考点33 复数（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练） -2025高考数学一轮精讲讲练（新高考版）

这是一份考点33 复数（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练） -2025高考数学一轮精讲讲练（新高考版），文件包含考点33复数3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练原卷版docx、考点33复数3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共47页， 欢迎下载使用。

1.通过方程的解，认识复数.
2.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义.
3.掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义．
【知识点】
1．复数的有关概念
(1)复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a是复数z的实部，b是复数z的虚部，i为虚数单位．
(2)复数的分类：
复数z＝a＋bi(a，b∈R)
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(实数b＝0，,虚数b≠0当a＝0时为纯虚数.))
(3)复数相等：
a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
(4)共轭复数：
a＋bi与c＋di互为共轭复数⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(5)复数的模：
向量eq \(OZ,\s\up6(→))的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝eq \r(a2＋b2)(a，b∈R)．
2．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)eq \(,\s\up7(一一对应),\s\d5())复平面内的点Z(a，b)．
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)eq \(,\s\up7(一一对应),\s\d5())平面向量eq \(OZ,\s\up6(→)).
3．复数的四则运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则：
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：eq \f(z1,z2)＝eq \f(a＋bi,c＋di)＝eq \f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝eq \f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq \f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．
(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形法则或三角形法则进行．
如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即eq \(OZ,\s\up6(→))＝eq \(OZ1,\s\up6(—→))＋eq \(OZ2,\s\up6(—→))，eq \(Z1Z2,\s\up6(—→))＝eq \(OZ2,\s\up6(—→))－eq \(OZ1,\s\up6(—→)).
常用结论
1．(1±i)2＝±2i；eq \f(1＋i,1－i)＝i；eq \f(1－i,1＋i)＝－i.
2．－b＋ai＝i(a＋bi)(a，b∈R)．
3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)．
4．i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N)．
5．复数z的方程在复平面上表示的图形
(1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环；
(2)|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆
【核心题型】
题型一 复数的概念
解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．
(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．
【例题1】（2024·四川·模拟预测）已知复数（为虚数单位），则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先利用的性质化简，再利用复数的四则运算与共轭复数的定义，结合复数的概念即可得解.
【详解】因为，所以，
由，
，其虚部为.
故选：A
【变式1】（2024·辽宁·三模）已知复数在复平面上对应的点为，若，则实数的值为（ ）
A．0B．C．1D．1或
【答案】A
【分析】由条件结合复数的几何意义，得到，根据可得为实数，列方程可求的值.
【详解】因为复数在复平面上对应的点为，
所以，
因为，
因为为实数，
得.
故选：A.
【变式2】（2023·江苏·三模）设为复数（为虚数单位），下列命题正确的有（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】AC
【分析】利用共轭复数的定义可判断A选项；利用特殊值法可判断B选项；利用复数的除法化简复数，利用复数的模长公式可判断C选项；解方程，可判断D选项.
【详解】对于A选项，若，则，A对；
对于B选项，若，不妨取，则，但，B错；
对于C选项，若，则，故，C对；
对于D选项，若，则，解得，D错.
故选：AC.
【变式3】（2024·山东日照·二模）设为虚数单位．若集合，，且，则 ．
【答案】
【分析】根据题意，利用集合的包含关系，列出方程组，即可求解.
【详解】由集合，，因为，
当时，此时，方程组无解；
当时，此时，解得，
综上可得，实数的值为.
故答案为：
题型二 复数的四则运算
(1)复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算．(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数．
【例题2】（2024·湖北·模拟预测）已知复数，为虚数单位)，若且，则 （ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【分析】根据复数的模求出，再根据复数的模的计算公式即可得解.
【详解】由且，得，解得，
则.
故选：B.
【变式1】（2024·山东·模拟预测）已知复数满足，且，则（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【分析】设，然后由已知条件列方程组可求出，,从而可求出
【详解】设，则由，得，
由，得，即，
所以，化简整理得，得，
所以，得，
所以，
故选：D
【变式2】（2024·福建福州·三模）已知复数满足：，，则（ ）
A．的最小值是1B．的最大值是2
C．的最大值是3D．的最大值是4
【答案】ABC
【分析】对于A，设，依题意可得，可知复数的对应点在以为圆心，1为半径的圆上，根据复数几何意义可判断A；对于B，根据题意可得，表示复数的对应点在以为焦点，长轴长为4的椭圆上，根据图形和可判断B；对于C，根据复数除法运算和复数模公式证明，结合图形求得，然后可判断C；对于D，根据复数减法的几何意义可知，结合图形转化为求的最值，根据点在椭圆上，利用二次函数性质求解可得.
