考点08 函数的奇偶性、周期性（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）-2025高考数学一轮精讲讲练（新高考版）

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1.了解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性及其几何意义.
2.会依据函数的性质进行简单的应用．
【知识点】
1．函数的奇偶性
2.周期性
(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且 ，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 的正数，那么这个
就叫做f(x)的最小正周期．
常用结论
1．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．
2．函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝eq \f(1,fx)，则T＝2a(a>0)．
【核心题型】
题型一 函数奇偶性的判断
判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件
(1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数．
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．
【例题1】（多选）（2024·辽宁·模拟预测）函数的图像向左平移个单位长度后得到的图像，则（ ）
A．B．是偶函数
C．的图像关于点中心对称D．当时，取到最小值
【变式1】（2024·北京丰台·一模）已知函数具有下列性质：
①当时，都有；
②在区间上，单调递增；
③是偶函数．
则 ；函数可能的一个解析式为 ．
【变式2】（2024·内蒙古赤峰·一模）已知，．下列结论中可能成立的有 ．
①；
②；
③是奇函数；
④对，．
【变式3】（2024·河南信阳·一模）若函数的图像关于原点对称，则m＝ ．
题型二 函数奇偶性的应用
(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值．
(2)利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题．
命题点1 利用奇偶性求值(解析式)
【例题2】（2023·四川·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，当时，，则满足的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（2023·安徽马鞍山·三模）函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2024·陕西安康·模拟预测）写出一个对称中心为的奇函数 .
【变式3】（2024·云南昆明·模拟预测）已知，分别为定义在上的奇函数和偶函数，，则 ．
命题点2 利用奇偶性解不等式
【例题3】（2024·广西柳州·三模）设函数是定义在上的奇函数，且对于任意的x，，都有.若函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1】（2024·辽宁·一模）已知函数，若成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（2024·四川南充·二模）设函数，则满足的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（2024·贵州贵阳·一模）已知是定义在上的偶函数，且也是偶函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
题型三 函数的周期性
(1)求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期．
(2)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．
【例题4】（2024·陕西渭南·模拟预测）已知定义在R上的函数满足，为奇函数，则（ ）
A．B．0C．1D．2
【变式1】（2024·江苏徐州·一模）若定义在R上的函数满足，是奇函数，则（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（2024·全国·模拟预测）已知定义域为的函数满足，则（ ）
A．B．C．0D．3
【变式3】（多选）（2024·全国·模拟预测）若定义在上的函数满足，则下列结论中正确的是（ ）
A．是奇函数B．是周期为4的周期函数
C．D．
【课后强化】
基础保分练
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，设甲：的图象关于轴对称；乙：是奇函数或偶函数，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
2．（2024·天津·一模）如图是函数的部分图象，则的解析式可能为（ ）

A．B．
C．D．
3．（2024·河北·模拟预测）定义在上的函数周期为，且为奇函数，则（ ）
A．为偶函数B．为偶函数
C．为奇函数D．为奇函数
4．（2024·全国·模拟预测）已知函数，则使得成立的正实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
5．（2023·全国·模拟预测）已知函数和分别为R上的奇函数和偶函数，满足，，分别为函数和的导函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．当时，的值域为
C．当时，若恒成立，则a的取值范围为
D．当时，满足
6．（2024·浙江金华·模拟预测）已知函数，则（ ）
A．是偶函数B．的最小正周期为
C．的最大值为D．的最小值为
三、填空题
7．（2024·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，是奇函数，是偶函数，，则 ．
8．（2023·黑龙江·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时， ．
四、解答题
9．（2023·陕西西安·模拟预测）已知奇函数在处取得极大值2.
(1)求的解析式；
(2)求在上的最值.
10．（2023·陕西宝鸡·模拟预测）设函数.
(1)求函数在区间上的最大值和最小值；
(2)设函数对任意，有，且当时，；求函数在上的解析式.
11．（22-23高三上·河南·阶段练习）已知是定义在上的偶函数，且.
(1)求的解析式；
(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)设，若存在，对任意的，都有，求实数的取值范围.
