河南省商丘市永城市第五初级中学2024-2025学年九年级上学期月考数学试卷（10月份）

这是一份河南省商丘市永城市第五初级中学2024-2025学年九年级上学期月考数学试卷（10月份），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列关于x的方程：①；②；③；④；⑤；⑥中，一元二次方程的个数是( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
2.若关于x的方程是一元二次方程，则( )
A. B. C. D.
3.方程的一次项系数为( )
A. B. 3C. 2D.
4.若点，，都是二次函数的图象上的点，则( )
A. B. C. D.
5.抛物线的顶点坐标( )
A. B. C. D.
6.下列一元二次方程中，没有实数根的是( )
A. B. C. D.
7.将抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的解析式是( )
A. B.
C. D.
8.为解决民生问题，国家对某药品价格分两次降价，该药品的原价是121元，降价后的价格是100元，若平均每次降价的百分率均为x，可列方程为( )
A. B.
C. D.
9.抛物线的对称轴为直线，若关于x的一元二次方程为实数在的范围内有实数根，则t的取值范围是( )
A. B. C. D.
10.对称轴为直线的抛物线为常数，且如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②；③，④，⑤为任意实数，⑥当时，y随x的增大而减小.其中结论正确的个数为( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.抛物线与y轴的交点坐标是______.
12.已知二次函数的图象的顶点在y轴上，则m的值为______.
13.若关于x的一元二次方程的一个根是，则k等于______.
14.已知三角形两边长分别是3和5，第三边的长为一元二次方程的一个根，则这个三角形的周长为______.
15.已知抛物线的图象如图①所示，现将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象其余部分不变，得到一个新图象如图②，当直线与图象②恰有三个公共点时，则b的值为______.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题10分
解方程：
用配方法：；
用公式法：
17.本小题8分
已知函数其中
当m为何值时，y是x的二次函数？
当m为何值时，y是x的一次函数？
18.本小题9分
已知关于x的一元二次方程
若方程有实数根，求m的取值范围；
在等腰中，一腰长为3，其余两边长为方程的两个根，求m的值.
19.本小题9分
已知二次函数
将其配方成顶点式，并写出它的图象的开口方向、顶点坐标、对称轴；
求出抛物线与x轴的交点坐标．
20.本小题9分
“动若脱兔”是一个汉语成语，这个成语的含义是在行动时变得敏捷迅速，就像脱逃的兔子一样.野兔跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分.
野兔一次跳跃的最远水平距离为，最大竖直高度为，以其起跳点为原点，建立平面直角坐标系，求满足条件的抛物线的解析式；无需写出取值范围
若在野兔起跳点2米处有一个高度为米的树桩，请问野兔是否能成功越过木桩，避免守株待兔的故事再次上演？
21.本小题9分
商场某种新商品每件进价是120元，在试销期间发现，当每件商品售价为130元时，每天可销售70件，当每件商品售价高于130元时，涨价1元，日销售量就减少1件，据此规律，请回答：
当每件商品售价定为140元时，每天可销售多少件商品？商场获得的日盈利是多少？
当每件商品销售价定为多少元时，商场日盈利可达1500元？
当每件商品销售价定为多少元时，商场日盈利可达最大值？是多少？
22.本小题10分
如图，在边长为12cm的等边三角形ABC中，点P从点A开始沿AB边向点B以每秒钟1cm的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒钟2cm的速度移动．若P、Q分别从A、B同时出发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动，求：
经过6秒后，______ cm，______cm；
经过几秒后，是直角三角形？
经过几秒的面积等于？
23.本小题11分
如图，已知抛物线与x轴交于，两点点A在点B的左侧，与y轴交于点
求抛物线的解析式；
在抛物线的对称轴上存在一点P，使得的值最小，求此时点P的坐标；
点D是第一象限内抛物线上的一个动点不与点C、B重合，过点D作轴于点F，交直线BC于点E，连接BD，直线BC把的面积分成两部分，若：：2，请求出点D的坐标.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：①，是分式方程，不是一元二次方程；
②，是一元二次方程；
③，含未知数的项的最高次数是3，不是一元二次方程；
④，是一元二次方程；
⑤，是一元二次方程；
⑥，当时，不是一元二次方程；
所以一元二次方程的个数是
故选：
本题根据一元二次方程必须满足两个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为据此逐项判定即可．
本题考查一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是
