第01讲 集合（考点串讲课件）-2025高考数学一轮精讲讲练（新高考版）

这是一份第01讲 集合（考点串讲课件）-2025高考数学一轮精讲讲练（新高考版），共41页。PPT课件主要包含了易混易错练，常用结论，知识梳理，考点分类练，最新模拟练，确定性，互异性，无序性，不属于，列举法等内容，欢迎下载使用。
1.集合的含义与表示(1)集合元素的三个特征:　　　　　、　　　　　、　　　　　. (2)元素与集合的关系有　　　　或　　　　　两种,用符号　　或　　表示. (3)集合的表示方法:　　　　　、　　　　　、　　　　　. (4)常见数集的记法.
2.集合间的基本关系
4.集合的运算性质(1)并集的性质:A∪⌀=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A⇔B⫅A.(2)交集的性质:A∩⌀=⌀;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A⇔　　　　. (3)补集的性质:A∪(∁UA)=　　　;A∩(∁UA)=⌀;∁U(∁UA)=　　　;∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB);∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB). 
1.若集合A中含有n个元素,则它的子集个数为2n,真子集的个数为2n-1,非空真子集的个数为2n-2.2.A⊆B,B⊆C⇒A⊆C;A⫋B,B⫋C⇒A⫋C.3.A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B⇔(∁UB)⊆(∁UA)⇔A∩(∁UB)=⌀(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B).
易错点1　忽略集合中元素的互异性而致错
易错点2　不能正确理解集合的表示方法而致错
易错点3　不理解自定义的集合(运算)而致错
易错点4　不理解集合中元素的确定性而致错
易错点5　混淆元素与集合、集合与集合之间的关系而致错
易错点6　忽视对空集的讨论而致错
易错点7　忽略端点的取值情况而致错
易错点8　含参数的集合运算中忽视对空集的讨论而致错
例1 (1)[2022全国卷乙]设全集 U ＝{1，2，3，4，5}， 集合 M 满足∁ UM ＝{1，3}，则 (　A　)
[解析]　由题意知 M ＝{2，4，5}，故选A.
(2)[全国卷Ⅲ]已知集合 A ＝{( x ， y )｜ x ， y ∈N*， y ≥ x }， B ＝{( x ， y )｜ x ＋ y ＝ 8}，则 A ∩ B 中元素的个数为(　C　)
[解析]　由题意得， A ∩ B ＝{(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)}，所以 A ∩ B 中元素 的个数为4，故选C.
命题点2　集合间的基本关系
例2 [2023新高考卷Ⅱ]设集合 A ＝{0，－ a }， B ＝{1， a －2，2 a －2}，若 A ⊆ B ，则 a ＝(　B　)
[解析]　依题意，有 a －2＝0或2 a －2＝0.当 a －2＝0时，解得 a ＝2，此时 A ＝{0， －2}， B ＝{1，0，2}，不满足 A ⊆ B ；当2 a －2＝0时，解得 a ＝1，此时 A ＝{0， －1}， B ＝{－1，0，1}，满足 A ⊆ B . 所以 a ＝1，故选B.
命题点3　集合的基本运算
角度1　集合的交、并、补运算例3 (1)[2023新高考卷Ⅰ]已知集合 M ＝{－2，－1，0，1，2}， N ＝{ x ｜ x 2－ x －6≥0}，则 M ∩ N ＝(　C　)
[解析]　解法一　因为 N ＝{ x ｜ x 2－ x －6≥0}＝{ x ｜ x ≥3或 x ≤－2}，所以 M ∩ N ＝{－2}，故选C.
解法二　因为1∉ N ，所以1∉ M ∩ N ，排除A，B；因为2∉ N ，所以2∉ M ∩ N ，排除 D. 故选C.
(2)[2023全国卷甲]设全集 U ＝Z，集合 M ＝{ x ｜ x ＝3 k ＋1， k ∈Z}， N ＝{ x ｜ x ＝ 3 k ＋2， k ∈Z}，则∁ U ( M ∪ N )＝(　A　)
[解析]　解法一　 M ＝{…，－2，1，4，7，10，…}， N ＝{…，－1，2，5，8，11，…}，所以 M ∪ N ＝{…，－2，－1，1，2，4，5，7，8，10，11，…}，所以∁ U ( M ∪ N )＝{…，－3，0，3，6，9，…}，其元素都是3的倍数，即∁ U ( M ∪ N )＝{ x ｜ x ＝3 k ， k ∈Z}，故选A.
解法二　集合 M ∪ N 表示被3除余1或2的整数集，则它在整数集中的补集是恰好能 被3整除的整数集，故选A.
（3）[2023全国卷乙]设全集 U ＝{0，1，2，4，6，8}，集合 M ＝{0，4，6}， N ＝{0，1，6}，则 M ∪∁ UN ＝(　A　)
[解析]　由题意知，∁ UN ＝{2，4，8}，所以 M ∪∁ UN ＝{0，2，4，6，8}.故选A.
