福建省福州福清市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题（解析版）-A4

展开

这是一份福建省福州福清市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题（解析版）-A4，共12页。试卷主要包含了考试结束，考生必须将答题卡交回， “”是“函数是上的增函数”的，若，，则下列不等式成立的是等内容，欢迎下载使用。
（完卷时间：120分钟；满分：150分）
注意事项：
1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答.在试题卷上作答，答案无效.
3.考试结束，考生必须将答题卡交回
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 命题：“，”的否定是（）
A. ，B. ，
C. ，使得D. ，使得
【答案】C
【解析】
【分析】由全称量词命题的否定为存在量词命题求解即可.
【详解】“，”的否定是“，使得”.
故选：C
2. 已知集合，，则（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先求解集合，再根据补集的定义即可得出答案.
【详解】因为，，
所以.
故选：A.
3. 不等式的解集为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次不等式运算求解即可.
详解】由可得，解得，
所以不等式的解集为.
故选：C.
4. “”是“函数是上的增函数”的（）
A 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据一次函数单调性求得，再根据包含关系分析充分、必要条件.
【详解】若函数是上的增函数，则，解得，
显然是的真子集，
所以“”是“函数是上的增函数”的必要不充分条件.
故选：B.
5. 用长的铁丝折成一个矩形，则该矩形面积的最大值为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设该矩形相邻的两边长为，列出等量关系，然后结合均值不等式求解即可.
【详解】设该矩形相邻的两边长为，则，即.
由，，则，得，
当且仅当时，等号成立.
故该矩形面积的最大值为.
故选：A.
6. 下列四个函数中，与表示同一函数的是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的三要素逐一判断即可.
【详解】因为，，
A，因为的定义域，与的定义域不同，与不是同一函数；
B，因为的定义域，与的定义域相同，但，与的对应关系不同，不是同一函数；
C，因为的定义域，与的定义域相同，且，与的对应关系相同，表示同一函数；
D，因为的定义域，与的定义域不同，与不是同一函数.
故选：C.
7. 命题“，”为真命题，则实数a的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次不等式恒成立问题可得，代入运算求解即可.
【详解】若命题“，”为真命题，
则，解得，
所以实数a的取值范围是.
故选：D.
8. 已知函数是定义在上的偶函数，若在区间上单调递减，则下列关系式中成立的是（）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据偶函数可得，再结合单调性分析判断即可.
【详解】因为函数是定义在上的偶函数，则，
且在区间上单调递减，可得，
结合选项可知D正确，ABC错误.
故选：D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 图中阴影部分用集合表示正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】根据交集、补集以及图象等知识来确定正确答案.
【详解】根据图象可知，阴影部分表示集合是，
所以AB选项正确、C选项错误.
而，不符合题意，D选项错误.
故选：AB
10. 若，，则下列不等式成立的是（）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】直接由作差法结合不等式的性质逐一判断即可.
【详解】对于A，因为，所以，即，故A正确；
对于B，因为，所以，即，故B错误；
对于C，因为，，所以，，故C正确；
对于D，因为，所以，即，故D错误.
故选：AC.
11. 已知，函数，若满足关于的方程，则下列命题为真命题的有（）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据以及二次函数的性质可得是的最小值点，即可结合选项逐一求解.
【详解】因为满足关于的方程，所以，所以在处取得最小值.
由A选项，得在处取得最大值，A选项为假命题；
由B选项，得在处取得最小值，B选项为真命题；
C选项，当时，，C选项为真命题；
D选项，因为在处取得最小值，所以，是真命题.
故选：BCD.
第Ⅱ卷
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上.
12. 已知，则的最大值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
直接使用基本不等式，即可求得结果.
【详解】因为，当且仅当，即时取得最大值.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，属基础题.
13. ，则________.
【答案】0
【解析】
【分析】根据元素的互异性原则,a不能是1,,只能,再求出b的值即可求出的值.
【详解】根据集合的元素具有互异性，由集合,得，,则，,
所以，
故答案为:0.
