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所属成套资源：【备战2025】2025年高考数学一轮复习核心题型精讲讲练（新高考版）
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考点28 正弦定理、余弦定理（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）-2025高考数学一轮精讲讲练（新高考版）
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1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.
2.理解三角形的面积公式并能应用.
3.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题．
【知识点】
1．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
2．三角形解的判断
3．三角形中常用的面积公式
(1)S＝eq \f(1,2)aha(ha表示边a上的高)；
(2)S＝ ＝ ＝ ；
(3)S＝ (r为三角形的内切圆半径)．
常用结论
在△ABC中，常有以下结论：
(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.
(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
(3)a>b⇔A>B⇔sin A>sin B，cs A
(5)三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcs C＋ccs B；b＝acs C＋ccs A；c＝bcs A＋acs B.
(6)三角形中的面积S＝eq \r(pp－ap－bp－c)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(p＝\f(1,2)a＋b＋c)).
【核心题型】
题型一 利用正弦定理、余弦定理解三角形
(1)由y＝sin ωx的图象到y＝sin(ωx＋φ)的图象的变换：向左平移eq \f(φ,ω)(ω>0，φ>0)个单位长度而非φ个单位长度．
(2)如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，那么应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值
【例题1】（2024·广东江门·二模）是内一点，，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（2024·河北沧州·模拟预测）记的内角的对边分别为，若，且，则 .
【变式2】（2024·山东日照·二模）的内角的对边分别为．分别以为边长的正三角形的面积依次为，且．
(1)求角；
(2)若，，求．
【变式3】（2024·辽宁沈阳·模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求角A的大小；
(2)若为锐角三角形，点F为的垂心，，求的取值范围.
题型二 正弦定理、余弦定理的简单应用
命题点1 三角形的形状判断
判断三角形形状的两种思路
(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
(2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．
【例题2】（2024·陕西渭南·三模）已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，则是（ ）
A．锐角三角形B．钝角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形
【变式1】（2024·湖南衡阳·模拟预测）在中，角的对边分别为，若，则的形状为 .
【变式2】（2024·安徽淮北·二模）记的内角的对边分别为，已知
(1)试判断的形状；
(2)若，求周长的最大值.
【变式3】（2024·内蒙古·三模）在中，内角的对边分别为，且.
(1)求的值；
(2)若，证明：为直角三角形.
命题点2 三角形的面积
三角形面积公式的应用原则
(1)对于面积公式S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．
(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．
【例题3】（2024·云南昆明·三模）已知中，，，，则的面积等于（ ）
A．3B．C．5D．
【变式1】（2024·安徽·三模）在中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足,，则的面积是 ．
【变式2】（2024·浙江绍兴·二模）在三角形中，内角对应边分别为且.
(1)求的大小；
(2)如图所示，为外一点，，，，，求及的面积.
【变式3】（2024·全国·模拟预测）在中，已知.
(1)求证：；
(2)若D为AB的中点，且，，求的面积.
命题点3 与平面几何有关的问题
在平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题时，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决．在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，再解方程即可．若研究最值，常使用函数思想
【例题4】（2024·山东聊城·二模）如图，在平面四边形中，，记与的面积分别为，则的值为（ ）
A．2B．C．1D．
【变式1】（22-23高三上·江苏扬州·期末）如图，在中，，，、分别在边、上，，且.则值是 ；的面积是 .
【变式2】（2024·广东梅州·二模）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，，，
(1)求A的大小：
(2)点D在BC上，
（Ⅰ）当，且时，求AC的长；
（Ⅱ）当，且时，求的面积．
【变式3】（23-24高三下·山东·开学考试）如图所示，圆的半径为2，直线与圆相切于点，圆上的点从点处逆时针转动到最高点处，记.
(1)当时，求的面积；
(2)试确定的值，使得的面积等于的面积的2倍.
【课后强化】
【基础保分练】
一、单选题
1．（2024·河南新乡·二模）在中，内角，，的对边分别为，，，且，，，则（ ）
A．为锐角三角形B．为直角三角形
C．为钝角三角形D．的形状无法确定
2．（2024·贵州遵义·三模）在中，角的对边分别为，D为的中点，已知，，且，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高三下·河南·阶段练习）记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，的平分线交边AC于点D，且，则（ ）
A．B．C．6D．
4．（2024·山东枣庄·模拟预测）在中，，为内一点，，，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
5．（2024·江西·二模）已知中，为的角平分线，交于点为中点，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．的面积为
D．在的外接圆上，则的最大值为
6．（2024·重庆·模拟预测）已知的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则为钝角三角形D．若，则为锐角三角形
三、填空题
7．（2024·北京昌平·二模）已知中，，则 ．
8．（2024·江苏·二模）设钝角三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则 .
9．（2024·河南·三模）如图，在中，角所对的边分别为，已知，的平分线交边于点边上的高为边上的高为，，则 ； .
四、解答题
10．（2024·上海宝山·二模）在中，角、、的对边分别为、、，已知.
(1)求角的大小；
(2)若的面积为，求的最小值，并判断此时的形状.
