考点04 基本不等式（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）-2025高考数学一轮精讲讲练（新高考版）

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1.了解基本不等式的推导过程.
2.会用基本不等式解决简单的最值问题.
3.理解基本不等式在实际问题中的应用．
【知识点】
1．基本不等式：eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)
(1)基本不等式成立的条件： .
(2)等号成立的条件：当且仅当 时，等号成立．
(3)其中 叫做正数a，b的算术平均数， 叫做正数a，b的几何平均数．
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥ (a，b∈R)．
(2)eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥ (a，b同号)．
(3)ab≤ (a，b∈R)．
(4)eq \f(a2＋b2,2)≥ (a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
3．利用基本不等式求最值
(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值 .
(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值 .
注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．
【核心题型】
题型一 利用基本不等式求最值
(1)前提：“一正”“二定”“三相等”．
(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．
(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法．
命题点1 配凑法
【例题1】（2024·辽宁·一模）已知，则 的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1】故选：D（2024·四川德阳·模拟预测）已知正实数，，满足，则的最小值是 .
【变式2】（2024·内蒙古呼伦贝尔·一模）已知函的最小值为m．
(1)求m的值；
(2)若a，b为正数，且，求的最大值.
【变式3】（2024·黑龙江·二模）已知实数，且，则取得最大值时，的值为（ ）
A．B．C．D．或
命题点2 常数代换法
【例题2】（2024·江苏南通·二模）设，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．3
【变式1】（2024·四川成都·模拟预测）若是正实数，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（23-24高三上·浙江宁波·期末）已知，则下列选项中，能使取得最小值25的为（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（2024·全国·模拟预测）设正实数a，b满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
命题点3 消元法
【例题3】（2024·全国·模拟预测）已知，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（2023·重庆·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（ ）．
A．4B．6C．8D．12
【变式2】(2023·烟台模拟)已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________．
【变式3】（2024·浙江·模拟预测）已知，求的最小值．
题型二 基本不等式的常见变形应用
基本不等式的常见变形
(1)ab≤≤eq \f(a2＋b2,2).
(2)eq \f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)≤eq \r(\f(a2＋b2,2))(a>0，b>0)．
【例题4】（2023·全国·三模）已知，，且，则下列不等式不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1】（2023·辽宁·二模）数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（ ）．
A．B．
C．D．
【变式2】（2023·陕西宝鸡·二模）设a，，则“”是“”的（ ）
充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知正项数列的前项和为，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．是递减数列
C．D．
题型三 基本不等式的实际应用
利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题，设出变量，注意变量应满足实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值．
【例题5】（2023·湖南岳阳·模拟预测）如图，某人沿围墙修建一个直角梯形花坛，设直角边米，米，若米，问当 米时，直角梯形花坛的面积最大．

【变式1】（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知某商品近期价格起伏较大，假设第一周和第二周的该商品的单价分别为m元和n元，甲、乙两人购买该商品的方式不同，甲每周购买100元的该商品，乙每周购买20件该商品，若甲、乙两次购买平均单价分别为，则（ ）
A． B． C． D．的大小无法确定
【变式2】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）小明在春节期间，预约了正月初五上午去美术馆欣赏油画，其中有一幅画吸引了众多游客驻足观赏，为保证观赏时可以有最大视角，警卫处的同志需要将警戒线控制在距墙多远处最合适呢？（单位：米，精确到小数点后两位）已知该画挂在墙上，其上沿在观赏者眼睛平视的上方3米处，其下沿在观赏者眼睛平视的上方1米处.（ ）
A．1.73B．1.41C．2.24D．2.45
【变式3】（2024·广东韶关·二模）在工程中估算平整一块矩形场地的工程量W（单位：平方米）的计算公式是，在不测量长和宽的情况下，若只知道这块矩形场地的面积是10000平方米，每平方米收费1元，请估算平整完这块场地所需的最少费用（单位：元）是（ ）
A．10000B．10480C．10816D．10818
【课后强化】
基础保分练
单选题
1.（2024·河南南阳·一模）已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A．8B．9C．10D．11
2．（2023·河南开封·三模）已知，，且，，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（22-23高三上·湖南长沙·阶段练习）甲、乙两名司机的加油习惯有所不同，甲每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而乙则说“师傅帮我把油箱加满”，如果甲、乙各加同一种汽油两次，两人第一次与第二次加油的油价分别相同，但第一次与第二次加油的油价不同，乙每次加满油箱，需加入的油量都相同，就加油两次来说，甲、乙谁更合算（ ）
A．甲更合算B．乙更合算
C．甲乙同样合算D．无法判断谁更合算
4．（2024·陕西西安·一模）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《胁子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何?现有这样一个相关的问题：被除余且被除余的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前项和为，则的最小值为（ ）
A．60B．61C．75D．76
5．（2023·河南信阳·模拟预测）若，则函数有（ ）
A．最小值1B．最大值1C．最小值D．最大值
6．（2024·四川凉山·二模）已知正数满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
7．（2024·江苏·一模）已知，且，，则( )
A．B．
C．D．
8．（2024·贵州贵阳·一模）已知，且，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
9.（2024·云南红河·二模）如图，在棱长均相等的斜三棱柱中，，，若存在，使成立，则的最小值为 .
