考点22 任意角和弧度制、三角函数的概念（2种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）-2025高考数学一轮精讲讲练（新高考版）

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1.了解任意角的概念和弧度制
2.能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.
3.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．
【知识点】
1．角的概念
(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的 旋转所成的图形．
(2)分类
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(按旋转方向不同分为 、 、 ,按终边位置不同分为 和轴线角.))
(3)相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为 .
(4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝_________
____________．
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于 的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示．
(2)公式
3．任意角的三角函数
(1)任意角的三角函数的定义：
设P(x，y)是角α终边上异于原点的任意一点，其到原点O的距离为r，则sin α＝eq \f(y,r)，cs α＝eq \f(x,r)，tan α＝eq \f(y,x)(x≠0)．
(2)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图．
常用结论
1．象限角
2．轴线角
【核心题型】
题型一 角及其表示
确定kα，eq \f(α,k)(k∈N*)的终边位置的方法
先写出kα或eq \f(α,k)的范围，然后根据k的可能取值确定kα或eq \f(α,k)的终边所在位置．
【例题1】（2023·安徽·模拟预测）已知角终边上有一点，则为（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
【变式1】（2023·辽宁·一模）已知角的终边上一点的坐标为，则的最小正值为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2024·北京东城·一模）已知角的终边关于直线对称，且，则的一组取值可以是 ， .
【变式3】（2024·湖南岳阳·三模）已知角的终边关于直线对称，且，则的一组取值可以是 ， ．
题型二 弧度制及其应用
应用弧度制解决问题的方法
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为基本不等式或二次函数的最值问题．
【例题2】（2024·全国·模拟预测）设，则（ ）
A．B．
C．D．
【变式1】（23-24高三上·北京·阶段练习）已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45°，若的面积为，则该圆锥的侧面积为 .
【变式2】（22-23高一下·辽宁朝阳·期中）已知扇形的面积为4，圆心角的弧度数是2，则该扇形的半径为 ．
【变式3】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）用一个圆心角为，面积为的扇形（为圆心）用成一个圆锥（点恰好重合），该圆锥顶点为，底面圆的直径为，则的值为 ．
题型三 三角函数的概念
(1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标，可以求出α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P的坐标．
(2)利用角所在的象限判定角的三角函数值的符号时，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况．
【例题3】（2023·福建福州·模拟预测）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，为其终边上一点，则（ ）
A．B．4C．D．1
【变式1】（2024·河南·一模）以坐标原点为顶点，x轴非负半轴为始边的角，其终边落在直线上，则有（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2024·湖南邵阳·二模）在中，边上的高为，则 .
【变式3】（2023·广东佛山·一模）若点关于原点对称点为，写出的一个取值为 .
【课后强化】
【基础保分练】
一、单选题
1．（2023高三·全国·专题练习）与终边相同的角的表达式中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（23-24高三上·江西赣州·期中）已知为第一象限角，且，则为（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
3．（23-24高三上·重庆渝北·阶段练习）已知角终边上有一点，则是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
4．（23-24高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）若是第一象限角，则下列各角为第四象限角的是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
5．（2024·全国·模拟预测）如图，设单位圆与轴的正半轴相交于点，以轴的非负半轴为始边作锐角，，，它们的终边分别与单位圆相交于点，，．若，则下列说法正确的是（ ）

A．当时，的面积为
B．当时，扇形的面积为
C．当时，四边形的面积为
D．四边形面积的最大值为1
6．（2024·全国·模拟预测）如图，已知正三棱锥和正三棱锥的侧棱长均为．若将正三棱锥绕旋转，使得点分别旋转至点处，且四点共面，点分别位于两侧，则下列说法中正确的是（ ）

A．多面体存在外接球B．
C．平面D．点运动所形成的最短轨迹长大于
三、填空题
7．（2023·天津河北·一模）直线将圆分成两段圆弧，则较短圆弧与较长圆弧的弧长之比为 .
8．（2024高三·全国·专题练习）已知一个扇形圆心角，所对的弧长，则该扇形面积为 ．
9．（2024·全国·模拟预测）已知是第二象限角，且其终边经过点，则 ．
四、解答题
10．（2024高三·全国·专题练习）已知角终边经过点，且．求的值．
11．（22-23高三上·安徽阜阳·期中）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点．
(1)求的值；
(2)求的值．
【综合提升练】
一、单选题
1．（2024·河南商丘·模拟预测）“”是“为第一象限角”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．（2024·黑龙江·二模）已知角的终边与单位圆的交点，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·北京怀柔·模拟预测）攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式建筑、园林建筑等，如图所示的亭子带有攒尖的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其底面积为，屋顶的体积为，算得侧面展开图的圆心角约为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·辽宁抚顺·三模）已知圆锥的底面圆的半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的母线长为（ ）
A．B．3C．D．4
5．（22-23高三上·安徽安庆·阶段练习）已知条件，条件，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
6．（22-23高三上·贵州贵阳·期末）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·重庆·模拟预测）已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则（ ）
A．B．C．D．1
8．（2024·四川南充·三模）如图，圆O内接一个圆心角为60°的扇形，在圆O内任取一点，该点落在扇形内的概率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2024·广东广州·模拟预测）下列命题正确的是（ ）
A．“是第二象限角或第三象限角”，“”，则是的充分不必要条件
B．若为第一象限角，则
C．在中，若，则为锐角三角形
D．已知，且，则
10．（2023·吉林长春·一模）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
11．（2024·湖南·模拟预测）已知，双曲线C：，则（ ）
A．可能是第一象限角B．可能是第四象限角
C．点可能在C上D．点可能在C上
三、填空题
12．（2023·全国·模拟预测）已知直线与圆交于，两点，则劣弧所对应的扇形的面积为 ．
13．（2023·上海青浦·二模）已知函数的图像绕着原点按逆时针方向旋转弧度，若得到的图像仍是函数图像，则可取值的集合为 .
14．（2022·全国·模拟预测）已知的顶点为坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边在第二象限，，则的值为 ．
四、解答题
15．（2024高三·全国·专题练习）利用单位圆写出符合下列条件的角α的取值集合．
(1)；
(2)；
(3)tan α≥1.
16．（2023·广东广州·三模）在直角坐标系中，已知是以原点O为圆心，半径长为2的圆，点，角x（单位：弧度）的始边为射线，终边与交于点B，点B的纵坐标y关于角x的函数为．
(1)写出函数的解析式；
(2)将函数的图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象．求函数在区间上的最大值和最小值，并写出取得最值时自变量x的值．
17．（23-24高三上·江西·阶段练习）如图，已知两质点A，B同时从点P出发，绕单位圆逆时针做匀速圆周运动，质点A，B运动的角速度分别为3rad/s和5rad/s，设两质点运动时这两质点间的距离为．

