易错点04 导数及其应用（2个易错点错因分析与分类讲解+8个易错核心题型强化训练）-2025高考数学一轮精讲讲练（新高考版）

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易错点1 混淆曲线在某点处的切线方程与过某点的切线方程
【例1】.[陕西安康2022调研]曲线过点的切线方程是（ ）


【变式】.[江苏南通2023期末]已知函数，则曲线经过点的切线方程是 .
易错点2 对极值点的含义理解不清
【例2】. [山西长治八中2022测评]已知函数在处取得极值0，则（ ）

【变式】. [河南洛阳 2023 月考]若是函数的极值点，则的值为（ ）

【易错核心题型强化训练】
一．利用导数研究函数的单调性（共9小题）
1．（2024•新乡三模）设a=ln22，b=ln33，c=4−ln4e2，其中e是自然对数的底数，则（ ）
A．b＜a＜cB．a＜c＜bC．b＜c＜aD．c＜b＜a
2．（2024•安徽模拟）丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果．若x1，x2，⋯，xn为（a，b）上任意n个实数，满足f(x1+x2+⋯+xnn)⩽f(x1)+f(x2)+⋯+f(xn)n，则称函数f（x）在（a，b）上为“凹函数”．也可设可导函数f（x）在（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在（a，b）上的导函数为f″（x），当f″（x）＞0时，函数f（x）在（a，b）上为“凹函数”．已知x1，x2，⋯，xn＞0，n⩾2，且x1+x2+…+xn＝1，令W=x11−x1+x21−x2+⋯+xn1−xn的最小值为an，则a2024为（ ）
A．20232024B．20242023C．20242025D．20252024
3．（2024•邵阳模拟）已知函数f（x）的定义域为R，f'（x）为f（x）的导函数．若f（1）＝e，且f'（x）+ex＜f（x）在R上恒成立，则不等式f（x）＜（2﹣x）ex的解集为（ ）
A．（﹣∞，2）B．（2，+∞）C．（﹣∞，1）D．（1，+∞）
（多选）4．（2024•朝阳区校级模拟）已知正数a，b，c满足ea2=b=lnc，e为自然对数的底数，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．ac＞b2B．b＞1C．a+c＞2bD．c＞a
5．（2024•新县校级模拟）已知正数a，b满足lnb+1b4≤lna−a4+ln(2e)，则a+b＝ ．
6．（2024•山东模拟）法国数学家弗朗索瓦•韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，将其推广到高次方程，并在其著作《论方程的识别与订正》中正式发表，后来人们把这个关系称为韦达定理，即如果x1，x2，x3，…，xn（n≥2）是关于x的实系数一元n次方程anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0=0(an≠0)在复数集C内的n个根，则x1+x2+x3+⋯+xn=−an−1an，x1x2+x1x3+⋯+xn−1xn=an−2an，x1x2x3+x1x2x4+⋯+xn−2xn−1xn=−an−3an，⋯，x1x2x3⋅⋯⋅xn=(−1)n⋅a0an.
