陕西省宝鸡市金台区2024-2025学年高三上学期第二次模拟考试数学试题

这是一份陕西省宝鸡市金台区2024-2025学年高三上学期第二次模拟考试数学试题，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．，则（ ）
A．B．C．D．2
2．已知向量，的夹角为45°，且，，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
3．已知命题，，命题，，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．且B．且C．且D．且
4．已知动点满足等式，则点的轨迹方程是（ ）
A．B．C．D．
5．已知正数满足，则的最小值是（ ）
A．B．6C．D．
6．将函数图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所有点的纵坐标变为原来的后，得到函数的图象.则（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在四棱台中，底面为平行四边形，侧棱平面，，，若四棱台的体积为．则直线与平面所成角的正切值是（ ）
A．B．C．D．
8．“求方程的解”有如下解题思路：设，则在上单调递减，且，所以原方程有唯一解．类比上述解题思路，不等式的解集是（ ）
A．B．1,+∞C．D．
二、多选题
9．已知a，，有一组样本数据为，3，，，8，10，，12，13，若在这组数据中再插入一个数8，则（ ）
A．平均数不变B．中位数不变C．方差不变D．极差不变
10．已知函数，则（ ）
A．在0,1单调递增B．y=fx的图象关于点1,0对称
C．y=fx的图象关于直线对称D．函数有两个零点
11．设曲线C的方程为x2＋y2＝2|x|－2|y|，则（ ）
A．曲线C既是轴对称图形，又是中心对称图形
B．曲线C围成图形的面积为
C．曲线C的周长为
D．曲线上任意两点间距离的最大值为4
三、填空题
12．从2024年伊始，各地旅游业爆火，兵马俑是陕西省旅游胜地．某大学一个寝室6位同学慕名而来，游览结束后，在门前站一排合影留念，要求相邻，在的左边，则不同的站法共有 ；（用数字做答）
13．设等比数列满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2 …an的最大值为 ．
14．已知，，则 ．
四、解答题
15．已知的内角，，所对的边分别为，，，且．
(1)求角；
(2)若，为边边上一点，为的平分线，且，求的面积．
16．某趣味运动设置了“谜语竞猜”活动，在活动中设置①、②、③三道谜语题，猜谜者按照一定的顺序猜谜，只有猜对当前谜语才能继续竞猜下一道谜语，并且获得本谜语的奖金．每次猜谜的结果相互独立．猜对三道谜语的概率及获得的相应奖金如下表：
(1)若，按“①、②、③”的顺序猜谜，求所获奖金至少为30元的概率；
(2)假设只按“①、②、③”和“③、②、①”两种顺序猜谜．若以猜谜所获奖金的数学期望为决策依据，按哪种顺序猜谜所获奖金更多？
17．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，底面，，是上任一点，.
(1)求证：平面平面.
(2)四棱锥的体积为，三棱锥的体积为，若，求直线与平面所成角的正弦值.
18．已知为实数，函数（其中是自然对数的底数）.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若对任意的恒成立，求的最小值.
19．已知曲线，对坐标平面上任意一点，定义．若两点，满足，称点在曲线同侧；若，称点在曲线两侧．
(1)直线过原点，线段上所有点都在直线同侧，其中、，求直线的斜率的取值范围；
(2)已知曲线，为坐标原点，求点集的面积；
(3)记到点与到轴距离和为的点的轨迹为曲线，曲线，若曲线上总存在两点在曲线两侧，求曲线的方程与实数的取值范围．
谜语
①
②
③
猜对的概率
0.8
0.5
获得的奖金（元）
10
20
30
参考答案：
1．C
【分析】利用复数的除法运算及模的运算即可求解.
【详解】由，
得，
故选：C.
2．B
【分析】化简求出，进而求出在上的投影向即可．
【详解】因为，所以，即，
所以，解得，
从而，在上的投影向量为．
故选：B．
3．A
【分析】先判断命题的真假性，由此对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】对于命题，，当时，
，所以为假命题.
对于命题，，
画出与的图象如下图所示，由图可知，
两个函数图象有个公共点，所以为真命题.
所以且为真命题，
且、且、且为假命题.
故选：A
4．D
【分析】根据动点满足等式，得到点A的轨迹是以为焦点的椭圆求解.
