，转化为证明，设，求得，得到在上单调递增，转化为证明，结合（2），即可得证.
【详解】（1）解：由函数，可得，
令，解得或．
当时，；当时，；
当时，．
故在和上单调递减，在上单调递增．
（2）证明：由函数的定义域为，且，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，的最小值为，故．
（3）证明：当时，，
要证，即证．
设，则，
当时，，则在上单调递增，
且，
当时，，故只需证明．
由（2）知，在上成立，故，
即成立．
【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别
综合提升练
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