试运用韦达定理解决下列问题：
（1）已知a，b，c∈R，a+b+c＝1，ab+bc+ca＝0，求a3+b3+c3的最小值；
（2）已知a，b∈R，关于x的方程x3+（2﹣a）x2+bx﹣a＝0（a＞0）有三个实数根，其中至少有一个实数根在区间（0，a）内，求2a﹣b的最大值．
7．（2024•武昌区模拟）已知函数f（x）＝ax2+（a﹣2）x﹣lnx．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．
8．（2023•北京）设函数f（x）＝x﹣x3eax+b，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝﹣x+1．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）设g（x）＝f′（x），求g（x）的单调区间；
（Ⅲ）求f（x）的极值点的个数．
9．（2024•海淀区校级三模）已知函数f（x）＝ln（x+1）+k（x+1）．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）≤﹣1恒成立，求实数k的取值范围；
（Ⅲ）求证：i=2n lnii+1＜n(n−1)4．（n∈N且n≥2）
二．利用导数求解函数的单调性和单调区间（共3小题）
10．（2024•安徽三模）已知函数f（x）＝x2﹣ax+2lnx，a∈R．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）的两个极值点分别为x1，x2，证明：f(x1)−f(x2)x1−x2＞8a−a2．
11．（2024•重庆模拟）已知函数f（x）＝lnx﹣ax（a为实数）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若存在两个不相等的正数x1，x2满足f（x1）＝f（x2），求证x1+x2＞2a．
（3）若f（x）有两个零点x1，x2，证明：1lnx1+1lnx2＞2．
12．（2024•海淀区校级模拟）已知函数f（x）＝alnx+1x（a≠0）
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若存在两条直线y＝ax+b1，y＝ax+b2（b1≠b2）都是曲线y＝f（x）的切线．求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若|x|f（x）≤0}⊆（0，1），求实数a的取值范围．
三．利用导数研究函数的极值（共3小题）
13．（2024•顺义区模拟）已知函数f（x）=13+x2−（kx+b），给出下列四个结论：
①当k＝0时，对任意b∈R，f（x）有1个极值点；
②当k＞18时，存在b∈R，使得f（x）存在极值点；
③当b＝0时，对任意k∈R，f（x）有一个零点；
④当0＜b＜13时，存在k∈R，使得f（x）有3个零点．
其中所有正确结论的序号是 ．
14．（2024•日照模拟）已知函数f（x）＝sinx，g（x）＝xcsx﹣sinx．
（1）判断函数g（x）在区间（0，3π）上的零点个数，并说明理由；
（2）函数F(x)=f(x)x在区间（0，（n+1）π）（n∈N+）上的所有极值之和为M（n），证明：对于∀n∈N+，M（n）＜0．
15．（2024•广东模拟）已知函数f（x）＝x3+3bx2+3x有极值点
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间及b的取值范围；
（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x1、x2，且f（x1）+f（x2）＝0，求b的值．
四．函数在某点取得极值的条件（共3小题）
16．（2024春•新会区校级月考）已知函数f（x）＝x3﹣ax2﹣bx+a2在x＝1处有极值10，则a、b的值为（ ）
A．a＝﹣4，b＝11
B．a＝3，b＝﹣3或a＝﹣4，b＝11
C．a＝﹣1，b＝5
D．以上都不正确
17．（2024春•菏泽期中）已知函数f（x）=13x3−12x2+cx+d有极值，则c的取值范围为（ ）
A．c＜14B．c≤14C．c≥14D．c＞14
18．（2024春•江阴市校级月考）若函数f（x）＝x3+mx2+x+1在R上没有极值点，则实数m的取值范围是 ．
五．利用导数求解函数的极值（共4小题）
19．（2024春•常州月考）已知函数f(x)=e2x(ax2−x+12)．
（1）若x＝1是函数f（x）的极值点，求a的值，并求函数f（x）的极值；
（2）若函数f（x）在x＝0处取得极大值，求a的取值范围．