【详解】解：因为动点满足等式，
所以表示点A到点的距离之和为8，且，
所以点A的轨迹是以为焦点的椭圆，
其中：，
所以椭圆的方程是，
故选：D
5．D
【分析】利用“1”的妙用和代入消元思想，借助于基本不等式即可求得所求式的最小值.
【详解】由可得，因，则，
于是，
因，当且仅当时等号成立，
即，时，的最小值为.
故选：D.
6．C
【分析】结合三角函数图象变换结论求的解析式，再求.
【详解】将函数图象上所有的点向左平移个单位长度，可得函数的图象，
将函数图象上所有点的纵坐标变为原来的，横坐标不变，可得函数的图象，
所以，故.
故选：C.
7．A
【分析】过点，作，连接，根据平面，得到平面，连接，从而为与平面的夹角求解.
【详解】如图所示：
过点，作，连接，
因为平面，平面，
所以平面平面，
所以平面，连接，
则为与平面的夹角，
在平面中，，，，则，
，，
所以四棱台的体积为：，
所以，，
为的中点， ，
．
故选：A
8．D
【分析】将不等式转化为，构造函数，确定单调性即可得，从而可得不等式的解集.
【详解】原式化简为：，即
令，则，则y=gx在上单调递增，
则不等式转化为，所以方程解集为.
故选：D．
9．AD
【分析】求出样本数据的平均数，判断A的真假；令取特殊值，验证B的真假；利用方差的计算公式求方差判断C的真假；因为8不是最值，所以插入8不影响极差，可判断D的真假.
【详解】对于A选项，原数据的平均数为8，插入一个数8，平均数不变，正确；
对于B选项，取，，原数据的中位数为9，新数据的中位数为8.5，错误；
对于C选项，新数据的方差为，错误；
对于D选项，因为，所以8不是最值，故新数据的极差不变，正确．
故选：AD
10．ACD
【分析】先求出函数的定义域，然后将函数利用对数的运算变形，再利用复合函数的单调性的判断法则以及二次函数的性质依次判断A,B,C即可；分析函数与函数的单调性结合图象的交点，即可判断函数零点个数，从而判断D.
【详解】函数定义域为，又，
令，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又为单调递增函数，
所以在上单调递增，在上单调递减，故选项A正确；
因为函数的对称轴为，则函数关于直线对称，故选项B错误，选项C正确；
因为，所以函数，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又函数在上为增函数，
则函数与函数在平面直角坐标系中的图象如下图所示：
故函数与函数在区间上有两个交点，即函数有两个零点，故D正确.
故选：ACD．
11．ABD
【分析】根据方程特点分类讨论分别画出图像，然后逐个判断即可.
【详解】当时方程为，
当时方程为，
当时方程为，
当时方程为，
如图所示，
，
对于A：易知曲线关于轴对称，关于轴对称，关于原点中心对称，A正确；
对于B：因为曲线关于轴对称，关于轴对称，关于原点中心对称，
所以只需要计算第一象限内图像的面积即可，
因为，且圆的半径，所以弦心距，
所以所对的圆心角为，
所以该图形为圆心角为的扇形剪去等腰直角三角形得到的弓形，
所以，所以总面积为，B正确；
对于C：第一象限内的图形是圆心角为的扇形的弧长，所以，
所以曲线C的周长为，C错误；
对于D：曲线上任意两点间距离的最大值为，D正确，
故选：ABD
【点睛】关键点睛：对分类讨论得到不同情况下的方程进而得到图像是解决该类题型的关键.
12．120
【分析】根据相邻问题“捆绑法”和排列数公式，利用分步乘法计数原理计算即得.
【详解】先将“捆绑”看成一个元素，与另外四人在五个位置上进行全排，
再考虑在的左边，最后“解绑”，故有种方法.
故答案为：120.
13．
【详解】试题分析：设等比数列的公比为，由得，，解得.所以，于是当或时，取得最大值.
考点：等比数列及其应用
14．45/0.8
【分析】由已知结合同角基本关系及和差角公式进行化简即可求解．
【详解】因为，
所以，
所以，
即，
即，
因为，
则．
故答案为：．
15．(1)
(2)
【分析】（1）利用三角恒等变换的知识求得.
（2）利用三角形的面积公式、余弦定理列方程，求得，进而求得三角形的面积.
