广西名校联盟2024-2025学年高二上学期11月期中教学质量检测数学试题

这是一份广西名校联盟2024-2025学年高二上学期11月期中教学质量检测数学试题，共10页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容，已知，则使成立的一个充分条件是，已知空间向量，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册，必修第二册，选择性必修第一册第一章至第三章3.1.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
2.已知集合，则中元素的个数为（ ）
A.5 B.4 C.3 D.2
3.已知为椭圆的两个焦点，为椭圆上任意一点.若，则（ ）
A.1 B.6 C.7 D.4
4.若复数满足，则的虚部与实部之差为（ ）
A.2 B. C. D.
5.已知角的终边不在坐标轴上，且，则（ ）
A. B. C.或1 D.
6.一艘轮船北偏西方向上有一灯塔，此时二者之间的距离为16海里，该轮船以20海里/时的速度沿南偏西的方向直线航行，行驶半小时后，轮船与灯塔之间的距离为（ ）
A.18海里 B.16海里 C.14海里 D.12海里
7.设函数若在上单调递增，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8.已知，则使成立的一个充分条件是（ ）
A. B.
C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知空间向量，则（ ）
A.
B.
C.
D.在方向上的投影向量为
10.已知圆的半径为2，则下列判断正确的是（ ）
A.
B.点在圆的外部
C.若直线平分圆的周长，则
D.圆与圆外切
11.已知函数的部分图象如图所示，其中则（ ）
A.
B.
C.在上单调递增
D.在上恰有10个零点
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知向量与的夹角为，则__________，__________.
13.已知椭圆的长轴长为8，且离心率为，则的标准方程为__________.
14.已知均为圆柱表面上的动点，直线经过圆柱的中心24，圆柱的底面半径为5，则的最大值为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
已知的内角的对边分别为，且.
（1）求的大小；
（2）求的面积.
16.（15分）
已知不过原点的直线在两坐标轴上的截距相等.
（1）求直线的倾斜角；
（2）若直线过点，求直线的方程；
（3）若直线与直线垂直，且直线被圆截得的弦长为2，求直线在轴上的截距.
17.（15分）
某中学高二年级的所有学生学习完人教A版选择性必修第一册的《直线和圆的方程》章节后，统一进行了一次测试，并将所有的测试成绩（满分150分）按照分成6组，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）试估计该中学高二年级的所有学生该次测试成绩的平均数（每组数据取区间的中间值作代表）；
（2）按照人数比例用分层随机抽样的方法，从测试成绩在和内的学生中抽取6人的试卷进行试卷分析，再从这6人的试卷中任选2人的试卷进行优秀答卷展示，求被选中进行优秀答卷展示的这2人的测试成绩都在内的概率.
18.（17分）
如图，在四棱台中，底面是正方形，，平面.
（1）证明：平面.
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
（3）棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由.
19.（17分）
若圆与圆相交于两点，，且为线段的中点，则称是的等距共轭圆.已知点均在圆上，圆心在直线上.
（1）求圆的标准方程.
（2）若圆是圆的8等距共轭圆，设圆心的轨迹为.
（i）求的方程.
（ii）已知点，直线与曲线交于异于点的两点，若直线与的斜率之积为3，试问直线是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由.
2024年秋季学期高中二年级期中教学质量检测
数学试题参考答案
1.C 特称量词命题的否定是全称量词命题.
2.A 依题意可得，则中元素的个数为5.
3.D 根据题意可得，则.
4.B 因为，所以的虚部与实部之差为.
5.A 因为，所以.因为角的终边不在坐标轴上，所以，则.
6.C 记轮船的初始位置为，灯塔的位置为，半小时后轮船的位置为，如图所示.依题意得海里，海里，.在中，由余弦定理得，所以海里，即行驶半小时后，轮船与灯塔之间的距离为14海里.
7.B 根据题意可得解得.
8.B 对于A，取，显然有成立，但不成立，不符合题意.对于B，由，得，所以，可推出2，符合题意.对于D，，可得，不符合题意.对于D，由，得，因为，所以，所以，不能推出，不符合题意.
9.AC ，A正确；，В错误；，C正确；在方向上的投影向量为，D错误.
10.ABD 根据题意可得，所以，A正确.圆，因为，所以点在圆的外部，B正确.圆的圆心为，半径为2，若直线平分圆的周长，则直线过点，则，得
，C错误.圆的圆心为，半径为8，因为，所以圆与圆外切，D正确.
11.ABD 根据题意可得.因为，所以最小正周期为，由，解得.将的坐标代入，得，则，解得，因为，所以，则，A，B正确.令，得，当时，，C错误.由，得，故在上恰有10个零点，D正确.
12.； 由题意得.因为，所以.
13. 由题意易得，则.因为椭圆的离心率为，所以，则，故的标准方程为.
14.144 根据题意可得
.因为的最大值为的最小值为5，所以的最大值为.
15.解：（1）由正弦定理可得，则，
所以.
因为，所以.
（2）由题意可得的面积为.
16.解：（1）设直线，即，
则直线的斜率为，
倾斜角为.
（2）将点的坐标代入，可得，
所以直线的方程为.
（3）因为直线与直线垂直，所以可设.
因为点到直线的距离，
所以，
解得，
则直线在轴上的截距为.
17.解：（1）由频率分布直方图可知该中学高二年级的所有学生该次测试成绩的平均数约为分.
（2）因为测试成绩在和内的频率之比为，
所以抽取的6人中测试成绩在内的有4人，记为，
测试成绩在内的有2人，记为.
从这6人中任选2人的所有可能情况为，，共15种，
其中这2人的测试成绩均在内的情况有6种，
故所求概率为.
18.（1）证明：因为底面是正方形，所以.
又因为平面平面，所以.
因为，
且平面，所以平面.
（2）解：以所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，
所以.
设平面的法向量为，
则取.
设直线与平面所成的角为，
则，
故直线与平面所成角的正弦值为.
（3）解：若存在点满足题意，则可设点，其中，
则.
设平面的法向量为，则
取.
易得平面的一个法向量为，
所以，解得或（舍去），
故棱上存在一点，当时，二面角的余弦值为.
19.解：（1）根据题意可设圆的圆心坐标为，
则圆的标准方程为，
由
解得
则圆的标准方程为.
（2）（i）设圆与圆相交于两点，则.
因为为线段的中点，所以，则，
所以是以为圆心，3为半径的圆，
故的方程为.
（ii）（方法一）若直线的斜率不存在，则可设直线的方程为.
根据题意可得，整理得.
因为，所以，即直线的方程为，此时直线经过点，不符合题意.
若直线的斜率存在，则可设直线的方程为.
由得，
则.
则，即，
解得或.
当时，直线的方程为，经过点，不符合题意，故舍去.
当时，直线的方程为，不经过点，符合题意，
故直线的方程为，经过定点.
（方法二）设直线的方程为，直线的斜率分别为，则.
由题意可得，即，则，所以
同理可得.
因为是关于的方程的两根，
所以，
解得，
所以直线的方程为，
当时，，故直线过定点.