11．（2024·江西·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，其外接圆的半径为，且．
(1)求角；
(2)若的角平分线交于点，点在线段上，，求的面积．
【综合提升练】
一、单选题
1．（2024·浙江金华·三模）在中，角的对边分别为，，.若，，，则为（ ）
A．1B．2C．3D．1或3
2．（2024·青海西宁·二模）在中，内角的对边分别为，若，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·山东·模拟预测）在中，角的对边分别是，且，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·四川成都·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，给出以下4个命题：
（1）若，则；
（2）若，则一定为直角三角形；
（3）若，，，则外接圆半径为；
（4）若，则一定是等边三角形.
则其中真命题的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．（2024·内蒙古赤峰·一模）已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，且，则的形状为（ ）
A．等边三角形B．顶角为的等腰三角形
C．顶角为的等腰三角形D．等腰直角三角形
6．（2024·吉林长春·模拟预测）的内角所对的边分别为，则（ ）
A．2B．C．D．1
7．（2024·河北秦皇岛·三模）在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则（ ）
A．为直角三角形B．为锐角三角形
C．为钝角三角形D．的形状无法确定
8．（2024·重庆·三模）若圆内接四边形满足，，则四边形的面积为（ ）
A．B．C．3D．
二、多选题
9．（2024·全国·模拟预测）若的三个内角为，则下列说法正确的有（ ）
A．一定能构成三角形的三条边
B．一定能构成三角形的三条边
C．一定能构成三角形的三条边
D．一定能构成三角形的三条边
10．（2024·广东广州·二模）在梯形中，，则（ ）
A．B．C．D．
11．（2024·浙江·三模）已知 的内角的对边分别为，且，下列结论正确的是（ ）
A．
B．若 ，则 有两解
C．当时， 为直角三角形
D．若 为锐角三角形，则 的取值范围是
三、填空题
12．（2024·全国·模拟预测）已知在中，点在线段上，且，则 ．
13．（2024·湖南长沙·二模）在中，若，，，则 .
14．（2024·福建厦门·三模）记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，则的取值范围是 .
四、解答题
15．（2024·陕西西安·模拟预测）设的内角所对的边分别是且向量满足.
(1)求A；
(2)若，求BC边上的高.
16．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在平面四边形中，，，的角平分线与相交于点，且.
(1)求的大小；
(2)求的值.
17．（2023·黑龙江·模拟预测）某校高中“数学建模”实践小组欲测量某景区位于：“观光湖”内两处景点A，C之间的距离，如图，B处为码头入口，D处为码头，BD为通往码头的栈道，且，在B处测得，在D处测得．（A，B，C，D均处于同一测量的水平面内）
(1)求A，C两处景点之间的距离；
(2)栈道BD所在直线与A，C两处景点的连线是否垂直？请说明理由．
18．（2024·湖南·模拟预测）在中，内角的对边分别为，且．
(1)证明：是锐角三角形；
(2)若，求的面积．
19．（2023·辽宁鞍山·二模）请从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答（如未作出选择，则按照选择①评分.选择的编号请填写到答题卡对应位置上）
在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若___________，
(1)求角B的大小；
(2)若△ABC为锐角三角形，，求的取值范围.
【拓展冲刺练】
一、单选题
1．（2024·山东·二模）在中，设内角的对边分别为，设甲：，设乙：是直角三角形，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
2．（2024·安徽·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·陕西咸阳·三模）为了进一步提升城市形象，满足群众就近健身和休闲的需求，2023年某市政府在市区多地规划建设了“口袋公园”.如图，在扇形“口袋公园”中，准备修一条三角形健身步道，已知扇形的半径，圆心角，是扇形弧上的动点，是半径上的动点，，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·辽宁·模拟预测）三棱锥P﹣ABC所有棱长都等于2，动点M在三棱锥P﹣ABC的外接球上，且的最大值为s，最小值为t，则（ ）
A．2B．C．D．3
二、多选题
5．（2024·湖北·模拟预测）在中，所对的边为，设边上的中点为，的面积为，其中，，下列选项正确的是（ ）
A．若，则B．的最大值为
C．D．角的最小值为
6．（23-24高一下·河北石家庄·阶段练习）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法中正确的是（ ）
A．若，则一定是等腰三角形
B．若，则一定是等边三角形
C．若，则一定是等腰三角形
D．若，则一定是钝角三角形
三、填空题
7．（2024·全国·三模）在中，，.若，则的面积为 .
8．（2024·陕西铜川·三模）已知的内角所对的边分别是，点是的中点.若，且，则 .
9．（2024·广西·模拟预测）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且的面积，则的取值范围为 ．
四、解答题
10．（2024·河南·三模）已知是内一点，.
(1)若，求；
(2)若，求.
11．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）某公园计划改造一块四边形区域ABCD铺设草坪，其中百米，百米，，，草坪内需要规划4条人行道DM、DN、EM、EN以及两条排水沟AC、BD，其中M、N、E分别为边BC、AB、AC的中点．
(1)若，求排水沟BD的长；
(2)若，试用表示4条人行道的总长度．
定理
正弦定理
余弦定理
内容
eq \f(a,sin A)＝ ＝ ＝2R
a2＝ ；
b2＝ ；
c2＝
变形
(1)a＝2Rsin A，
b＝ ，
c＝ ；
(2)sin A＝eq \f(a,2R)，
sin B＝ ，
sin C＝ ；
(3)a∶b∶c＝____________
cs A＝ ；
cs B＝ ；
cs C＝
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a＝bsin A
bsin A< a
a>b
解的个数
一解
两解
一解
一解
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