【详解】设，
对于A，因为，所以，
所以，复数的对应点在以为圆心，1为半径的圆上，
由图可知，点到原点的最小距离为1，即的最小值是1，A正确；
对于B，因为，
所以，复数的对应点在以为焦点，长轴长为4的椭圆上，
由椭圆几何性质可知，点到原点的最大距离为2，即的最大值为2，
又，所以的最大值是2，B正确；
对于C，因为，
所以
，
由图可知，，所以当时，取得最大值3，C正确；

对于D，因为表示的距离，
所以的最大值为，设，则，即，
所以，
由二次函数性质可知，当时，取得最大值，D错误.

故选：ABC
【变式3】（2024·湖南·模拟预测）已知是复数的虚数单位，且，则的值为 ．
【答案】
【分析】计算出，从而求出，以及的值.
【详解】因为，
所以，，
所以，
故答案为：
题型三 复数的几何意义
由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观
【例题3】（2024·全国·模拟预测）如图，复数对应的向量为，且，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先根据复数的几何意义设出复数，再根据复数模的公式，即可求解，再代入向量的投影公式，即可求解.
【详解】由题图可知，，则，
解得（舍去），
所以，，则向量在向量上的投影向量为，
所以其坐标为．
故选：D
【变式1】（2024·海南海口·二模）在复平面内，对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】利用复数的模长公式、除法运算法则及几何意义计算即可.
【详解】易知，所以，
即对应的点为，位于第四象限.
故选：D
【变式2】（2024·湖南长沙·二模）在复平面内，复数和对应的点分别为，则 .
【答案】/
【分析】根据条件，利用复数的运算，即可求出结果.
【详解】由题意可知，，
则，
故答案为：
【变式3】（23-24高三上·江苏盐城·阶段练习）已知函数，且．
(1)求函数的解析式；
(2)为坐标原点，复数，在复平面内对应的点分别为，，求面积的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据是的对称轴，结合对称轴处取得最值，计算即可；
（2）根据复数的几何意义，建立三角形面积关于的三角函数关系，求函数值域即可.
【详解】（1）∵，即当时函数取到最值，
又，
其中，
∴，代入得，
即，解得，∴
；
（2）由（1）可得：，
由复数的几何意义知：，
∴，
当，，即，时，有最大值6；
当，，即，时，有最小值2；
∴.
【课后强化】
【基础保分练】
一、单选题
1．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知复数在复平面内对应的点在直线上，则复数在复平面对应的点在（ ）
A．实轴正半轴B．实轴负半轴C．虚轴正半轴D．虚轴负半轴
【答案】C
【分析】根据复数的几何意义，由复数对应点代入直线方程可求得，即可得出结果.
【详解】复数在复平面内对应的点为，
代入直线，可得，即，
则，在复平面内对应的点为.
故选：C
2．（2024·河南·三模）已知为虚数单位，（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据复数乘法、除法运算化简即可.
【详解】.
故选：D
3．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则（ ）
A．B．iC．D．
【答案】B
【分析】利用复数的坐标表示，共轭复数的定义以及复数除法运算计算可得答案.
【详解】由题意可知，，则，所以．
故选：B
4．（2024·吉林长春·模拟预测）已知，则的虚部为（ ）
A．2iB．C．D．2
【答案】C
【分析】根据复数代数形式的乘除法运算化简，再判断其虚部.
【详解】因为，
所以的虚部为．
故选：C
二、多选题
5．（2024·湖南·二模）已知i为虚数单位，下列说法正确的是（ ）
A．若复数，则
B．若，则
C．若，则
D．复数在复平面内对应的点为，若，则点的轨迹是一个椭圆
【答案】AC
【分析】利用复数的四则运算与的乘方性质判断A，举反例排除B，利用复数的四则运算与模的运算判断C，利用复数的几何意义，结合两点距离公式判断D.
【详解】对于A，因为，
所以，故A正确；
对于B，令，满足，但，故B错误；
对于C，设且不同时为，
则
，故C正确；
对于D，设复数，则点，
由，得，
则点到点与点的距离和为，
故点的轨迹是线段，故D错误.