角度2　已知集合运算结果求参数例4 [全国卷Ⅰ]设集合 A ＝{ x ｜ x 2－4≤0}， B ＝{ x ｜2 x ＋ a ≤0}，且 A ∩ B ＝ { x ｜－2≤ x ≤1}，则 a ＝(　B　)
集合中元素的个数问题的求解策略关于集合中元素的个数问题，常借助Venn图或用公式card( A ∪ B )＝card( A )＋ card( B )－ card( A ∩ B )，card( A ∪ B ∪ C )＝card( A )＋card( B )＋card( C )－card( A ∩ B )－card( A ∩ C )－card( B ∩ C )＋card( A ∩ B ∩ C )(card( A )表示有限集合 A 中元素的个数)求解.
命题点4　集合中的计数问题
例5 [全国卷Ⅲ]《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰 宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随 机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读 过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有 60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为(　C　)
[解析]　解法一　由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为 90－80＋60＝70，则 该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为70÷100＝0.7.故 选C.
解法二　用Venn图表示调查的100位学生中阅读过《西游记》和《红楼梦》的人数 之间的关系，如图，
集合的新定义问题的理解
“新定义”主要是指定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
命题点5　集合的新定义问题
例6 [2024上海市晋元高级中学模拟]已知集合 M ＝{1，2，3，4，5，6}，集合 A ⊆ M ，定义 M ( A )为 A 中元素的最小值，当 A 取遍 M 的所有非空子集时，对应的 M ( A )的和记为 S ，则 S ＝ ⁠.
[解析]　由 M ＝{1，2，3，4，5，6}得， M 的非空子集 A 共有26－1个，其中最小值 为1的有25个，最小值为2的有24个，最小值为3的有23个，最小值为4的有22个， 最 小值为5的有21个，最小值为6的有20个，故 S ＝25×1＋24×2＋23×3＋22×4＋2×5 ＋1×6＝120.
1. [2024武汉部分学校调考]已知集合 A ＝{ x ｜ x 2－2 x －8＜0}， B ＝{－2，－1， 0，1，2}，则 A ∩ B ＝(　B　)
[解析]　因为 A ＝{ x ｜ x 2－2 x －8＜0}＝{ x ｜－2＜ x ＜4}， B ＝{－2，－1，0， 1，2}，所以 A ∩ B ＝{－1，0，1，2}，故选B.
[解析]　由已知，得 P ＝[0，＋∞)， Q ＝(0，＋∞)，所以 Q ⊆ P ，故选A.
3. [2024辽宁联考]设全集 U ＝{1，2， m 2}，集合 A ＝{2， m －1}，∁ UA ＝{4}，则 m ＝(　D　)
4. [2024江西南昌模拟]已知集合 A ＝{ x ｜2 x ≤8， x ∈N}， B ＝{ x ｜－2＜ x ＜5}， 则 A ∩ B 中元素的个数为(　B　)
[解析]　因为 A ＝{ x ｜2 x ≤8， x ∈N}＝{0，1，2，3}，所以 A ∩ B ＝{0，1，2， 3}，则 A ∩ B 中元素的个数为4.故选B.
5. [2024山东模拟]已知集合 M ＝{ x ｜ x 2－2 x ≤0}， N ＝{ x ｜lg2( x －1)＜1}，则 M ∩ N ＝(　B　)
[解析]　解法一　因为 M ＝{ x ｜ x 2－2 x ≤0}＝{ x ｜0≤ x ≤2}， N ＝{ x ｜lg2( x － 1)＜1}＝{ x ｜0＜ x －1＜2}＝{ x ｜1＜ x ＜3}，所以 M ∩ N ＝(1，2]，故选B.
6. [2024重庆渝北模拟]设集合 A ＝{ x ｜ x 2－8 x ＋15＝0}，集合 B ＝{ x ｜ ax －1＝ 0}，若 B ⊆ A ，则实数 a 取值集合的真子集的个数为(　C　)
7. [2024江西吉安模拟]若全集 U ＝{3，4，5，6，7，8}， M ＝{4，5}， N ＝{3，6}，则集合{7，8}＝(　D　)
[解析]　因为 M ＝{4，5}， N ＝{3，6}，所以 M ∪ N ＝{3，4，5，6}， M ∩ N ＝∅，所以选项A，B不符合题意；又因为 U ＝{3，4，5，6，7，8}，所以(∁ UM )∪(∁ UN )＝{3，6，7，8}∪{4，5，7，8}＝{3，4，5，6，7，8}，(∁ UM )∩(∁ UN )＝{3，6，7，8}∩{4，5，7，8}＝{7，8}，因此选项C不符合题意，选项D符合题意，故选D.
8. [多选/2024辽宁朝阳模拟]设 S 为实数集R的非空子集.若对任意 x ， y ∈ S ，都有 x ＋ y ， x － y ， xy ∈ S ，则称 S 为封闭集.下列说法正确的是(　BCD　)