10．（2024·江西九江·二模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知A，B，C成等差数列，，则面积的最大值是 ， .
四、解答题
11．（2024·四川广安·二模）已知，，均为正数，且.
(1)是否存在，，，使得，说明理由；
(2)证明：.
12．（2024·四川成都·二模）已知函数
(1)求不等式的解集；
(2)设的最小数为，正数满足，求的最小值.
综合提升练
一、单选题
1．（2024·广东湛江·一模）已知，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·辽宁鞍山·二模）已知，均为锐角，，则取得最大值时，的值为（ ）
A．B．C．1D．2
3．（23-24高三上·浙江金华·期末）若，则的最大值为（ ）
A．B．1C．D．
4．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·陕西西安·一模）已知二次函数的图象与轴交于、两点，图象在、两点处的切线相交于点．若，则的面积的最小值为（ ）．
A．B．C．D．
6．（2023·山东泰安·模拟预测）在实验课上，小明和小芳利用一个不等臂的天平秤称取药品. 实验一：小明将克的砝码放在天平左盘，取出一些药品放在右盘中使天平平衡；实验二：小芳将克的砝码放在右盘，取出一些药品放在天平左盘中使天平平衡，则在这两个实验中小明和小芳共秤得的药品（ ）
A．大于克B．小于克
C．大于等于克D．小于等于克
7．（2024·云南楚雄·模拟预测）足球是一项深受人们喜爱的体育运动.如图，现有一个11人制的标准足球场，其底线宽，球门宽，且球门位于底线的中间，在某次比赛过程中，攻方球员带球在边界线上的点处起脚射门，当最大时，点离底线的距离约为（ ）
A．B．C．D．
8．（23-24高三上·浙江宁波·期末）设实数x，y满足，，不等式恒成立，则实数k的最大值为（ ）
A．12B．24C．D．
二、多选题
9．（23-24高三上·河北沧州·阶段练习）已知，，且，则下列说法正确的有（ ）
A．B．C．D．
10．（23-24高三上·湖南常德·期末）已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
11．（2024·全国·模拟预测）已知正实数a，b，c满足，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
12．（2024·陕西咸阳·二模）已知总体的各个个体的值由小到大依次为2，4，4，6，a，b，12，14，18，20，且总体的平均值为10．则的最小值为 ．
13．（2024·辽宁大连·一模）对于任意的正数m，n，不等式 成立，则λ的最大值为
14．（2024·四川泸州·二模）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的最大值为 ．
四、解答题
15．（2024·四川成都·二模）已知函数，不等式的解集为.
(1)求实数的值；
(2)函数的最小值为，若正实数满足，求的最小值.