故选：AC.
6．（2024·广东广州·模拟预测）已知复数，，下列结论正确的有（ ）
A．B．若，则
C．若，则D．若，，则为纯虚数
【答案】AD
【分析】由复数的向量表示结合向量知识即可验证A，通过一些举例可以排除B、C选项，由复数的除法运算集合复数的概念即可验证D.
【详解】对于A，设，对应的向量分别为，，则由向量三角不等式得，
所以恒成立，故A正确；
对于B，取，，但，，故B错误；
对于C，当，时，，而，故C错误；
对于D，，故D正确；
故选：AD
三、填空题
7．（2024·山西·三模）已知复数在复平面内对应的点位于第四象限，则实数m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】整理得到不等式组，解出即可.
【详解】由于，
故点位于第四象限，因此，解得，
即的取值范围是.
故答案为：.
8．（2024·四川成都·模拟预测）设，则的虚部为 ．
【答案】/0.8
【分析】利用复数的乘法法则，除法法则和模长公式求出答案.
【详解】，
其中，
则，
故的虚部为.
故答案为：
9．（2024·甘肃张掖·模拟预测）已知复数，则的虚部为 .
【答案】
【分析】根据的值的周期性特点，将原式化简并重新按照四项为一组进行分组求和即得.
【详解】
，
则的虚部为.
故答案为：.
四、解答题
10．（2022·湖南·模拟预测）国际数学教育大会（ICME）是世界数学教育规模最大、水平最高的学术性会议，第十四届大会将在上海召开，其会标如图，包含若许多数学元素，主画面是非常优美的几何化的中心对称图形，由弦图、圆和螺线组成，主画面标明的ICME—14下方的“”是用中国古代八进制的计数符号写出的八进制数3744，也可以读出其二进制码（0）11111100100，换算成十进制的数是n，求及的值．
【答案】，．
【分析】利用进位制求出的值，然后利用复数代数形式的乘除运算化简即可求出结果.
【详解】∵．
∴，
∴，
．
11．（2023·安徽芜湖·模拟预测）已知函数，且.
(1)求的最大值；
(2)从①②中任选一个作答.若选择多个分别作答.按第一个解答计分.
①为函数图象与轴的交点，点，为函数图象的最高点或者最低点，求面积的最小值.
②为坐标原点，复数，在复平面内对应的点分别为，，求面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)①；②．
【分析】（1）由已知可得，当时函数取到最值，列方程解出，代入，进而可得的最大值；
（2）若选①：分，对应的同为最大值或最小值和，对应的一个为最大值，另一个为最小值两种情况讨论，分别利用三角形的面积公式求解，可得面积的最小值；若选②：由复数的几何意义，得出，，再由三角形的面积公式结合正弦函数的性质求解．
【详解】（1），即当时函数取到最值，
又，其中，
，代入得，
即，解得，，
，
当，即时，取到最大值；
（2）由（1）可得：，
选①：可得，
当，对应的同为最大值或最小值时，
得；
当，对应的一个为最大值，另一个为最小值时，
得；
综上：面积的最小值为
选②：由复数的几何意义知：，，
，
当，即时，有最大值；
当，即时，有最小值；
【综合提升练】
一、单选题
1．（2024·湖北武汉·模拟预测）设复数,则的虚部是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由对式子进行化简,再根据除法规则,分母实数化即可.
【详解】,则,虚部是.
故选:A.
2．（2024·河北·模拟预测）若，则（ ）
A．B．
C．或D．
【答案】A
【分析】利用复数的乘法运算计算，再根据所得结果为实数求出.
【详解】显然，依题意，是正实数，因此，
所以.
故选：A
3．（2024·全国·模拟预测）已知，则（ ）
A．iB．C．D．
【答案】A
【分析】运用复数的代数形式的乘除运算法则求得，代入所求式计算即得.
【详解】因为，
所以．
故选：A．
4．（2024·江西·模拟预测）在复平面内，复数对应的点的坐标为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据复数的几何意义，由复平面内复数对应的点的坐标可以得出对应复数的代数形式，再结合复数的四则运算法则，即可得解.
【详解】因为复数对应的点的坐标为，所以，
所以，所以．
故选：A．
5．（2024·四川成都·模拟预测）复数在复平面上对应的点位于虚轴上，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用复数除法法则得到，从而得到方程，求出答案.