2.【答案】A
【解析】解：由题意得：，
解得：，
故选：
根据一元二次方程的定义可得，再解即可．
此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
3.【答案】D
【解析】解：，
，
一元二次方程的一次项系数是，
故选：
根据一元二次方程的一般形式：为常数且，即可解答．
本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：，
抛物线的对称轴为直线，开口向上，
而点离对称轴最近，点离对称轴最远，
，
故选：
先确定抛物线的对称轴，根据二次函数的性质，然后利用抛物线开口向上时，离对称轴越远，函数值越大求解．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：因为是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为
故选
可直接根据顶点式的特殊形式得顶点坐标．
主要考查了求抛物线顶点坐标的方法．
6.【答案】B
【解析】解：A、，则，故方程有实数根，故本选项不符合题意；
B、，则，故方程无实数根，故本选项符合题意；
C、，则，故方程有两个相等的实数根，故本选项不符合题意；
D、，，故方程有两个不相等的实数根，故本选项符合题意；
故选：
根据一元二次方程根的判别式判断即可．
本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．
7.【答案】C
【解析】解：抛物线的顶点坐标为，把向右平移2个单位，再向上平移3个单位所得对应点的坐标为，所以平移后的抛物线的解析式是
故选：
先由而次函数的性质得到抛物线的顶点坐标为，再根据点平移的规律，点平移后所得对应点的坐标为，然后根据顶点式写出平移后的抛物线的解析式．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．解决此题的关键是把抛物线平移的问题转化为顶点平移的问题．
8.【答案】C
【解析】解：根据题意列方程得，
故选：
设平均每次降价的百分率为x，那么第一次降价后的售价是原来的，那么第二次降价后的售价是原来的，据此列方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到相应的等量关系，注意第二次降价后的价格是在第一次降价后的价格的基础上得到的．
9.【答案】C
【解析】【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的图象及性质；能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题，借助数形结合解题是关键．
根据给出的对称轴求出函数解析式为，将一元二次方程的实数根可以看作与函数的有交点，再由的范围确定y的取值范围即可求解．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线，
，
，
一元二次方程的实数根可以看作与函数的有交点，
方程在的范围内有实数根，
当时，；
当时，；
函数在时有最大值4；
故选：
10.【答案】C
【解析】解：①由图象可知：，，
对称轴为直线，
，
，故①正确，符合题意．
②抛物线与x轴有两个交点，
，
，故②正确，符合题意．
③当时，，
故③错误．
④当时，，
即，故④正确，符合题意．
⑤当时，为最小值，
当时，，
，
整理得：，
故⑤正确，符合题意．
⑥从图象看当时，y随x的增大而减小，正确，符合题意．
故选：
由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：抛物线，
当时，，
抛物线与y轴的交点坐标是
故答案为：
由于抛物线与y轴的交点的横坐标为0，把当然抛物线的解析式中即可求出纵坐标．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，比较简单，掌握y轴上点的横坐标为0是解题的关键．
12.【答案】2
【解析】解：二次函数的图象的顶点在y轴上，
，
解得，
故答案为：
根据二次函数的图象的顶点在y轴上，可知该函数图象顶点的横坐标为0，然后即可求得m的值．
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确在y轴上的点的横坐标都为
13.【答案】0
【解析】解：代入方程得：，
解得
故答案为：
把代入方程就得到一个关于k的方程，就可以求出k的值．
本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，逆用一元二次方程解的定义易得出k的值．
14.【答案】11或12
【解析】解：，
因式分解得，
或，
解得：，，
①三角形的三边为3，5，4，可以组成三角形，即三角形的周长是；
②三角形的三边为3，5，3，可以组成三角形，即三角形的周长是；
综上，这个三角形的周长为11或
故答案为：11或
=求出方程的解，根据三角形三边关系定理判断是否能组成三角形，再求出即可．
本题考查了解一元二次方程和三角形三边关系，关键是能利用因式分解法解一元二次方程求出三角形第三边的长．
15.【答案】1或
【解析】解：抛物线的解析式为，
抛物线的顶点坐标为，
令，则，
解得：，，
，，
根据翻折变换，关于x轴的对称点为，
曲线ACB所对应的函数解析式为，
当直线与图象②恰有三个公共点时，如图所示：
①当直线过点A时，，
