考点25 简单的三角恒等变换（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）-2025高考数学一轮精讲讲练（新高考版）

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能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆)．
【知识点】
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S2α：sin 2α＝ .
(2)公式C2α：cs 2α＝ ＝ ＝ .
(3)公式T2α：tan 2α＝ .
2．常用的部分三角公式
(1)1－cs α＝ ，1＋cs α＝ .(升幂公式)
(2)1±sin α＝ .(升幂公式)
(3)sin2α＝ ，cs2α＝ ，tan2α＝ .(降幂公式)
【核心题型】
题型一 三角函数式的化简
(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：
一看角，二看名，三看式子结构与特征．
(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的联系点．
【例题1】（2024·河北承德·二模）函数的图象的对称轴方程为（ ）
A．B．
C．D．
【变式1】（2023·广东珠海·模拟预测） ．
【变式2】（2023·河北·一模）函数的最小值为 .
【变式3】（2024·吉林长春·模拟预测）在中，内角，，的对边分别为，，，已知该三角形的面积．
(1)求角的大小；
(2)线段上一点满足，，求的长度．
题型二 三角函数式的求值
(1)给值(角)求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法．
(2)给值(角)求值问题的一般步骤
①化简条件式子或待求式子；
②观察条件与所求式子之间的联系，从函数名称及角入手；
③将已知条件代入所求式子，化简求值．
命题点1 给角求值
【例题2】（20-21高三·江苏南京·阶段练习）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（2022·广东汕头·二模）若，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（23-24高三上·安徽·期中） ．
【变式3】（2024高三·全国·专题练习）已知函数的图像关于直线对称，且图像上相邻两个最高点的距离为．
(1)求和的值；
(2)若，求的值．
命题点2 给值求值
【例题3】（2024·四川眉山·三模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（2024·陕西铜川·三模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2024·全国·模拟预测）已知为锐角，满足，则 ， ．
【变式3】（23-24高三下·江西赣州·期中）已知函数（，，），函数和它的导函数的图象如图所示.
(1)求函数的解析式；
(2)已知，求的值.
命题点3 给值求角
【例题4】（2024·江西九江·二模）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（2024·全国·模拟预测）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的正半轴重合，点在角的终边上，则（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2024·海南海口·模拟预测）已知，写出符合条件的一个角的值为 .
【变式3】（2024·北京平谷·模拟预测）已知函数，其中，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知条件，使存在，并完成下列两个问题．
(1)求的值；
(2)若，函数在区间上最小值为，求实数的取值范围．
条件①：对任意的，都有成立；
条件②：；
条件③：．
题型三 三角恒等变换的综合应用
(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．
(2)形如y＝asin x＋bcs x化为y＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性．
【例题5】（2024·贵州贵阳·二模）已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（2024高三下·全国·专题练习）已知函数，若，则直线与的图象的交点个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【变式2】（2024·山西晋城·二模）已知，，则 ．
【变式3】（2024·天津红桥·二模）在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，且．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
【课后强化】
【基础保分练】
一、单选题
1．（2024·河南三门峡·模拟预测）若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·山东·二模）已知函数，则下列结论正确的是（ ）．
A．函数的最大值是
B．函数在上单调递增
C．该函数的最小正周期是
D．该函数向左平移个单位后图象关于原点对称
3．（2023·重庆·模拟预测）式子化简的结果为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·贵州毕节·一模）已知函数的零点从小到大分别为.若，则（ ）
A．B．C．D．3
二、多选题
5．（2024·江西赣州·二模）已知函数，则（ ）
A．若相邻两条对称轴的距离为，则
B．当的最小正周期为，时，
C．当时，的图象向右平移个单位长度得到函数解析式为
D．若在区间上有且仅有两个零点，则
6．（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）下列代数式的值为的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
7．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知，，则 .
8．（2024·辽宁·二模）已知，则 ．
9．（2023·贵州六盘水·模拟预测）设，，且，则 .
四、解答题
10．（2024·天津·一模）在中，角，，的对边分别为，，.已知，，.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
11．（2023·广东·模拟预测）已知函数.
(1)求；
(2)若的面积为且，求的周长.
【综合提升练】
一、单选题
1．（2024·重庆·模拟预测）的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·江西南昌·二模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高三上·河北廊坊·期中）设，且，则（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024·全国·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·全国·模拟预测）已知为锐角，，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·辽宁·二模）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·全国·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2024·安徽合肥·二模）记的内角的对边分别为，已知．则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2024·浙江金华·三模）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．B．
C．为偶函数D．在区间的最小值为
10．（2024·安徽合肥·二模）已知函数，则（ ）
A．函数在上单调递减
B．函数为奇函数
C．当时，函数恰有两个零点
D．设数列是首项为，公差为的等差数列，则
11．（2024·全国·模拟预测）在单位圆上任取一点，圆O与x轴正半轴的交点是A，设将绕原点O旋转到所成的角为，记x，y关于的表达式分别为，则下列说法中正确的是（ ）
A．是偶函数，是奇函数
B．对于恒成立
C．设，若在上有且仅有3个极值点，则
D．函数的最大值为
三、填空题
12．（2024·江西·模拟预测）已知，，则 .
13．（2024·全国·模拟预测）已知函数在区间内恰有2个极值点和3个零点，则的取值范围是 ．
14．（2024·上海嘉定·二模）已知，，则函数的最小值为 ．
四、解答题
15．（2023·安徽合肥·模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，，已知.
(1)求的值；
(2)若，，求的值.
16．（2023·天津津南·模拟预测）在中，.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
17．（2023·江苏徐州·模拟预测）在中，．
(1)若，求；
(2)设是边上一点，若，，求．
18．（2024·云南·二模）中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，B是与的等差中项.
(1)若，判断的形状;
(2)若是锐角三角形，求的取值范围.
19．（2024·全国·模拟预测）记的内角的对边分别为.已知．
(1)求；
(2)若为的中点，且，求．
【拓展冲刺练】
一、单选题
1．（2024·安徽池州·二模）已知，则（ ）
A．7B．-7C．D．
2．（2023·山东·模拟预测）若，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·江苏无锡·三模）已知，，若，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·全国·模拟预测）在锐角中，若，且，则能取到的值有（ ）
A．5B．4C．D．3
二、多选题
5．（2024·浙江·二模）关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．最小正周期为B．关于点中心对称
C．最大值为D．在区间上单调递减
6．（2024·湖南·二模）在中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．若，则为直角三角形
C．若为锐角三角形，的最小值为1
D．若为锐角三角形，则的取值范围为
三、填空题
7．（2024·广西南宁·一模）已知，则 ．
8．（2023·江苏徐州·模拟预测）已知，则 ．
9．（2024·山西晋中·三模）已知函数的最大值为，则满足条件的整数的个数为 ．
四、解答题
10．（23-24高三上·江苏盐城·阶段练习）计算求值：
(1)；
(2)已知，均为锐角，，，求的值．
11．（2024·海南海口·二模）已知函数，等差数列的前项和为，记.
(1)求证：的图象关于点中心对称；
(2)若，，是某三角形的三个内角，求的取值范围；
(3)若，求证：.反之是否成立?并请说明理由.