12．（2023·黑龙江佳木斯·模拟预测）已知是定义在[－2，2]上的函数，若满足且．
(1)求的解析式；
(2)设函数，若对任意，都有恒成立，求m的取值范围．
综合提升练
一、单选题
1．（2024·广东佛山·一模）已知为奇函数，则在处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·四川·模拟预测）已知，若，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·广东茂名·一模）函数和均为上的奇函数，若，则（ ）
A．B．C．0D．2
4．（2023·广东·一模）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
5．（2024·安徽芜湖·二模）已知直线l：与曲线W：有三个交点D、E、F，且，则以下能作为直线l的方向向量的坐标是（ ）．
A．B．C．D．
6．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数，若等差数列的前项和为，且，，则（ ）
A．-4048B．0C．2024D．4048
7．（2024·全国·模拟预测）已知定义在上的函数满足，且为奇函数，，则（ ）
A．4047B．4048C．4049D．4050
8．（2024·黑龙江吉林·二模）已知偶函数满足，且当时，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2022·江苏南通·模拟预测）华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学､经济学和社会学领域都有重要作用.在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设是定义在R上的函数，对于R，令，若存在正整数k使得，且当0A．0B．C．D．1
10．（2023·山西·模拟预测）奇函数与偶函数的定义域均为，且满足，则下列判断正确的是（ ）
A．B．
C．在上单调递增D．的值域为
11．（2024·湖南·二模）已知函数的定义域均为，，且的图像关于直线对称，则以下说法正确的是（ ）
A．和均为奇函数B．
C．D．
三、填空题
12．（2023·四川雅安·一模）已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，则的最小值为 .
13．（2024·山东枣庄·一模）已知为偶函数，且，则 ．
14．（2023·四川绵阳·模拟预测）已知函数的定义域为，且，若为奇函数，，则 ．
四、解答题
15．（2023·河南洛阳·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，当时，．
(1)求的解析式；
(2)若关于的方程在上有解，求实数的取值范围．
16．（2023·上海黄浦·一模）已知集合A和定义域为的函数，若对任意，，都有，则称是关于A的同变函数.
(1)当与时，分别判断是否为关于A的同变函数，并说明理由；
(2)若是关于的同变函数，且当时，，试求在上的表达式，并比较与的大小；
(3)若n为正整数，且是关于的同变函数，求证：既是关于的同变函数，也是关于的同变函数.
17．（2023·上海普陀·一模）设函数的表达式为.
(1)求证：“”是“函数为偶函数”的充要条件；
(2)若，且，求实数的取值范围.
18．（2024·全国·模拟预测）已知函数．
(1)若，求证：当时，
(2)若，求证：在上有且仅有三个零点，，（），且．
19．（2023·上海徐汇·一模）若函数的导函数是以为周期的函数，则称函数具有“性质”．
(1)试判断函数和是否具有“性质”，并说明理由；
(2)已知函数，其中具有“性质”，求函数在上的极小值点；
(3)若函数具有“性质”，且存在实数使得对任意都有成立，求证：为周期函数．
（可用结论：若函数的导函数满足，则（常数）．）
拓展冲刺练
一、单选题
1．（23-24高三下·江西·阶段练习）已知函数，则满足不等式的的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·重庆·一模）已知定义在R上的函数满足：，且时，，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，为的导函数，则（ ）
A．B．0C．1D．2
4．（2024·云南红河·二模）已知函数，对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
5．（2024·湖南岳阳·二模）已知函数的定义域为，对任意都有，且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．为奇函数
C．D．
6．（2024·河南·一模）定义在R上的函数（且，），若存在实数m使得不等式恒成立，则下列叙述正确的是（ ）
A．若，，则实数m的取值范围为
B．若，，则实数m的取值范围为
C．若，，则实数m的取值范围为
D．若，，则实数m的取值范围为
三、填空题
7．（2024·陕西西安·二模）已知定义域为的函数满足，且当时，，则 .
8．（2024·陕西西安·模拟预测）定义在上的函数的导函数为，且有，且对任意都有，则使得成立的的取值范围是 .
9．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知，若直线与有个交点，则 .
四、解答题
10．（23-24高三上·全国·阶段练习）已知函数是偶函数.
(1)求的值;
(2)设 ，，若对任意的 ，存在，使得，求的取值范围.
11．（2024·全国·模拟预测）行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，其中最简单的二阶行列式的运算定义如下：．
(1)在等比数列中，是的两个实根，求的值；
(2)已知数列的前项和为，且，若，求数列的前项和；
(3)已知是奇函数，是偶函数．设函数，且存在实数，使得对于任意的都成立，若，求的值．
12．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数的图象，类比三角函数的三种性质：①平方关系：①，②和角公式：，③导数：定义双曲正弦函数．
(1)直接写出，具有的类似①、②、③的三种性质（不需要证明）；
(2)若当时，恒成立，求实数a的取值范围；
(3)求的最小值．
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且 ，那么函数f(x)就叫做偶函数
关于 对称
奇函数
一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且 ，那么函数f(x)就叫做奇函数
关于 对称