2024-2025高二上学期期中考试数学试卷解析版-A4

这是一份2024-2025高二上学期期中考试数学试卷解析版-A4，共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
(考试时间:120分钟 满分:150分)
命题人：盖尾中学 郭志龙 审题人：度尾中学 林俊喜
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 请把答案填在答题卷的相应位置.
1. 经过点（1，－1）且一个方向向量为（1，）的直线l的方程是（ ）
A. 3x+2y－1＝0B. 3x+2y+1＝0 C. 2x+3y+1＝0D. x－2y－3＝0
【答案】A
【分析】根据直线的方向向量求出直线的斜率k的值，代入点斜式方程，求出直线方程即可.
【详解】直线l的一个方向向量为（1，），且经过（1，－1），故直线l的斜率k＝，故直线方程为：y+1＝（x－1），即3x+2y－1＝0，故选：A.
2. 圆与圆的位置关系是（ ）
A. 内切 B. 外切C. 相交 D. 相离
【答案】C
【分析】求出圆心距，与两半径的和差比较可得．
【详解】圆心，圆心为，半径为，
圆标准方程为，圆心为，半径为．
，显然，所以两圆相交．故选：C．
3. 已知直线与平行，则实数a的值为
A. －1或2 B. 0或2 C. 2 D. －1
【答案】D
【分析】根据两直线平行，列方程，求的a的值.
【详解】已知两直线平行，可得a•a -（a+2）=0，即a2-a-2=0，解得a=2或-1．经过验证可得：a=2时两条直线重合，舍去．∴a=-1．故选D
【点睛】对于直线 若直
4 等差数列中，则公差（ ）
A. 4B. 3C. -4D. -3
【答案】B
【分析】利用等差数列的通项公式进行求解即可.
【详解】在等差数列中，
所以有．故选：B．
5.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第三天走的路程为（ ）
A．12里 B．24里 C．48里D．96里
【答案】C
【解析】由题意可得，此人天中每天走的路程是公比为的等比数列，设这个数列为，前项和为，
则，解得，
所以，即该人第三天走的路程为48里.
故选：C.
6. 已知数列an，，且，则（ ）
A. B. 2C. −2D.
【答案】A
【分析】根据递推公式，可得数列an是周期为的数列，从而可解.
【详解】根据题意，，
则，
所以数列an是周期为的数列，
则.故选：A
7. 已知正项等比数列，若=9，则（ ）
A. 6B. 12C. 15D. 18
【答案】B
【分析】根据等比数列的性质即可求解.
【详解】由可得，由于，所以，
故选：B.
8. 已知点，点M是圆上的动点，则的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】易知点为圆外一点，利用点到圆心的距离加半径，即为的最大值.
【详解】将代入，得，
所以点为圆外一点，易知圆心坐标，半径，
所以，
则的最大值为：，
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 请把答案填在答题卷的相应位置.
9. 设数列an的前n项和为，已知，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 数列an为等比数列
C.
D. 若，则数列bn的前10项和为
【答案】BD
【分析】根据题意，可得，所以数列为以为首项，以为公比的等比数列，依次可判断A、B、C，再由裂项相消法判断D.
【详解】当时，由，得，解得，
当时，，
即，
即数列为以为首项，以为公比的等比数列，
则，，，所以A、C错误，B正确；
又，
数列bn的前10项和为：
，D正确.
故选：BD
10. 已知圆的标准方程为，则下列说法正确的是（ ）
A. 圆的圆心为B. 点在圆内
C. 圆半径为5D. 点在圆内
【答案】ABC
【分析】根据给定圆方程，结合点与圆的位置关系逐项判断作答.
【详解】圆圆心为，半径为5，AC正确；
由，得点在圆内，B正确；
由，得点在圆外，D错误.
故选：ABC
11. 设等差数列的前n项的和为，公差为d，已知，，，则（ ）
A. B.
C. D. 当时，n的最小值为13
【答案】ACD
【分析】根据题意，由等差数列的性质以及等差数列前n项和公式依次分析选项，结合基本量的运算即可得到答案.