20．（2024春•承德月考）已知函数f（x）＝ax2﹣blnx在点A（1，f（1））处的切线方程为y＝1；
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数f（x）的极值．
21．（2024春•晋江市校级期中）已知函数f（x）＝x2﹣（a+2）x+alnx，常数a＞0．
（1）当x＝1时，函数f（x）取得极小值﹣2，求函数f（x）的极大值．
（2）设定义在D上的函数y＝h（x）在点P（x0，h（x0））处的切线方程为l：y＝g（x），当x≠x0时，若ℎ(x)−g(x)x−x0＞0在D内恒成立，则称点P为h（x）的“类优点”，若点（1，f（1））是函数f（x）的“类优点”，
①求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．
②求实数a的取值范围．
22．（2024春•东城区校级月考）已知函数f（x）＝x﹣1+aex（a∈R，e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值；
（Ⅲ）当a＝1的值时，若直线l：y＝kx﹣1与曲线y＝f（x）没有公共点，求k的最大值．
六．利用导数研究函数的最值（共12小题）
23．（2024•七星区校级模拟）数学中，悬链线指的是一种曲线，是两端固定的一条（粗细与质量分布）均匀、柔软（不能伸长）的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状，它被广泛应用到现实生活中，比如计算山脉的形状、婲述星系的形态、研究植物的生长等等．在合适的坐标系中，这类曲线可用函数f（x）＝aex+be﹣x（其中a，b为非零常数，e＝2.71828⋯）来表示，当f（x）取到最小值为2时，下列说法正确的是（ ）
A．此时x＝lna
B．此时a+b的最小值为2
C．此时2a+2b的最小值为2
D．此时lnalnb的最小值为0
24．（2024•贵阳模拟）若关于x的不等式（4k﹣1﹣lnx）x＜lnx﹣x+3对于任意x∈（1，+∞）恒成立，则整数k的最大值为（ ）
A．1B．0C．﹣1D．﹣2
25．（2024•秦都区校级四模）已知函数f（x）＝aex，g（x）＝2x+b，若f（x）≥g（x）恒成立，则ba的最大值是（ ）
A．﹣1B．1C．2D．2
26．（2024•龙岗区校级模拟）已知函数h（x）＝mex﹣x+1．
（1）若h（x）在（0，4）上有唯一零点，求m的取值范围；
（2）若h（x）≥h（x0）对任意实数x恒成立，证明：m2ℎ(x0)＞−m2+3m−1．
27．（2024•吉林模拟）在平面直角坐标系xOy中，Rt△OAB的直角顶点A在x轴上，另一个顶点B在函数f(x)=lnxx图象上．
（1）当顶点B在x轴上方时，求Rt△OAB以x轴为旋转轴，边AB和边OB旋转一周形成的面所围成的几何体的体积的最大值；
（2）已知函数g(x)=eax2−ex+ax2−1x，关于x的方程f（x）＝g（x）有两个不等实根x1，x2（x1＜x2）．
（i）求实数a的取值范围；
（ii）证明：x12+x22＞2e．
28．（2024•南昌三模）定义：若变量x，y＞0，且满足：(xa)m+(yb)m=1，其中a，b＞0，m∈Z．称y是关于x的“m型函数”．
（1）当a＝2，b＝1时，求y关于x的“2型函数”在点(1，32)处的切线方程；
（2）若y是关于x的“﹣1型函数”，
（ⅰ）求x+y的最小值；
（ⅱ）求证：(xn+yn)1n≥(ann+1+bnn+1)n+1n，（n∈N+）．
29．（2024•赤峰模拟）已知x∈(π4，π)．
（1）将sinx，csx，x，−12x2+1按由小到大排列，并证明；
（2）令f（x）＝xex+xcsx﹣2sinx﹣sin2x，求证：f（x）在x∈(π4，π)内无零点．
30．（2024•呼和浩特模拟）对于函数f（x），若实数x0满足f（x0）＝x0，则x0称为f（x）的不动点．已知函数f（x）＝ex﹣2x+ae﹣x（x≥0）．
（1）当a＝﹣1时，求证：f（x）≥0；
（2）当a＝0时，求函数f（x）的不动点的个数；
（3）设n∈N*，证明：112+1+122+2+⋯+1n2+n＞ln（n+1）．
31．（2024•3月份模拟）已知函数f（x）＝ex﹣ax，g（x）＝ax﹣lnx（a∈R）．
（1）当a＝e时，求曲线y＝f（x）过原点的切线方程；
（2）若f（x）的最小值与g（x）的最小值相等，求实数a．
32．（2024•运城二模）已知函数f（x）＝（x﹣a）ex+x+a（a∈R）．
（1）若a＝4，求f（x）的图象在x＝0处的切线方程；
（2）若f（x）⩾0对于任意的x∈[0，+∞）恒成立，求a的取值范围；
