考点18 导数与函数的极值、最值（2种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）-2025高考数学一轮精讲讲练（新高考版）

这是一份考点18 导数与函数的极值、最值（2种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）-2025高考数学一轮精讲讲练（新高考版），文件包含考点18导数与函数的极值最值2种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练原卷版docx、考点18导数与函数的极值最值2种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共72页， 欢迎下载使用。

1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.掌握利用导数研究函数最值的方法.4.会用导数研究生活中的最优化问题．
【知识点】
1．函数的极值
(1)函数的极小值
函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧 ，右侧 ，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值
函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧 ，右侧 ，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
(3)极小值点、极大值点统称为 ，极小值和极大值统称为 ．
2．函数的最大(小)值
(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条 的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的 ；
②将函数y＝f(x)的各极值与 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
常用结论
对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件
【核心题型】
题型一 利用导数求解函数的极值问题
根据函数的极值(点)求参数的两个要领
(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；
(2)验证：求解后验证根的合理性．
命题点1 根据函数图象判断极值
【例题1】（2024·四川广安·二模）已知函数，给出下列4个图象：
其中，可以作为函数的大致图象的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式1】（23-24高三上·黑龙江·阶段练习）如图是函数的导函数的图象，下列结论正确的是（ ）

A．在处取得极大值B．是函数的极值点
C．是函数的极小值点D．函数在区间上单调递减
【变式2】（2023·河北·模拟预测）函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】（2024高三·全国·专题练习）已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率小于零
B．函数f（x）在区间（－1，1）上单调递增
C．函数f（x）在x＝1处取得极大值
D．函数f（x）在区间（－3，3）内至多有两个零点
命题点2 求已知函数的极值
【例题2】（2024·宁夏银川·一模）若函数在处取得极大值，则的极小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（2023·全国·模拟预测）函数在区间的极大值、极小值分别为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【变式2】（多选）（2024·全国·模拟预测）已知则方程可能有（ ）个解.
A．3B．4C．5D．6
【变式3】（2024·辽宁鞍山·二模）的极大值为 ．
命题点3 已知极值(点)求参数
【例题3】（2024·全国·模拟预测）设为函数（其中）的两个不同的极值点，若不等式成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（2024·四川绵阳·三模）若函数有唯一极值点，则下列关系式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2024·辽宁·一模）已知函数在处有极值8，则等于 ．
【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知函数．
(1)若的极值为－2，求a的值；
(2)若m，n是的两个不同的零点，求证：．
题型二 利用导数求函数最值
求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值．
命题点1 不含参函数的最值
【例题4】（2024·陕西·模拟预测），有恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（2024·四川·模拟预测）已知 ，若存在，使得成立，则实数的取值范围是 .
【变式2】（2024·上海徐汇·二模）如图，两条足够长且互相垂直的轨道相交于点，一根长度为的直杆的两端点分别在上滑动（两点不与点重合，轨道与直杆的宽度等因素均可忽略不计），直杆上的点满足，则面积的取值范围是 .
【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知函数．
(1)求函数的最值．
(2)证明：（其中为自然对数的底数）．
命题点2 含参函数的最值
【例题5】（2024·四川成都·模拟预测）已知函数没有极值点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（23-24高三下·重庆·阶段练习）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A．B．C．D．
【变式2】．（2024·全国·模拟预测）函数只有3个零点，，，则的取值范围是 ．
【变式3】（2024·北京海淀·一模）已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)若函数存在最大值，求的取值范围.
【课后强化】
基础保分练
一、单选题
1．（2023·广西·模拟预测）函数在处取得极小值，则极小值为（ ）
A．1B．2C．D．
2．（2024·四川凉山·二模）若，，则函数的零点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
3．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则（ ）
A．函数的最大值为1
B．函数的最小值为1
C．函数的最大值为1
D．函数的最小值为1