【详解】对于A，，A正确；
对于B，，即，
又，解得，B错误；
对于C，由，得，C正确；
对于D，由选项C知，an是递减数列，，而，
因此当时，n的最小值为13，D正确.
故选：ACD
三.填空题（本题共3小题，每题5分，共15分）
12. 点到直线：的距离是______
【答案】
【分析】直接代入点到直线的距离公式求解即可.
【详解】点到直线：的距离是.
故答案为：.
13.数列的前项和记为，若，则______.
【答案】
14. 求过点且与圆相切的直线方程为______.
【答案】x＝4或3x+4y＝0
四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 请把答案填在答题卷的相应位置.
15. 已知，在中，
（1）求边的方程；
（2）求边上的中线所在直线的方程．
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】（1）直接由直线的两点式方程化简得.
（2）首先得中点，然后结合点坐标，由两点式化一般式即可得解.
【小问1详解】
边过两点
由两点式，得， ……3分
即，……6分
故边的方程是．……7分
【小问2详解】
设的中点为，
则，， ……9分
所以，……10分
又边的中线过点，
所以，即，……14分
所以边上的中线所在直线的方程为．……15分
16.已知数列满足，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，数列为以为公差，以为首项的等差数列，即可得通项公式；
（2）利用裂项相消法求和.
【小问1详解】
根据题意，数列满足，
即，
所以根据题意，数列为以为公差的等差数列，
又，则，……3分
所以；……7分
【小问2详解】
根据题意，，……10分
所以数列的前n项和为：.
……15分
17. 若圆C经过点和，且圆心在x轴上，则：
（1）求圆C的方程．
（2）直线与圆C交于E、F两点，求线段的长度．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由圆心既在线段的垂直平分线上，又在x轴上，可联立直线方程求圆心，进而得半径与圆的方程；
（2）利用几何法，先求圆心到直线的距离，再利用勾股定理求半弦长即可得.
【小问1详解】
因为和，线段的中点为0,2，且，……3分
则的垂直平分线方程为，由圆的性质可知，圆心在该直线上，
又已知圆心在轴上，令，得，……5分
故圆心为，半径，……7分
7则圆圆C的方程为.……8分
【小问2详解】
由圆心2,0到直线的距离……10分
，.……14分
故线段的长度为.……15分

18.已知数列的前项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，求数列的前项和．
【解析】（1）因为，即，则，
两式相减并整理得，则，
两式相减整理得，
所以数列为等差数列．……3分
当时，，所以．
设等差数列的公差为，
因为，解得，……5分
所以．……7分
（2）由（1）可得，则，……9分
则可得所以．
……15分
19.已知数列an，对于任意的n∈N*，都有an+an+2>2an+1，则称数列an为“凹数列”．
(1)判断数列an=2n是否为“凹数列”，请说明理由；
(2)已知等差数列bn，首项为4，公差为d，且bnn为“凹数列”，求d的取值范围；
(3)证明：数列cn为“凹数列”的充要条件是“对于任意的k,m,n∈N*，当k2an+1，数列2n是“凹数列”．…5分
（2）因为等差数列bn的公差为d,b1=4，
所以bn=b1+n−1d=4+n−1d，……7分
因为数列bnn是凹数列，
所以bn−1n−1+bn+1n+1>2×bnn对任意n≥2,n∈N*恒成立，
即4+n−2dn−1+4+ndn+1>2×4+n−1dn，
所以d+4−dn−1+d+4−dn+1>2d+4−dn，即4−d1n−1+1n+1−2n>0，
因为1n−1+1n+1−2n=2nn2−1−2n=2nn2−1>0，
解得d2cn+1，即cn+2−cn+1>cn+1−cn，
所以对任意的k,m,n∈N*，当kcm+1−cm，
又cm−ck=cm−cm−1+cm−1−cm−2+⋯+ck+1−ck