培优点03 函数中的构造问题（2种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）-2025高考数学一轮精讲讲练（新高考版）

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函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，同构法构造函数也在解答题中出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题．
【核心题型】
题型一 导数型构造函数
命题点1 利用f(x)与x构造
(1)出现nf(x)＋xf′(x)形式，构造函数F(x)＝xnf(x)；
(2)出现xf′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝eq \f(fx,xn).
【例题1】（2023·全国·模拟预测）已知定义在上的偶函数，对，都有，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（2024·宁夏·一模）设定义在R上的函数满足对都有，且当时，，若，，，则a、b、c的大小关系是（ ）.
A．B．C．D．
【变式2】（2024·河南·三模）已知函数的定义域为，为其导函数，若，，则不等式的解集是 ．
【变式3】（2023·河北承德·模拟预测）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，求实数的取值范围.
命题点2 利用f(x)与ex构造
(1)出现f′(x)＋nf(x)形式，构造函数F(x)＝enxf(x)；
(2)出现f′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝eq \f(fx,enx).
【例题2】（2024·陕西西安·一模）若关于x的不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（23-24高三上·新疆伊犁·阶段练习）定义在上的函数满足，且有，则的解集为 .
【变式2】（2023·河南·模拟预测）已知定义在上的函数满足为的导函数，当时，，则不等式的解集为 .
【变式3】（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数．
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)当时，求的单调区间和极值；
(3)若对任意，有恒成立，求的取值范围．
命题点3 利用f(x)与sin x，cs x构造
函数f(x)与sin x，cs x相结合构造可导函数的几种常见形式
F(x)＝f(x)sin x，
F′(x)＝f′(x)sin x＋f(x)cs x；
F(x)＝eq \f(fx,sin x)，
F′(x)＝eq \f(f′xsin x－fxcs x,sin2x)；
F(x)＝f(x)cs x，
F′(x)＝f′(x)cs x－f(x)sin x；
F(x)＝eq \f(fx,cs x)，
F′(x)＝eq \f(f′xcs x＋fxsin x,cs2x).
【例题3】（2024·浙江绍兴·模拟预测）现有，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（2024·全国·模拟预测）设，则（ ）
A．B．C．D．
【变式2】．（2020·江苏南通·三模）已知，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为 .
【变式3】（22-23高三下·湖南长沙·阶段练习）在数列中给定，且函数的导函数有唯一的零点，函数且.则 .
题型二 同构法构造函数
指对同构，经常使用的变换形式有两种，一种是将x变成ln ex然后构造函数；另一种是将x变成eln x然后构造函数．
【例题4】（2022·陕西咸阳·二模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1】．（21-22高三上·全国·阶段练习）设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（2022·新疆·二模）已知，若在上存在x使得不等式成立，则的最小值为（ ）
A．B．1C．2D．
【变式3】（2024高三·全国·专题练习）若，则下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
【课后强化】
【基础保分练】
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）若，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·河南·三模）若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．B．C．1D．
3．（2024·山东济南·一模）若不等式对任意的恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·江西九江·模拟预测）设函数的定义域为，其导函数为，且满足，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
5．（2023·湖北黄冈·模拟预测）定义在上的函数的导函数为，当时，，函数 满足：为奇函数，且对于定义域内的所有实数，都有．则（ ）
A．是周期为2的函数B．为偶函数
C．D．的值域为
6．（2023·湖南·模拟预测）定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则（ ）
A．
B．，函数有极值
C．
D．，函数为单调函数
三、填空题
7．（2023·广东广州·一模）已知函数的定义域为，其导函数为，若.，则关于x的不等式的解集为 .