4．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数有个极值点，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·全国·模拟预测）已知函数在上恰有两个极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
6．（2024·全国·模拟预测）已知函数在定义域内既存在极大值点又存在极小值点，则（ ）
A． B．
C． D．对于任意非零实数，总存在实数满足题意
7．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知各项都是正数的数列的前项和为，且，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，B．
C．数列是等差数列D．
三、填空题
8．（2024·上海黄浦·二模）如图是某公园局部的平面示意图，图中的实线部分（它由线段与分别以为直径的半圆弧组成）表示一条步道.其中的点是线段上的动点，点O为线段的中点，点在以为直径的半圆弧上，且均为直角.若百米，则此步道的最大长度为 百米.
9．（2023·江西赣州·模拟预测）当时，函数取得极小值1，则 .
四、解答题
10．（2023·河南洛阳·一模）已知函数．
(1)求的图像在点处的切线方程；
(2)求在上的值域．
11．（2024·上海静安·二模）已知，记（且）．
(1)当（是自然对数的底）时，试讨论函数的单调性和最值；
(2)试讨论函数的奇偶性；
(3)拓展与探究：
① 当在什么范围取值时，函数的图象在轴上存在对称中心？请说明理由；
②请提出函数的一个新性质，并用数学符号语言表达出来．（不必证明）
综合提升练
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）若函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知函数在区间上的最小值为1，则实数a的值为（ ）
A．-2B．2C．-1D．1
3．（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）已知函数有极值，则（ ）
A．1B．2C．D．3
4．（2024·广东佛山·二模）若函数（）既有极大值也有极小值，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·甘肃兰州·一模）已知函数的极值点为，函数的最大值为，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·全国·模拟预测）记函数的导函数为，的导函数为，则曲线的曲率．则曲线的曲率的极值点为（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·北京朝阳·一模）已知个大于2的实数，对任意，存在满足，且，则使得成立的最大正整数为（ ）
A．14B．16C．21D．23
8．（2023·河南洛阳·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，且，则（ ）
A．有一个极小值点，一个极大值点B．有两个极小值点，一个极大值点
C．最多有一个极小值点，无极大值点D．最多有一个极大值点，无极小值点
二、多选题
9．（2023·全国·模拟预测）对函数，公共定义域内的任意x，若存在常数，使得恒成立，则称和是伴侣函数，则下列说法正确的是（ ）
A．存在常数，使得与是伴侣函数
B．存在常数，使得与是伴侣函数
C．与是伴侣函数
D．若，则存在常数，使得与是伴侣函数
10．（2024·全国·模拟预测）已知函数的极小值点为0，极大值点为，且极大值为0，则（ ）
A．B．
C．存在，使得D．直线与曲线有3个交点
11．（2024·全国·模拟预测）已知函数，其中为自然对数的底数，则（ ）
A．若为减函数，则B．若存在极值，则
C．若，则D．若，则
三、填空题
12．（2022·广西·模拟预测）已知函数，则的极小值为 .
13．（2023·广东汕头·一模）函数的一个极值点为1，则的极大值是 ．
14．（2024·上海闵行·二模）对于任意的，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为 .
四、解答题
15．（2024·安徽·二模）已知函数.
(1)求函数在点处的切线方程；
(2)求的单调区间和极值.
16．（2024·海南·模拟预测）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，若函数有最小值2，求的值.
17．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数．
(1)求的最大值；
(2)证明：当时，．
18．（2024·福建·模拟预测）已知函数在处的切线在轴上的截距为．
(1)求的值；
(2)若有且仅有两个零点，求的取值范围．
19．（2024·全国·模拟预测）已知函数．
(1)若曲线在处的切线方程为，求的值及的单调区间．
(2)若的极大值为，求的取值范围．
(3)当时，求证：．
拓展冲刺练
一、单选题
1．（2023·湖南衡阳·模拟预测）若曲线与有三条公切线，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·河南·三模）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．在处得到极大值B．在处得到极大值
C．在处得到极小值D．在处得到极小值
3．（2023·湖北·模拟预测）设函数，若正实数使得存在三个两两不同的实数，，满足，，，恰好为一个矩形的四个顶点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·湖北·二模）已知函数（e为自然对数的底数）．则下列说法正确的是（ ）
A．函数的定义域为R
B．若函数在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，则
C．当时，可能有三个零点
D．当时，函数的极小值大于极大值
二、多选题
5．（2023·安徽·一模）已知函数，则（ ）
A．是奇函数
B．的单调递增区间为和
C．的最大值为
D．的极值点为
6．（2024·浙江杭州·二模）过点的直线与抛物线C：交于两点．抛物线在点处的切线与直线交于点，作交于点，则（ ）
A．直线与抛物线C有2个公共点
B．直线恒过定点
C．点的轨迹方程是
D．的最小值为
三、填空题
7．（2024·全国·模拟预测）函数在定义域内为增函数，则实数k的取值范围为 ．
8．（2023·江苏淮安·模拟预测）已知函数有三个零点，则a的取值范围是 .
四、解答题
9．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知函数，.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若方程有三个不同的实根，求的取值范围．
10．（2024·山西吕梁·二模）已知函数.
(1)当时，求的单调区间和极值；
(2)求在区间上的最大值.