福建省福州市2022-2023学年九年级上学期月考适应性练习数学试卷

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第Ⅰ卷
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 地铁标志作为城市地铁的形象和符号，是城市文化的缩影，下列图案分别为北京，上海，深圳，福州四个城市的地铁标志，其中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】绕着一点旋转180°后能够与原图形重合的图形即为中心对称图形，由此判断即可．
【详解】解：根据中心对称图形的定义，C选项符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的定义是解题关键．
2. 下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（ ）
A. 守株待兔B. 水中捞月C. 水滴石穿D. 百发百中
【答案】B
【解析】
【分析】根据必然事件就是一定发生的事件逐项判断即可．
【详解】解：A、守株待兔是随机事件，故该选项不符合题意；
B、水中捞月是不可能事件，故该选项符合题意；
C、水滴石穿是必然事件，故该选项不符合题意；
D、百发百中是随机事件，故该选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了必然事件的概念，掌握必然事件指在一定条件下一定发生的事件是解答本题的关键．
3. 下列图形中，正多边形内接于半径相等的圆，其中正多边形周长最小的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据圆的内接正多边形边数越多，越接近圆的周长，正多边形周长越长．
【详解】解：圆的内接正多边形边数越多，越接近圆的周长，正多边形周长越长，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，解题的关键是掌握“圆的内接正多边形边数越多，越接近圆的周长，正多边形周长越长”．
4. 如图，已知直线直线和分别与直线，，交于点A，B，C和点D，E，F，若，，则的长是（ ）
A. B. 3C. 6D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，注意：一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例．
5. 方程的解是（ ）
A. ，B. ，
C ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可解答．
【详解】解：∵，
∴或，
∴，．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了用因式分解法解一元二次方程，灵活运用因式分解法解一元二次方程的方法是解答本题的关键．
6. 如图，将点M绕点O顺时针旋转90°得到点N，则点N在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】根据旋转的性质可得结论．
【详解】解：∵点M在第四象限，
∴将点M绕点O顺时针旋转得到点N，则点N在第三象限，
故选：C
【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及坐标与位置，正确理解旋转的性质是解答本题的关键．
7. 将抛物线向左平移1个单位长度，平移后的抛物线的解析式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数“左加右减”的平移规律即可得到答案．
【详解】解：将抛物线向左平移1个单位长度，平移后的抛物线的解析式是，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的平移，掌握二次函数的平移规律是解题的关键．
8. 2020年教育部印发了《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》，劳动教育已纳入人才培养过程.某中学加大校园农场建设，为学生提供更多的劳动场所.该农场某种作物2020年的年产量为100千克，2022年的年产量为225千克，设该作物年产量的平均增长率为x，则符合题意的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设该作物年产量的平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程即可求解．
【详解】解：设该作物年产量的平均增长率为x，根据题意得，，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
9. 关于x的一元二次方程，若，则该方程必有一个根是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程的根的定义，结合即可判断结果．
【详解】解：∵，当时，，
∴该方程必有一个根是，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义，解答本题的关键是熟练掌握方程的根的定义：方程的根就是使方程左右两边相等的未知数的值．
10. 公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了“杠杆原理”：杠杆平衡时，阻力×阻力臂=动力×动力臂，当用撬棍撬动一块石头时，发现阻力和阻力臂分别为和，关于动力F和动力臂l，下列说法错误的是（ ）
A. F与l的积为定值
B. F随l的增大而减小
C. 当l为时，撬动石头至少需要的力
D. F关于l的函数图象位于第一、第三象限
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意求出动力F和动力臂l的函数关系式，再逐项判断即可．
【详解】解：A．∵阻力×阻力臂=动力×动力臂，已知阻力和阻力臂分别是和，
∴动力(单位：)关于动力臂(单位：)的函数解析式为：，故A项正确，不符合题意；
B．由，可知：F随l的增大而减小，故B正确，不符合题意；
C．当时，，故C项正确，不符合题意；
D．∵动力F和动力臂l均是正数的物理量，