【详解】在复平面上对应的点位于虚轴上，
∴，即.
故选：D
6．（2024·山西运城·三模）设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据复数代数形式的除法、乘方运算化简，再求出其共轭复数.
【详解】因为，，
所以，
所以.
故选：B
7．（2024·陕西西安·模拟预测）已知是虚数单位，若是纯虚数，则实数（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【分析】根据虚数性质结合复数的除法运算可得，再根据是纯虚数列式求解.
【详解】，
又因为是纯虚数，所以，所以.
故选：D.
8．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）复平面内三点所对应的复数分别为，若四边形为平行四边形，则点对应的复数为（ ）
A．2B．C．1D．
【答案】B
【分析】根据复数的几何意义，利用向量相等即可求解.
【详解】由题意知三点的坐标为，
设复平面内点，则，
又四边形是复平面内的平行四边形，则，则，解得，则．
故选:B．
二、多选题
9．（2024·江苏南通·模拟预测）已知，都是复数，下列正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】AD
【分析】根据共轭复数的定义及复数的乘法运算即可判断A；举出反例即可判断BC；根据复数的乘法运算及复数的模的计算公式即可判断D.
【详解】设，
对于A， 若，则，故，故A正确；
对于B，当时，，故B错误；
对于C，当时，，故C错误；
对于D，若，则，所以，
，
同理，所以，所以，故D正确.
故选：AD.
10．（2024·广东江门·一模）下列说法正确的是（ ）
A．，
B．
C．若，，则的最小值为1
D．若是关于x的方程的根，则
【答案】ACD
【分析】根据复数的乘法运算结合复数的模的计算，可判断A；根据虚数单位的性质可判断B；设，根据复数的模的计算公式，可得，以及，结合x的范围可判断C；将代入方程，结合复数的相等，求出p，即可判断D.
【详解】对于A，，设复数，则，，
故，A正确；
对于B，由于，故，B错误；
对于C，，设，由于，则，
故，
由，得，则，
故当时，的最小值为1，C正确；
对于D，是关于x的方程的根，
故，即，
故，D正确，
故选：ACD
11．（2024·河南·三模）在复平面内，设为坐标原点，复数对应的点分别为，，若，则可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】设，根据复数的四则运算以及几何意义可得，再结合向量垂直的坐标表示分析求解.
【详解】设，则，
可知，即，
若，则，
整理得所以或，
对比选项可知ACD正确，B错误.
故选：ACD．
三、填空题
12．（2023·天津南开·一模）是虚数单位，复数 .
【答案】/
【分析】根据虚数的性质，先计算，然后代入原式，利用复数的四则运算法则计算求解.
【详解】已知
所以.
故答案为：
13．（2024·辽宁葫芦岛·二模）已知复数z满足，则的值为 .
【答案】
【分析】由条件根据复数的运算求出的代数形式，再利用复数模的公式计算.
【详解】由题意可得，则，
所以.
故答案为：.
14．（2024·福建厦门·三模）复数满足，，则 .
【答案】
【分析】根据复数的运算以及模长公式求解即可.
【详解】设，则，
由，，
得，解得，
所以，
故答案为：.
四、解答题
15．（2021·上海浦东新·模拟预测）已知关于得二次方程：.
(1)当方程有实数根时，求点的轨迹方程；
(2)求方程实数根的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据复数相等结合条件可列出关于的方程，整理即可求得点的轨迹方程；
（2）由题可得，然后根据判别式大于等于零即得．
【详解】（1）设方程的实数根为，则有
，
即，
所以，
两式消去可得，
整理可得，
即点的轨迹方程是；
（2）由可得，
整理得，
，
，
解得，
方程的实数根的取值范围是.
16．（2022·浙江·模拟预测）在正三棱台中，是边长为的等边三角形，且.已知，，，分别是线段，的中点，当直线上一动点在射线上时，，.
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)连接，，已知点在平面投影是，平面是一个分别以，作为，轴的复平面，.当时，请直接写出的虚部（不要求写出过程）.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）过点作面，过点作，证明面，可得面，进而可得，求出、、的长，由勾股定理逆定理可证明，再由线面垂直的判定定理即可求证；
（2）过点作面，由对称性可得点在直线上，即为与平面所成角，在中，由正弦定理求得，延长、交于点，可得为的中位线，在中，由余弦定理可得的值，进而可得的值，再计算即可求解；
（3）根据已知条件分析在上的投影，即可得的虚部.
