考点21 利用导数研究函数的零点（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）-2025高考数学一轮精讲讲练（新高考版）

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函数零点问题在高考中占有很重要的地位，主要涉及判断函数零点的个数或范围．高考常考查三次函数与复合函数的零点问题，以及函数零点与其他知识的交汇问题，一般作为解答题的压轴题出现
【核心题型】
题型一 利用函数性质研究函数的零点
利用函数性质研究函数的零点，主要是根据函数单调性、奇偶性、最值或极值的符号确定函数零点的个数，此类问题在求解过程中可以通过数形结合的方法确定函数存在零点的条件．
【例题1】（2024·全国·模拟预测）若函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（2024·陕西西安·一模）若不等式恒成立，则实数的取值范围为 .
【变式2】（2024·全国·模拟预测）已知函数，.
(1)讨论的单调性；
(2)设，若存在两个不同的零点，，且.
（i）证明：；
（ii）证明：.
【变式3】（2024·辽宁·三模）已知.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，证明：函数有且仅有两个零点，且.
题型二 数形结合法研究函数的零点
含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，可将参数分离出来后，用x表示参数的函数，作出该函数的图象，根据图象特征求参数的范围或判断零点个数．
【例题2】（2024·北京房山·一模）若函数，则函数零点的个数为（ ）
A．1B．2C．1或2D．1或3
【变式1】（2024·全国·模拟预测）已知函数．若有三个不同的根，则的取值范围为 ．
【变式2】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数．
(1)若函数在点处的切线与直线垂直，求a的值；
(2)当时，讨论函数零点的个数．
【变式3】（2024·河北邯郸·二模）已知函数．
(1)是否存在实数，使得和在上的单调区间相同？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
(2)已知是的零点，是的零点．
①证明：，
②证明：．
题型三 构造函数法研究函数的零点
涉及函数的零点(方程的根)问题，主要利用导数确定函数的单调区间和极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间内的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求得参数的取值范围
【例题3】（2023·吉林通化·模拟预测）已知函数满足：①定义域为；②；③有且仅有两个不同的零点，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（2024·河北沧州·模拟预测）已知函数，则（ ）
A．当时，有极小值B．当时，有极大值
C．若，则D．函数的零点最多有1个
【变式2】（2024·全国·模拟预测）设函数.
(1)若，求函数的单调区间；
(2)设函数在上有两个零点，求实数的取值范围.（其中是自然对数的底数）
【变式3】（2024·广东·二模）已知.
(1)求的单调区间；
(2)函数的图象上是否存在两点（其中），使得直线与函数的图象在处的切线平行？若存在，请求出直线；若不存在，请说明理由.
【课后强化】
基础保分练
一、单选题
1．（2023·四川资阳·模拟预测）将函数在上的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列（其中），则（ ）
A．B．
C．D．为递减数列
2．（23-24高三上·湖北荆门·阶段练习）的零点的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
3．（2023·四川成都·二模）若指数函数（且）与幂函数的图象恰好有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·全国·模拟预测）已知函数存在零点，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
5．（2024·全国·模拟预测）已知函数，，则（ ）
A．若有极值点，则
B．当时，有一个零点
C．
D．当时，曲线上斜率为2的切线是直线
6．（2024·辽宁抚顺·三模）已知定义在上的奇函数连续，函数的导函数为．当时，，其中为自然对数的底数，则（ ）
A．在上为减函数B．当时，
C．D．在上有且只有1个零点
三、填空题
7．（2024·内蒙古包头·一模）已知函数，若存在唯一的零点，则k的取值范围是 .
8．（2024·四川成都·模拟预测）若函数在上有2个极值点，则实数的取值范围是 .
四、解答题
9．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知，.
(1)讨论的单调性.
(2)若使得，求参数的取值范围.