【详解】（1）由，即，
因为，所以，
所以，得．
（2）由为的平分线，得，
因为，
所以，
即，①
由余弦定理得，
即，②
由①②，得，
所以．
16．(1)0.4
(2)答案见解析
【分析】（1）设事件,依题，根据事件与事件的互斥与的相互独立，利用概率公式计算即得；
（2）分两种方案分别计算随机变量对应取值的概率，列出分布列，计算期望值，作差比较即得.
【详解】（1）设“猜谜者①猜对”为事件A；“猜谜者②猜对”为事件B；“猜谜者③猜对”为事件C．
记“所获得奖金至少为30元”为事件，则包括获得奖金30元或60元．
奖金30元指①、②猜对，③猜错，即事件发生；
奖金60元指①、②猜对，③猜对，即事件发生.
因事件与事件互斥，且相互独立，
则
.
即所获得奖金至少为30元的概率为0.4;
（2）若猜谜者按“①、②、③”的顺序猜谜语．
则他所获奖金的所有可能取值为0，10，30，60（元），
，
，
，
，
列出的分布列为：
故；
若猜谜者按“③、②、①”顺序猜谜语．
则他所获奖金的所有可能取值为0，30，50，60（元），
，
，
，
，
列出的分布列为：
故.
由，
当，即时，应按①、②、③顺序猜谜所获得奖金更多；
当，即时，按①、②、③和③、②、①顺序猜谜所获奖金一样多；
当，即时，应按③、②、①顺序猜谜所获得奖金更多．
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由线面垂直的判定定理和性质定理可证得平面，再由面面垂直的判定定理即可证明；
（2）由锥体的体积公式可得E是PC的中点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由线面角的向量公式求解即可.
【详解】（1）在四棱锥中，底面为菱形，所以，
又因为底面ABCD，底面，所以，
，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）四棱锥的体积为，三棱锥的体积为，，
设到平面的距离为，
则，
所以，所以E是PC的中点，
取的中点，连接，因为底面为菱形且，
所以为等边三角形，所以，所以，
如图以A为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
令，则，，，
，，所以，，，
设平面的法向量为n=x,y,z，所以，
即，令，则，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
18．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）对求导，得到，再分和两种情况，利用导数与函数单调性间的关系，即可求解；
（2）根据条件，利用（1）中结果得到，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，求出的单调区间，进而求出的最小值，即可求解.
【详解】（1）易知，因为，所以，
当时，恒成立，此时在上单调递增，
当时，由，得到，
当时，，当时，，即在区间上单调递减，在区间上单调递增，
综上，时，在上单调递增，
时，的减区间为，增区间为.
（2）因为当时，时，，
由（1）知，要使对任意的恒成立，则，且恒成立，
即恒成立，得到，
所以，
令，则，由，得到，
当时，，时，，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，故的最小值为.
19．(1)
(2)
(3)和，
【分析】（1）设直线，由可解不等式求得结果；
（2）根据方程的几何意义，将问题转化为圆在直线下方的部分（不含边界）的面积的求解，结合扇形和三角形面积公式可求得结果；
（3）根据已知等量关系可整理得到曲线的方程，将整理为，，通过讨论曲线上的点到的距离可构造不等关系求得结果.
【详解】（1）由题意知：直线斜率存在，可设其方程为，即，
，解得：，
直线斜率的取值范围为.
（2），，
，即，
点集表示圆在直线下方的部分（不含边界），如下图阴影部分所示，
设直线与圆交于两点，
则圆心O0,0到直线的距离为，，
，，
阴影部分面积，
即点集的面积为.
（3）设曲线上的动点为，则，
化简得曲线的方程为：和，其轨迹为两段抛物线弧；
由得：；
设曲线上的点Px,y，点到点的距离为，
则；
当时，；
当时，；
则曲线上的点到的距离的范围是，
曲线上总存在两点在曲线两侧，
，解得：，即实数的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题考查直线与曲线中的位置关系的新定义问题的求解，解题关键是能够充分理解新定义的含义，将所求式子利用几何意义进行转化，从而采用数形结合的方式来帮助求解.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
A
D
D
C
A
D
AD
ACD
题号
11









答案
ABD









0
10
30
60
0.2
0
30
50
60
0.5