【详解】（1）过点作面，过点作，
因为边长为的等边三角形，且上底面与下底面相似，比边长之为，
所以，
在正三棱台中，连接，因为面，
则点必落在上，，
因为为等边三角形，是线段的中点，可得，
因为面，面，，所以面，
因为，所以面，所以，，
因为，所以是的中点，
因为，所以，
因为是的中点，所以，
所以，可得，
因为，，所以平面，
（2）过点作面，由对称性可得点在直线上，
因为，
在中，由正弦定理可得：，
即，所以，所以，
因为为梯形的一条高，
所以即为与平面所成角，
因为，，，，
延长、交于点，
因为，，所以为的中位线，
所以，，
在中，由余弦定理可得：，
所以，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（3）.
17．（2021·上海·模拟预测）已知关于的方程的虚数根为、.
（1）求的取值范围；
（2）若，求实数的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由题意，从而，由复数的运算可得，根据判别式得出的范围，从而得出答案.
（2）将平方，将韦达定理代入，结合判别式得出的范围，可得答案.
【详解】由题意知，，则，，
（1），
因为，所以，故的取值范围是.
（2）
因为，所以，所以.
18．（2021·黑龙江大庆·模拟预测）已知复数（），且为纯虚数（是的共轭复数）.
（1）设复数，求；
（2）复数在复平面对应的点在第一象限，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）先根据条件得到，进而得到，由复数的模的求法得到结果；
（2）由第一问得到，根据复数对应的点在第一象限得到不等式，进而求解.
【详解】（1）∵为纯虚数，
∴，，解得.
∴，则.
（2），
复数在复平面对应的点在第一象限，
∴，，解得.
∴实数的取值范围是.
【点睛】结论点睛：如果是复平面内表示复数的点，则①当，时，点位于第一象限；当，时，点位于第二象限；当，时，点位于第三象限；当，时，点位于第四象限；②当时，点位于实轴上方的半平面内；当时，点位于实轴下方的半平面内．
19．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）对于无穷数列，我们称（规定）为无穷数列的指数型母函数．无穷数列1，1，…，1，…的指数型母函数记为，它具有性质．
(1)证明：；
(2)记．证明：（其中i为虚数单位）；
(3)以函数为指数型母函数生成数列，．其中称为伯努利数．证明：．且．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）由，通过赋值即可证得；
（2）根据的周期性，经过多次推理，由求和可以证得；
（3）构造，可以推出，然后再可证得.
【详解】（1）令，则．
由，令，则．
因为，故．
（2）证明：因为，
，
，
，
，
所以
（3）证明：令，则有
，
因此
故且，即．
【点睛】关键点点睛：主要考查了复数的周期性，考查推理论证能力，对学生思维要求比较高，综合性很强
【拓展冲刺练】
一、单选题
1．（2024·浙江温州·二模）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分条件但不是必要条件B．必要条件但不是充分条件
C．充要条件D．既不是充分条件也不是必要条件
【答案】B
【分析】根据复数的概念及充分、必要条件的定义判定即可.
【详解】易知，所以不满足充分性，而，满足必要性.
故选：B
2．（2024·全国·模拟预测）已知为虚数单位，且复数，则下列说法中正确的是（ ）.
A．复数为实数B．
C．复数为纯虚数D．
【答案】A
【分析】借助复数的运算法则计算即可得.
【详解】，故，
故A正确，B、C、D错误.
故选：A.
3．（2024·全国·模拟预测）已知复数满足：（为虚数单位），则在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】根据题意结合复数的四则运算及几何意义分析求解.
【详解】因为，可得复数，
可得，所以在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限.
故选：D．
4．（2024·辽宁葫芦岛·一模）设，为复数，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则且
C．若，则
D．若，且，则在复平面对应的点在一条直线上
【答案】D
【分析】设出、，对A，借助复数性质计算即可得；对B、C，举出反例即可得；对D：设，由题意可计算出、之间的关系，即可得解.
【详解】设、，、、、，
对A：若，则有，
即且，故A错误；
对B：取、，亦有，故B错误；
对C：取，，则有，，故C错误；
对D：设，、，若，
则有，
即有，
整理得，
由，故与不能同时成立，
故在复平面对应的点在直线上，
故D正确.