∴的函数图象在第一象限，故D项错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，弄清题意，正确分析各量间的关系是解题的关键．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 若反比例函数的图象经过点，则k的值是___．
【答案】6
【解析】
【分析】将代入反比例函数解析式，即可求出答案．
【详解】解：根据题意可得：，
解得：，
故答案为：6．
【点睛】本题考查反比例函数解析式，掌握待定系数法是解题的关键．
12. 如图，在中，弦，，垂足为C，，则的半径为_______．
【答案】5
【解析】
【分析】先根据垂径定理得出的长，再由勾股定理即可得出结论．
【详解】解：连接，
∵，，
∴，
∵，
∴．
故答案为5．
【点睛】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
13. 某林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，在同样条件下，对这种幼树进行大量移植，并完成统计情况，得到一组统计数据：
估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是_____（结果精确到）．
【答案】
【解析】
【分析】根据用频率估计概率的方法即可进行解答．
【详解】解：由表可知：经过大量重复试验，成活的频率逐渐稳定到，
∴该种幼树在此条件下移植成活的概率是，
故答案为：．
【点睛】利用频率估计概率 在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率．
14. 在半径为1圆中，圆心角所对的弧长是______．
【答案】##
【解析】
【分析】根据弧长公式计算即可求解．
【详解】解：．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了弧长公式，若弧所在圆的的半径为r，所对圆心角为，则弧长，熟知弧长公式是解题的关键．
15. 某足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，如果不考虑空气阻力，足球飞行的高度h（单位：m）与足球飞行的时间t（单位：s）之间具有二次函数关系，其部分图象如图所示，则足球从踢出到落地所需的时间是_____．
【答案】
【解析】
【分析】先确定抛物线的对称轴方程，再根据抛物线的对称性可得出结论．
【详解】解：根据函数的图象可得抛物线的对称轴方程为：，
因为抛物线与x轴的一个交点横坐标为0，
所以，抛物线与x轴的另一个交点横坐标为，
所以，足球从踢出到落地所需的时间是，
故答案为：
【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
16. 已知内接于⊙O，I是的内心，若，则的度数是_____．
【答案】或
【解析】
【分析】当是锐角三角形时，得出，得出，求解即可；当是钝角三角形时， ，得出，求解即可；当是直角三角形时，不符合题意．
【详解】解：当是锐角三角形时，如图所示：
∵I是的内心，
∴、平分、，
∴，，
∴
，
∵，，
∴，
∴；
当是钝角三角形时，如图所示：
∵I是的内心，
∴、平分、，
∴，，
∴
∵，，
∴，
∴；
当是直角三角形时，不符合题意；
故答案为：或．
【点睛】本题考查三角形的内心，角平分的定义，分情况讨论是解题的关键．
三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 解方程:.
【答案】
【解析】
【分析】运用公式法解一元二次方程.
【详解】解：
【点睛】掌握运用公式法解一元二次方程.
18. 如图，在中，点E，F分别在边，上，且，连接，，求证：四边形是中心对称图形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】先证明四边形是平行四边形，根据平行四边形是中心对称图形进行推理即可．
【详解】证明：四边形是平行四边形，
，，
四边形是平行四边形，
四边形中心对称图形．
【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定，掌握平行四边形是中心对称图形是解题的关键．
19. 已知一元二次方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围．
【答案】且
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的判别式，即可求解．
【详解】解：方程是一元二次方程，
，且，
一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
，
解得：，
取值范围是且．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键．
20. 如图，将绕点A顺时针旋转得到（为锐角），点D与点B对应，连接，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据旋转的性质可得，，，从而得到，即可求证．
【详解】解：绕点旋转得到，
，，，
，
．
【点睛】本题主要考查了图形的旋转，相似三角形的判定，熟练掌握图形的旋转的性质，相似三角形的判定是解题的关键．
21. 为增强学生爱国意识，激发爱国情怀，某校9月开展了“喜迎二十大、永远跟党走、奋进新征程”主题教育活动，活动方式有：A.主题征文，B.书法绘画，C.红歌传唱，D.经典诵读．为了解最受学生喜爱的活动方式，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）参与此次抽样调查的学生人数是_______，扇形统计图中A部分圆心角的度数是_______；
（2）学校从1班，2班，3班，4班中随机选取两个班参加“红歌传唱”的活动，求恰好选中2班和3班的概率．
【答案】（1）40，；
（2）．
【解析】
【分析】（1）由C类型人数及其所占百分比可得总人数，用360°乘以A类型人数所占比例即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【小问1详解】
总人数（人），
A类型人数（人）
扇形统计图中A部分圆心角的度数为，
故答案为40，；
【小问2详解】
将1班，2班，3班，4班分别记为1，2，3，4.