(1)求的解析式；
(2)求这两质点从点P出发后第n次相遇的时间（单位：s）．
18．（2023·北京海淀·模拟预测）已知函数，且．
(1)求a的值和函数在区间上的最大值及取得最大值时x的值．
(2)若，，求的值．
19．（2024·甘肃·一模）如图，角的始边为轴非负半轴，终边与单位圆交于点，过点作轴的垂线，垂足为到直线的距离为.若将关于角的函数关系记为.

(1)求的解析式；
(2)将图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求在的单调递增区间.
【拓展冲刺练】
一、单选题
1．（2024·湖南·一模）出土于鲁国故城遗址的“出廓双龙勾玉纹黄玉璜”（图1）的璜身满刻勾云纹，体扁平，呈扇面状，黄身外耧空雕饰“”型双龙，造型精美．现要计算璜身面积（厚度忽略不计），测得各项数据（图2）：，若，则璜身（即曲边四边形）面积近似为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·贵州贵阳·三模）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积（），弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现已知弧田面积为，且弦是矢的倍，按照上述经验公式计算所得弧田的弧长是（ ）

A．B．C．D．
3．（2024·全国·模拟预测）石雕、木雕、砖雕被称为建筑三雕．源远流长的砖雕，由东周瓦当、汉代画像砖等发展而来，明清时代进入巅峰，形成北京、天津、山西、徽州、广东、临夏以及苏派砖雕七大主要流派．苏派砖雕被称为“南方之秀”，是南方地区砖雕艺术的典型代表，被广泛运用到墙壁、门窗、檐廊、栏槛等建筑中．图（1）是一个梅花砖雕，其正面是一个扇环，如图（2），砖雕厚度为6cm，，，所对的圆心角为直角，则该梅花砖雕的表面积为（单位：）（ ）

A．B．C．D．
4．（2023·陕西商洛·一模）在正四棱台中，，点在底面内，且，则的轨迹长度是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
5．（2024·全国·模拟预测）通过研究宋代李诫所著的《营造法式》等古建资料，可以得到中国宋代建筑的屋顶蕴含着丰富的数学元素，体现了数学的对称美，并且符合两个特点：一、从檐口到屋脊的曲线为屋面曲线，左、右屋面曲线对称，可用圆弧拟合屋面曲线，且圆弧所对的圆心角为30°±2°；二、从檐口到屋脊的垂直距离为坡屋面高度半径，水平距离为半坡宽度，且．如图为某宋代建筑模型的结构图，其中A为屋脊，B，C为檐口，且所对的圆心角，所在圆的半径为4，，则（ ）

A．的长为
B．
C．若与所在两圆的圆心距为，则此建筑的屋顶不符合宋代建筑屋顶的特点
D．若与所在两圆的圆心距为4，要想此建筑的屋顶符合宋代建筑屋顶的特点，可将圆心角θ缩小
6．（23-24高三上·山东威海·期末）质点和同时出发，在以原点为圆心，半径为的上逆时针作匀速圆周运动.的角速度大小为，起点为与轴正半轴的交点；的角速度大小为，起点为射线与的交点.则当与重合时，的坐标可以为（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
7．（23-24高三上·北京顺义·期中）已知命题：若为第一象限角，且，则.能说明命题为假命题的一组的值可以是 ， .
8．（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，若角的顶点为原点，始边为轴非负半轴，终边经过点，则 .
9．（2023·湖北·二模）已知是第三象限角，，则 ．
四、解答题
10．（2024·安徽·二模）在平面直角坐标系中，利用公式①（其中，，，为常数），将点变换为点的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由，，，组成的正方形数表唯一确定，我们将称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母，，…表示．
(1)在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针旋转得到点（到原点距离不变），求点的坐标；
(2)如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针旋转角得到点（到原点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵；
(3)向量（称为行向量形式），也可以写成，这种形式的向量称为列向量，线性变换坐标公式①可以表示为：，则称是二阶矩阵与向量的乘积，设是一个二阶矩阵，，是平面上的任意两个向量，求证：．
角α的弧度数公式
|α|＝eq \f(l,r)(弧长用l表示)
角度与弧度的换算
1°＝eq \f(π,180) rad；1 rad＝________
弧长公式
弧长l＝_______
扇形面积公式
S＝________＝_______