（3）若数列{an}满足a1＝1且an+1=2anan+2（n∈N*），记数列{an}的前n项和为Sn，求证：Sn+13＜ln[(n+1)(n+2)]．
33．（2024•天津模拟）f(x)=2sin(x+φ)−a+e−x，φ∈(0，π2)，已知f（x）的图象在（0，f（0））处的切线与x轴平行或重合．
（1）求φ的值；
（2）若对∀x≥0，f（x）≤0恒成立，求a的取值范围；
（3）利用如表数据证明：k=1157sinkπ314＜106．
34．（2024•济宁一模）已知函数f(x)=lnx−12ax2+12(a∈R)．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若0＜x1＜x2，证明：对任意a∈（0，+∞），存在唯一的实数ξ∈（x1，x2），使得f′(ξ)=f(x2)−f(x1)x2−x1成立；
（3）设an=2n+1n2，n∈N∗，数列{an}的前n项和为Sn．证明：Sn＞2ln（n+1）．
七．利用导数研究曲线上某点切线方程（共7小题）
35．（2024•河北模拟）已知曲线C1：x2+y2−4x+2y=0与曲线C2：f(x)=x2在第一象限交于点A，在A处两条曲线的切线倾斜角分别为α，β，则（ ）
A．α+β=π2B．|α−β|=π2C．α+β=π3D．|α﹣β|=π4
36．（2024•沙坪坝区校级模拟）设曲线f（x）＝xsinx在点（π，f（π））处的切线为l，则l与两坐标轴围成的三角形的面积为 ．
37．（2024•思明区校级模拟）已知曲线f（x）＝xlnx﹣1在x＝1处的切线l与圆C：（x﹣1）2+y2＝9相交于A、B两点，则|AB|＝ ．
38．（2024•宜春模拟）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（2x+2）为奇函数，记f'（x）为f（x）的导函数，若f′（﹣2）＝1，则y＝f（x）在点（﹣6，f（﹣6））处的切线方程为 ．
39．（2024•长沙模拟）已知函数f(x)=ex，x≥0，−x2，x＜0.若函数f（x）的图象在点A（x1，f（x1））（x1＜0）和点B（x2，f（x2））（x2＞0）处的两条切线相互平行且分别交y轴于M，N两点，则|AM||BN|的取值范围为 ．
40．（2024•莲湖区校级模拟）已知函数f（x）＝x2+3x+3，g（x）＝2ex+1﹣x﹣2．
（1）判断g（x）的零点个数；
（2）求曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）公切线的条数．
41．（2024•姜堰区校级模拟）设P是坐标平面xOy上的一点，曲线Γ是函数y＝f（x）的图像．若过点P恰能作曲线Γ的k条切线（k∈N），则称P是函数y＝f（x）的“k度点”．
（1）判断点O（0，0）与点A（2，0）是否为函数y＝lnx的1度点，不需要说明理由；
（2）已知0＜m＜π，g（x）＝sinx．证明：点B（0，π）是y＝g（x）（0＜x＜m）的0度点；
（3）求函数y＝x3﹣x的全体2度点构成的集合．
八．利用导数求解曲线在某点上的切线方程（共6小题）
42．（2024春•连州市校级月考）过曲线S：y＝3x﹣x3上一点A（2，﹣2）的切线方程为（ ）
A．y＝﹣2B．9x+y﹣16＝0
C．9x+y﹣16＝0或y＝﹣2D．9x﹣y﹣16＝0
43．（2024春•未央区校级期末）曲线f（x）＝3x2﹣ex在（0，﹣1）处的切线方程为（ ）
A．x+y+1＝0B．x﹣y+1＝0C．x﹣y﹣1＝0D．x+y﹣1＝0
44．（2024•辽阳二模）设函数f(x)=x+1x+2的图像与x轴相交于点P，则该曲线在点P处的切线方程为（ ）
A．y＝﹣xB．y＝﹣x﹣1C．y＝x﹣1D．y＝0
45．（2023•新城区校级模拟）已知函数f(x)=x−1x，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为（ ）
A．3x+2y﹣3＝0B．3x﹣2y﹣3＝0C．2x﹣3y﹣2＝0D．2x﹣3y+2＝0
46．（2023•鹰潭二模）已知函数f（x）＝﹣xlnx+（2﹣f′（e））x﹣3，则f（x）在x＝1处的切线方程为 ．
47．（2024•重庆模拟）已知f（x）＝ln（1+x）﹣ln（a﹣bx）是奇函数，则f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为（ ）
A．y＝2xB．y＝xC．y＝0D．y＝﹣2x
eπ314
e−π314
e78π314
e−78π314
e79π314
e−79π314
1.010
0.990
2.182
0.458
2.204
0.454