10．（2024·宁夏固原·一模）已知函数．
(1)求的最小值；
(2)若有两个零点，求的取值范围．
11．（2024·全国·模拟预测）已知函数，且有两个相异零点．
(1)求实数a的取值范围．
(2)证明：．
12．（2024·湖北黄石·三模）已知函数有两个零点，.
(1)求实数的取值范围；
(2)如果，求此时的取值范围.
综合提升练
一、单选题
1．（2023·湖南·模拟预测）有甲、乙两个物体同时从A地沿着一条固定路线运动，甲物体的运动路程（千米）与时间t（时）的关系为，乙物体运动的路程（千米）与时间t（时）的关系为，当甲、乙再次相遇时，所用的时间t（时）属于区间（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）函数的零点所在的大致区间为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·全国·模拟预测）若函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高三下·江西·阶段练习）函数有且只有一个零点，则的取值可以是（ ）
A．2B．1C．3D．
5．（2024·陕西汉中·二模）已知函数，有4个零点，则m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·全国·模拟预测）已知函数恰有一个零点，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·贵州贵阳·一模）已知函数，若方程存在三个不相等的实根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．（2024·陕西·二模）已知，且时，，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．当时，
C．若，为常函数，则在区间内仅有1个根
D．若，则
二、多选题
9．（2024·辽宁·三模）已知函数为实数，下列说法正确的是（ ）
A．当时，则与有相同的极值点和极值
B．存在，使与的零点同时为2个
C．当时，对恒成立
D．若函数在上单调递减，则的取值范围为
10．（2024·河北唐山·一模）已知函数，则（ ）
A．直线是曲线的切线
B．有两个极值点
C．有三个零点
D．存在等差数列，满足
11．（2024·全国·模拟预测）已知函数，，下列命题正确的是（ ）
A．若，则有且只有一个零点
B．若，则在定义域上单调，且最小值为0
C．若，则有且只有两个零点
D．若，则为奇函数
三、填空题
12．（2023·四川内江·模拟预测）若函数有两个零点，则的取值范围为 ．
13．（2024·四川泸州·二模）若函数有零点，则实数的取值范围是 ．
14．（2024·广东佛山·二模）若函数（）有2个不同的零点，则实数的取值范围是 ．
四、解答题
15．（23-24高三上·河南·期末）已知函数．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若，研究函数在上的单调性和零点个数．
16．（2024·四川泸州·三模）已知函数（），
(1)讨论函数的零点个数；
(2)若恒成立，求函数的零点的取值范围．
17．（2024·四川·模拟预测）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，求证：．
18．（2024·北京朝阳·一模）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若关于的不等式无整数解，求的取值范围.
19．（2024·全国·模拟预测）已知函数，函数．
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)当时，求函数的零点个数．
拓展冲刺练
一、单选题
1．（2024·云南·模拟预测）已知函数，若在有实数解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·浙江杭州·模拟预测）若函数有且仅有两个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024·四川成都·二模）函数，下列说法不正确的是（ ）
A．当时，恒成立
B．当时，存在唯一极小值点
C．对任意在上均存在零点
D．存在在上有且只有一个零点
4．（2024·甘肃武威·模拟预测）已知函数有3个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
5．（2024·重庆·一模）已知函数，则在有两个不同零点的充分不必要条件可以是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数，下列说法正确的有（ ）
A．当时，则在上单调递增
B．当时，函数有唯一极值点
C．若函数只有两个不等于1的零点，则必有
D．若函数有三个零点，则
三、填空题
7．（2023·湖北·一模）若函数在处的切线与的图像有三个公共点，则的取值范围 ．
8．（2023·河南·模拟预测）已知函数有三个零点，且它们的和为0，则的取值范围是 .
四、解答题
9．（2024·北京丰台·二模）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数有两个零点，求的取值范围．
10．（2024·全国·模拟预测）已知函数．
(1)求证：在上有唯一的极大值点；
(2)若恒成立，求a的值；
(3)求证：函数有两个零点．