16．（2023·陕西宝鸡·二模）已知函数．
(1)求的解集；
(2)设的最小值为，若正数，，满足，求的最大值．
17．（2024·青海·一模）已知正数满足．求证：
(1)；
(2)．
18．（2024·广东·一模）海参中含有丰富的蛋白质、氨基酸、维生素、矿物质等营养元素，随着生活水平的提高，海参逐渐被人们喜爱．某品牌的海参按大小等级划分为5、4、3、2、1五个层级，分别对应如下五组质量指标值：，，，，．从该品牌海参中随机抽取10000颗作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图．
(1)质量指标值越高，海参越大、质量越好，若质量指标值低于400的为二级，质量指标值不低于400的为一级．现利用分层随机抽样的方法按比例从不低于400和低于400的样本中随机抽取10颗，再从抽取的10颗海参中随机抽取4颗，记其中一级的颗数为X，求X的分布列及数学期望；
(2)甲、乙两人计划在某网络购物平台上参加该品牌海参的订单“秒杀”抢购活动，每人只能抢购一个订单，每个订单均由箱海参构成．假设甲、乙两人抢购成功的概率均为，记甲、乙两人抢购成功的订单总数量为Y，抢到海参总箱数为Z．
①求Y的分布列及数学期望；
②当Z的数学期望取最大值时，求正整数n的值．
19．（2023·四川达州·二模）在中，角、、所对的边分别为、、，.
(1)求；
(2)若，求面积的最小值.
拓展冲刺练
一、单选题
1．（2024·辽宁·一模）已知．则“且”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
2．（2024·山东济宁·一模）已知的内角的对边分别为，且，，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·湖北武汉·模拟预测）在三棱锥中，，，，，且，则二面角的余弦值的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高三上·江苏镇江·开学考试）某校在校庆期间举办羽毛球比赛，某班派出甲､乙两名单打主力，为了提高两位主力的能力，体育老师安排了为期一周的对抗训练，比赛规则如下：甲、乙两人每轮分别与体育老师打2局，当两人获胜局数不少于3局时，则认为这轮训练过关；否则不过关.若甲､乙两人每局获胜的概率分别为，，且满足，每局之间相互独立.记甲、乙在轮训练中训练过关的轮数为，若，则从期望的角度来看，甲､乙两人训练的轮数至少为（ ）
A．27B．24C．32D．28
二、多选题
5．（2024·江苏·一模）已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为B．的图象关于点对称
C．不等式无解D．的最大值为
6．（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·全国·模拟预测）实数，满足，则（ ）
A．
B．的最大值为
C．
D．的最大值为
三、填空题
8．（2024·四川成都·模拟预测）已知实数，若，则的最小值为 ．
9．（2024·福建漳州·模拟预测）如图，某城市有一条公路从正西方向通过路口后转向西北方向，围绕道路打造了一个半径为的扇形景区，现要修一条与扇形景区相切的观光道，则的最小值为 ．
四、解答题
10．（2023·四川资阳·模拟预测）已知，，且．
(1)求的最小值；
(2)证明：．
11．（22-23高一下·四川·期末）蜀绣又名“川绣”，与苏绣，湘绣，粤绣齐名，为中国四大名绣之一，蜀绣以其明丽清秀的色彩和精湛细腻的针法形成了自身的独特的韵味，丰富程度居四大名绣之首．1915年，蜀绣在国际巴拿马赛中荣获巴拿马国际金奖，在绣品中有一类具有特殊比例的手巾呈如图所示的三角形状，点D为边BC上靠近B点的三等分点，，．

(1)若，求三角形手巾的面积；
(2)当取最小值时，请帮设计师计算BD的长．
12．（2024·江苏盐城·模拟预测）根据多元微分求条件极值理论，要求二元函数在约束条件的可能极值点，首先构造出一个拉格朗日辅助函数，其中为拉格朗日系数．分别对中的部分求导，并使之为0，得到三个方程组，如下：
，解此方程组，得出解，就是二元函数在约束条件的可能极值点．的值代入到中即为极值．
补充说明：【例】求函数关于变量的导数．即：将变量当做常数，即：，下标加上，代表对自变量x进行求导．即拉格朗日乘数法方程组之中的表示分别对进行求导．
(1)求函数关于变量的导数并求当处的导数值．
(2)利用拉格朗日乘数法求：设实数满足，求的最大值．
(3)①若为实数，且，证明：．
②设，求的最小值．