8．（2023·甘肃张掖·模拟预测）已知为偶函数，且当时，，其中为的导数，则不等式的解集为 ．
9．（2023·全国·模拟预测）已知函数，若对于恒成立，则实数的取值范围是 ．
四、解答题
10．（2024·甘肃白银·三模）设函数，．
(1)讨论的单调性．
(2)证明：．
(3)当时，证明：．
【综合提升练】
一、单选题
1．（2023·辽宁鞍山·二模）下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·全国·模拟预测）已知函数在上的图像如图所示，则的解析式可能是（ ）
A．B．
C．D．
3．（21-22高二下·四川广安·阶段练习）已知函数是定义在的奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·山东泰安·二模）已知奇函数在上是减函数，，若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·黑龙江大庆·模拟预测）已知函数的定义域为，为函数的导函数，若，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
6．（23-24高二下·重庆·开学考试）已知函数的定义域为R，设．设甲：是增函数，乙：是增函数，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
7．（2024·四川德阳·三模）已知函数及其导函数的定义域均为，且，，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·河北·模拟预测）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2022·江苏南通·一模）定义：在区间上，若函数是减函数，且是增函数，则称在区间上是“弱减函数”.根据定义可得（ ）
A．在上是“弱减函数”
B．在上是“弱减函数”
C．若在上是“弱减函数”，则
D．若在上是“弱减函数”，则
10．（2023·全国·模拟预测）已知函数是定义在上的函数，是的导函数，若，且，则下列结论正确的是（ ）
A．函数在定义域上有极小值．
B．函数在定义域上单调递增．
C．函数的单调递减区间为．
D．不等式的解集为．
11．（23-24高三下·河南信阳·阶段练习）已知曲线在点处的切线与曲线相切于点，则下列结论正确的是（ ）
A．函数有2个零点
B．函数在上单调递减
C．
D．
三、填空题
12．（2023·山东·一模）过点与曲线相切的直线方程为 ．
13．（23-24高三上·陕西安康·阶段练习）当时，恒有成立，则的取值范围是 .
14．（23-24高三上·江苏常州·阶段练习）已知函数，函数，若函数有两个零点，则实数a的取值范围
四、解答题
15．（2024·全国·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，证明：在定义域内恒成立．
16．（2024·全国·模拟预测）已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若任意的，都有恒成立，求实数a的取值范围．
17．（2023·江西·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)设函数，若的导函数存在两个零点，且，证明：．
18．（2024·黑龙江·二模）已知函数．
(1)当时，求的极值；
(2)若存在，满足，求的取值范围．
19．（2022·天津滨海新·三模）已知函数
(1)若函数在点处的切线斜率为0，求a的值．
(2)当时．
①设函数，求证：与在上均单调递增；
②设区间（其中，证明：存在实数，使得函数在区间上总存在极值点．
【拓展冲刺练】
一、单选题
1．（2022·全国·模拟预测）定义在上的函数的导函数是，函数为奇函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高三上·辽宁大连·期末）设，则（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024·浙江嘉兴·二模）已知定义在上且无零点的函数满足，且，则（ ）
A．B．
C．D．
4．（23-24高三上·河北·阶段练习）已知函数及其导函数的定义域均为，且恒成立，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
5．（2022·辽宁沈阳·三模）已知函数，若且，则有（ ）
A．可能是奇函数或偶函数B．
C．若A与B为锐角三角形的两个内角，则
D．
6．（22-23高三下·黑龙江·开学考试）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为B．的图象关于直线对称
C．在上单调递增D．的值域为
三、填空题
7．（2023·山东菏泽·三模）已知奇函数是定义在上的可导函数，其导函数为，当时，有，则的解集为 ．
8．（2023·广西柳州·二模）①，②，③，④，上述不等式正确的有 （填序号）
9．（2023·陕西咸阳·模拟预测）已知是定义在上的可导函数，若，，且时，恒成立，则的取值范围是 .
四、解答题
10．（2024·四川巴中·一模）已知函数.
(1)设，证明：当时，过原点O有且仅有一条直线与曲线相切；
(2)若函数有两个零点，求a的取值范围.