考点17 导数与函数的单调性（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）-2025高考数学一轮精讲讲练（新高考版）

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1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).3.会利用函数的单调性判断大小，求参数的取值范围等简单应用
【知识点】
1．函数的单调性与导数的关系
2.利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数的 ；
第2步，求出导数f′(x)的 ；
第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．
常用结论
1．若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则当x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则当x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立．
2．若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)<0有解
【核心题型】
题型一 不含参函数的单调性
确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点，一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开．
【例题1】（2023·全国·模拟预测）已知函数，则的单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（2024·四川成都·三模）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，的单调递增区间为（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（2024·四川巴中·一模）已知奇函数的导函数为，若当时，且.则的单调增区间为 .
【变式3】（2024·河南开封·三模）已知函数，为的导函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的单调区间和极值．
题型二 含参数的函数的单调性
(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．
(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点
【例题2】（多选）（23-24高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）函数（）的大致图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
【变式1】（2024·天津·二模）已知，
(1)当时，求在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性；
(3)若函数存在极大值，且极大值为1，求证：．
【变式2】（2024·陕西商洛·三模）已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)当时，若函数和的图象在上有交点，求实数的取值范围．
【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，．（参考数据：）
题型三 函数单调性的应用
由函数的单调性求参数的取值范围的方法
(1)函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立．
(2)函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f′(x)>0 (或f′(x)<0)在该区间上存在解集
命题点1 比较大小或解不等式
【例题3】（2024·四川成都·模拟预测）若函数对任意的都有恒成立，则与的大小关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．无法比较大小
【变式1】（2023·全国·模拟预测）比较，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（23-24高三上·湖南衡阳·期末）已知函数.
(1)证明：当时，对恒成立.
(2)若存在，使得，比较与的大小，并说明理由.
【变式3】（23-24高三上·河北保定·阶段练习）已知函数.
(1)当时，比较与的大小；
(2)若函数，且，证明：.
命题点2 根据函数的单调性求参数
【例题4】（2023·全国·模拟预测）若对任意的，，且，，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（23-24高三上·广东汕头·期中）设，若函数在递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（多选）（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数，下列命题正确的是（ ）
A．若是函数的极值点，则
B．若，则在上的最小值为0
C．若在上单调递减，则
D．若在上恒成立，则
【变式3】（23-24高三上·山东青岛·期末）若函数在上单调递增，则a的取值范围是 ．
【课后强化】
基础保分练
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）．
A．B．eC．D．
2．（23-24高三上·山西大同·阶段练习）设在上为增函数，则实数取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·云南楚雄·一模）若，则函数的图象可能是（ ）
A．B．
C． D．
4．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数，若有且只有两个整数使得，且，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·全国·模拟预测）已知，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
6．（2023·全国·模拟预测）已知函数，则（ ）
A．函数 是偶函数B．是曲线的切线
C．存在正数在不单调D．对任意实数，
7．（23-24高三上·江西宜春·期中）下列函数中，是奇函数且在区间上是减函数的是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
8．（2024·云南大理·模拟预测）函数的最大值为 .
9．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是 .
四、解答题
10．（2024·江西南昌·一模）已知函数.
(1)求的单调递减区间；
(2)求的最大值.
11．（2024·江苏盐城·模拟预测）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若不等式恒成立，求的取值范围.
综合提升练
一、单选题
1．（2023·贵州毕节·一模）给出下列命题：
①函数恰有两个零点；
②若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是；
③若函数满足，则；
④若关于x的方程有解，则实数m的取值范围是.
其中正确的是（ ）
A．①③B．②④C．③④D．②③
2．（2023·江西·模拟预测）已知函数的大致图象如图所示，则（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024·云南昆明·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）
A．B．C．eD．
4．（2024·全国·模拟预测）已知函数，为的导函数，，则（ ）
A．的极大值为，无极小值
B．的极小值为，无极大值
C．的极大值为，无极小值
D．的极小值为，无极大值
5．（2024·全国·模拟预测）已知，则它们之间的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2023·贵州遵义·模拟预测）若函数在区间上单调递增，则的可能取值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
7．（2024·全国·模拟预测）若，，，则，，的大小顺序为（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·吉林通化·模拟预测）已知函数有两个大于1的零点，则的取值范围可以是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．（22-23高三上·云南昆明·阶段练习）已知函数，则（ ）
A．函数的极大值点为B．函数的极小值点为
C．函数在上单调递增D．函数在上单调递减
10．（2023·云南昆明·模拟预测）已知函数，其中，下列选项中，能使函数有且仅有一个零点的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
11．（2023·山东泰安·一模）已知函数有两个极值点，，则（ ）
A．B．C．D．，
三、填空题
12．（2024·四川成都·三模）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，的单调递增区间为 ．
13．（2023·湖南·模拟预测）已知函数，对于任意，都有，则实数的取值范围为 .
14．（2023·广东广州·模拟预测）已知函数恰有两个零点，则 .
四、解答题
15．（2024·全国·模拟预测）已知函数．
(1)当，时，求的单调区间；
(2)若函数在处取得极值，求曲线在点处的切线方程．
16．（2024·全国·模拟预测）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，．
17．（2024·全国·模拟预测）已知函数，．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，．
18．（2024·青海·模拟预测）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若有3个不同的零点，求的取值范围．
19．（2023·全国·模拟预测）已知函数，其中为自然对数的底数．
(1)若在区间上不是单调函数，求的取值范围．
(2)当时，恒成立，求的取值范围．
拓展冲刺练
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）下列函数是奇函数且在上单调递减的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数且在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·甘肃兰州·三模）函数，若在是减函数，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·全国·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
5．（2024·云南昆明·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若为上的单调函数，则
B．若时，在上有最小值，无最大值
C．若为奇函数，则
D．当时，在处的切线方程为
6．（2024·云南曲靖·一模）下列不等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
7．（2024·全国·模拟预测）已知，，，且，则a，b，c的大小关系为 ．（用“”连接）
8．（2023·安徽·二模）若不等式对恒成立，则实数a的取值范围为 ．
四、解答题
9．（2024·湖南衡阳·二模）已知函数，当时，取得极值．
(1)求的解析式；
(2)求在区间上的最值．
10．（2024·陕西西安·三模）已知函数，函数在区间上为增函数．
(1)确定的值，求时曲线在点处的切线方程；
(2)设函数在上是单调函数，求实数的取值范围．
11．（2024·辽宁丹东·一模）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，数列满足，
①求证：；
②求证：．
条件
恒有
结论
函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导
f′(x)>0
f(x)在区间(a，b)上________
f′(x)<0
f(x)在区间(a，b)上________
f′(x)＝0
f(x)在区间(a，b)上是________