根据题意，列表如下：
如表，所有可能发生的结果共有12种，并且它们发生的可能性相等，其中恰好选中2班和3班的有2种，
恰好选中2班和3班的概率是．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
22. 如图，P为外一点，M为中点．
（1）过点P作的一条切线，且Q为切点（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，若，求证：点M在上．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【解析】
【分析】（1）以点M为圆心，的长为半径画弧交于点Q，连接，则即为所求；
（2）连接，设，则，可得，，在中，由勾股定理可得，从而得到的半径，即可求解．
【小问1详解】
解：如图，为所求作的的切线，其中为切点．
理由：如图，连接，
由作法得：，
∵M为中点，
∴，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
即，
∵为的半径，
∴与相切；
【小问2详解】
解：由（1）得，与相切于点．
连接，
，
．
设，则．
是的中点，
，，
在中，，
即的半径，
，
点在上．
【点睛】本题主要考查了切线判定和性质，点与圆的位置关系，勾股定理，尺规作图等知识，熟练掌握切线的判定和性质，点与圆的位置关系是解题的关键．
23. 如图，一块余料，，，，，，且和之间的距离为4．以所在直线为x轴，长为1个单位长度，建立适当的平面直角坐标系，图中曲线恰好是该平面直角坐标系中反比例函数图象的一部分．
（1）补全该平面直角坐标系，并写出点B，C，D，E的坐标；
（2）李师傅想利用该余料截取一块矩形材料，其中边在上（点P在点Q的右侧），其余两个顶点M与N分别在线段与曲线段上，求所截取的矩形材料面积的最大值．
【答案】（1），，，；
（2）13
【解析】
【分析】（1）根据已知条件，依次求出点E，F，A，B，D，C坐标，从而建立坐标系；
（2）求出直线的表达式，设，根据纵坐标求出点N坐标，从而得到，，根据矩形面积公式列出面积关于a的表达式，根据二次函数的最值和a的范围求解即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴点B，点E的纵坐标为1，
∵点E在反比例函数图象上，
令，则，即，
∴，
∵，
∴，，
∵和之间的距离为4，，
∴点D的纵坐标为4，代入中，
得，则，
∵，
∴，
故建立坐标系如下：
其中，，，；
【小问2详解】
设直线的表达式为，
将，代入，
得：，解得：，
∴直线的表达式为，
设，将代入中，
得，即，
∴，，
∴
，
开口向下，且对称轴为直线.
，
当时，最大，最大值为13，
所截取的矩形材料面积的最大值为13．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，涉及了反比例函数和一次函数的知识，要能根据已知条件建立正确的坐标系，并能根据点在函数上得到坐标，从而表示出边长．
24. 在中，，两条高，交于点H，F是的中点，连接并延长交边于点G．
（1）如图1，若是等边三角形．
①求证：；
②求的长．
（2）如图2，若，，求的面积．
【答案】（1）①见解析；②；
（2）．
【解析】
【分析】（1）①根据等边三角形的性质可得， 从而得到，，即可；②过点作交于点，可得，，从而得到，，进而得到，即可；
（2）过点作交于点，可得，，从而得到，进而得到，再证明，根据相似三角形的性质，即可求解．
【小问1详解】
①证明：，是等边三角形的高，
，，，分别平分和，
，
，，
；
②解：过点作交于点，
，，
，，
，是的中点，
，，
，，
，
，等边三角形的边长为8，
，
；
【小问2详解】
解：过点作交于点，
，，
，，
∵是的中点，
∴，
，
，
．
，
，
．
，
，，
．
，，
，
，
，
即，
，
．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．
25. 已知抛物线与轴的正半轴交于点，与轴交于点，当时，抛物线最低点的纵坐标为：当时，抛物线最低点的纵坐标为．
（1）求，的关系式（用含的代数式表示）；
（2）若，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，为抛物线对称轴上一点，过点的直线交抛物线于，两点，为线段的中点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，探究是否存在定点，使得总成立，若存在，求出点的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）；
（3）存在，．
【解析】
【分析】（1）根据题意分析得出当时，取得最小值，最小值为，即，进而根据顶点公式进行计算即可求解；
（2）根据题意得出，进而待定系数法求解析式即可求解；
（3）设，则直线的解析式为．代入二次函数解析式，根据一元二次方程根与系数的关系得出，，设，根据中点坐标得出，继而可得，由轴，且点在抛物线上，得出，再利用勾股定理求得，根据得出等式，进而得出的值，即可求解．
【小问1详解】
解： 当时，拋物线最低点的纵坐标为；
当时，抛物线最低点的纵坐标为，
的抛物线上的最低点是整条抛物线的最低点，
抛物线的开口向上，对称轴在轴右侧，且顶点的纵坐标为，
，，
．
又当时，随的增大而减小．
，
当时，取得最小值，最小值为，
，
，
【小问2详解】
由（1）得抛物线解析式为，，，，
．
．
点在轴正半轴，
，
，
解得， （舍去），
抛物线解析式为．
【小问3详解】
过点的直线与抛物线交于，两点，
设该直线解析式为．
由（2）得，抛物线的对称轴为直线，
设，
，
即，
该直线的解析式为．
将代入，
整理，得．
设，，
，
，．
设．
是的中点，
，
，
．
轴，且点在抛物线上，
，
由勾股定理得
，
，
即，
，
解得，
存点定点，坐标为
【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，待定系数法求解析式，线段问题，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
移植总次数n
1500
3500
7000
9000
14000
成活数m
1335
3203
6335
8037
12628
成活的频率
班级
1
2
3
4
1
2
3
4