【点睛】本题考查集合的元素具有互异性,属于基础题.
14. 已知函数，则__________（用含a的式子表示）；若在定义域上是减函数，则a的取值范围为__________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据分段函数解析式直接代入即可求的值；根据分段函数单调性结合二次函数性质列式求解即可.
【详解】由题意可知：，所以；
若在定义域上是减函数，则，解得，
所以a的取值范围为.
故答案为：；.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，，，
（1）若，求实数a的值.
（2）请写出所有满足A的集合M.
【答案】（1）a的值为0或或1
（2），，，，，，
【解析】
【分析】（1）由题意可知，结合包含关系列式求解即可；
（2）根据包含关系分析集合M的元素构成，即可得结果.
【小问1详解】
集合，
对于集合，
当时，，满足；
当时，集合，
而，则或，可得或；
综上所述：实数a的值为0或或1．
【小问2详解】
因为，且A，
可知集合M必含有元素1，2，元素3，4，5中至少含有1个，
所以集合M可以是，，，，，，.
16. 已知，.
（1）比较与的大小；
（2）若，求ab的最小值.
【答案】（1）
（2）最小值为9
【解析】
【分析】（1）根据题意利用作差法分析证明即可；
（2）根据题意利用基本不等式可得，解不等式即可得结果.
【小问1详解】
因为，
因为，，则，
可得a2+a−2ab−b2=a−b2+a>0，
所以.
【小问2详解】
由，得，
因为，即，整理可得，
且，则，可得，
当且仅当时，等号成立，
故ab的最小值为9．
17. 已知，，x∈R，表示，的最小者，记为.
（1）请在如图所示的坐标系中作出函数的图象，并写出解析式；
（2）请判断函数的单调性，并说明单调区间及值域（无需说明理由）；
（3）若，求实数a的取值范围.
【答案】（1）作图见解析，
（2）答案见解析（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意判断，的大小关系，即可得的解析式和图象；
（2）根据图象判断的单调性和值域；
（3）根据的单调性解不等式即可.
【小问1详解】
令，即，解得或；
令，即−x+1>x−12，解得；
综上所述：，
函数的图象如图所示：
【小问2详解】
由图象可知：是R上的减函数，
且单调递减区间为，不存在单调递增区间；值域为R．
【小问3详解】
因为，且是R上的减函数，
则，即，解得或，
故实数a的取值范围是．
18. 设.
（1）求证：；
（2）证明：为奇函数；
（3）试判断在上的单调性，并说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析（3）增函数，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据函数解析式直接证明即可；
（2）根据题意结合奇函数定义分析证明；
（3）根据题意结合单调性的定义分析证明.
【小问1详解】
因为，
所以．
小问2详解】
由题意可知：的定义域，关于原点对称，
且，
所以为奇函数．
【小问3详解】
在0,+∞上为增函数，证明如下：
，，且，
则
因为，则，，，
可得，即，
故在0,+∞上为增函数．
19. 若一个集合仅有2个元素，且这2个元素之和等于这2个元素之积，则称该集合为2元“完美集”.例如就是一个2元“完美集”，这是因为.
（1）请再写出一个不同于的2元“完美集”（无需写出求解过程）；
（2）求证：对任意一个2元“完美集”，若其元素均为正数，则其元素之积一定大于4；
（3）是否存在某个2元“完美集”，其元素均为正整数？若存在，求出所有符合条件的2元“完美集”；若不存在，说明理由.
【答案】（1）（答案不唯一，满足均可）．
（2）证明见解析（3）不存在，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据“复活集”的定义写出一个2元“复活集”；
（2）利用基本不等式证得结论成立；
（3）根据题意可得，根据整数性分析判断即可.
【小问1详解】
因为，
所以2元“完美集”可以为（答案不唯一，满足均可）．
【小问2详解】
设2元“完美集”为，其中，则，
由得，，
因为，所以．
【小问3详解】
若为2元“完美集”，x，，且，
则，
由x，得，或，
即或这与矛盾，
故不存在满足题意的2元“完美集”．