故选：D.
二、多选题
5．（2024·辽宁丹东·二模）已知复数的虚部与的实部均为2，则下列说法正确的是（ ）
A．是虚数
B．若，则
C．若，则与对应的点关于x轴对称
D．若是纯虚数，则
【答案】ACD
【分析】借助虚数定义可得A；借助模长共识计算即可得B；借助共轭复数定义与复数的几何意义可得C；借助复数的乘法运算与纯虚数定义及模长定义即可得D.
【详解】可设复数，
A选项：根据虚数定义可知A正确；
B选项：，所以，则，
所以，，所以，故B不正确；
C选项：若，所以，所以，，
所以，对应的点分别为和，则关于x轴对称，故C正确；
D选项：因为，
且是纯虚数，所以，所以，，则，
所以，故D正确．
故选：ACD.
6．（2024·山东青岛·一模）已知复数z，下列说法正确的是（ ）
A．若，则z为实数B．若，则
C．若，则的最大值为2D．若，则z为纯虚数
【答案】AC
【分析】根据题意，由复数的运算以及其几何意义，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】设，则，
若，即，即，则z为实数，故A正确；
若，即，
化简可得，即，即，
当时，，，此时不一定满足，
当时，，，此时不一定满足，故B错误；
若，即，
所以，即表示以为圆心，以为半径的圆上的点，
且表示圆上的点到原点的距离，所以的最大值为2，故C正确；
若，即，
，即，
化简可得，则且，
此时可能为实数也可能为纯虚数，故D错误；
故选：AC
三、填空题
7．（2024·上海普陀·二模）已知复数，其中为虚数单位，则在复平面内所对应的点的坐标为 .
【答案】
【分析】求出复数的共轭复数，进而可得点的坐标．
【详解】由题意，复数，在复平面内所对应的点的坐标为．
故答案为：．
8．（2023·北京海淀·二模）在复平面内，复数z所对应的点为，则 ．
【答案】2
【分析】根据复数的几何意义可得，由乘法运算即可求解.
【详解】由题意可知 ，所以，
故答案为：2
9．（2024·上海杨浦·二模）设复数与所对应的点为与，若，，则 .
【答案】2
【分析】由题设结合复数的乘法求出，再借助复数的几何意义求出结果.
【详解】依题意，，则，
所以.
故答案为：2
四、解答题
10．（2022·甘肃兰州·一模）实数取什么值时，复数是
(1)实数？
(2)虚数？
(3)纯虚数？
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）（2）（3）利用复数是实数、虚数、纯虚数的定义列式计算作答.
【详解】（1）复数是实数，则，解得，
所以当时，复数是实数.
（2）复数是虚数，则，解得，
所以当时，复数是虚数.
（3）复数是纯虚数，则，解得，
所以当时，复数是纯虚数.
11．（2024·贵州黔南·二模）1799年，哥廷根大学的高斯在其博士论文中证明了如下定理：任何复系数一元次多项式方程在复数域上至少有一根（）.此定理被称为代数基本定理，在代数乃至整个数学中起着基础作用.由此定理还可以推出以下重要结论：次复系数多项式方程在复数域内有且只有个根（重根按重数计算）.对于次复系数多项式，其中，，，若方程有个复根，则有如下的高阶韦达定理：
(1)在复数域内解方程；
(2)若三次方程的三个根分别是，，（为虚数单位），求，，的值；
(3)在的多项式中，已知，，，为非零实数，且方程的根恰好全是正实数，求出该方程的所有根（用含的式子表示）.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意直接解方程即可；
（2）根据题意结合韦达定理分析运算求解；
（3）根据题意结合韦达定理可得，结合不等式可得，由可得，结合不等式成立条件分析求解.
【详解】（1）由可得，解得.
（2）由题意可知：，
将，，代入可得，
所以.
（3）设，，
因为，当且仅当∥时，等号成立，
可得，
即，
当且仅当时，等号成立，
因为方程的根恰好全是正实数，
设这n个正根分别为，
且，，，
由题意可知：，
因为，且均为正数，
则
，
当且仅当时，等号成立，
又因为，
即，
所以.
【点睛】关键点点睛：利用柯西不等式可得则，当且仅当时，等号成立，注意等号成立的条件分析求解.