解得：；
②当直线过与只有一个公共点时，
即，
，
则，
的值为1或
故答案为：1或
先根据图①所对应的解析式求出点A、B的坐标以及顶点坐标，再根据翻折变换求出曲线ACB所对应的解析式，再根据直线与图象②恰有三个公共点，结合图象进行计算即可．
本题考查抛物线与x轴的交点，一次函数的图象以及二次函数的图象与几何变换，关键是利用数形结合的思想，对直线与图象②恰有三个公共点时进行求值．
16.【答案】解：原方程整理得：，
配方得：，
即，
直接开平方得：，
解得：，；
原方程整理得：，
，，，
，
则，
即，
【解析】利用配方法解方程即可；
利用公式法解方程即可．
本题考查解一元二次方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
17.【答案】解：根据题意得且，解得，
即当m为2时，y是x的二次函数；
当时，即时，y是x的一次函数；
当且时，y是x的一次函数，解得；
当且时，y是x的一次函数，解得；
即当m为或或时，y是x的一次函数．
【解析】根据二次函数的定义得到得且，然后解不等式和方程即可得到满足条件的m的值；
根据一次函数的定义分类讨论：当时，y是x的一次函数；当且时，y是x的一次函数；当且时，y是x的一次函数，然后分别解方程或不等式即可．
本考查了二次函数的定义：一般地，形如、b、c是常数，的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．、b、c是常数，也叫做二次函数的一般形式．也考查了一次函数的定义．
18.【答案】解：，
方程有实数根，
且，
且，
解得且；
根据题意得且，
解得且，
当3是腰时，3是方程的一个根，把代入方程得，
解得，
此时方程的另一根为，
，
三角形存在；
两腰都是方程的根时，即方程有两个相等根，
，
则，
此时两根都为2，
三角形存在，
综上所述，或
【解析】由方程无实数根得，可得关于m的不等式，解之可得m的范围；
由，求出m的取值范围，分两种情况：①当3是腰时，3是方程的一个根，把代入方程可求得m；②两腰都是方程的根时，即方程有两个相等根，由可求出m，两种情况都根据三角形的三边关系检验．
本题考查了一元二次方程的解和一元二次方程为常数的根的判别式掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解决问题的关键．
19.【答案】解：，
抛物线开口向上；
，
顶点坐标，对称轴为：直线；
令，即，
解得或，
抛物线与x轴的交点坐标为，
【解析】利用配方法将该二次函数解析式化简成顶点式，可得到顶点坐标，对称轴等，根据可得出抛物线开口方向；
令，解得x的值，即可得出与x轴的交点坐标．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下；的值越大，开口越小，反之，则越大；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于
20.【答案】解：依题意，由，和，可知，
对称轴为直线
当时，y有最大值
即顶点坐标为
设抛物线的解析式为
由题知函数图象过原点，
把，代入，得，
解得
抛物线的解析式为
依题意，将代入，
得
，
野兔能成功越过木桩．
【解析】依题意，结合“野兔一次跳跃的最远水平距离为，最大竖直高度为，以其起跳点为原点，建立平面直角坐标系，”得出，以及，，得出对称轴为直线，结合最大竖直高度为，得顶点坐标为，再设，代入化简计算，即可作答；
依题意，代入，因为，则比较得出答案，即可作答．
本题考查了二次函数的图象性质以及应用，求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
21.【答案】解：当每件商品售价为140元时，比每件商品售价130元高出10元，
即元，
则每天可销售商品60件，即件，
商场可获日盈利为元
答：每天可销售60件商品，商场获得的日盈利是1200元；
设商场日盈利达到1500元时，每件商品售价为x元，
则每件商品比130元高出元，每件可盈利元，
每日销售商品为件，
依题意得方程，
整理，得，
解得：，
答：每件商品售价为150元或170元时，商场日盈利达到1500元；
设每件商品售价为x元，则每日销售商品为件，
则商场的日盈利
，
当时，w取得最大值，最大值为1600，
答：当每件商品的销售价定为160元时，能使商场的日盈利最多，1600元．
【解析】首先求出每天可销售商品数量，然后可求出日盈利；
设商场日盈利达到1500元时，每件商品售价为x元，根据每件商品的盈利销售的件数=商场的日盈利，列方程求解即可；
设每件商品售价为x元，则每日销售商品为件，根据“总利润=单件利润销售量”得出函数关系式，再配方即可得其最值情况．
本题考查了二次函数的应用，一元二次方程解实际问题的运用，解答时灵活运用销售问题的数量关系是解答的关键．
22.【答案】，12 ；
是等边三角形，
，，
当时，
，
，，
，
，
当时，
，
，
，
答：6秒或秒时，是直角三角形；
作于D，
，
，
，
在中，由勾股定理，得
，
，
解得；，，
时，，故舍去
答：经过2秒的面积等于
【解析】【分析】
本题考查了动点问题，等边三角形的性质的运用，的直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，解答时根据三角形的面积公式建立一元二次方程求解是关键．
根据路程=速度时间，求出BQ，AP的值就可以得出结论；
先分别表示出BP，BQ的值，当和分别为直角时，由等边三角形的性质就可以求出结论；
作于D，由勾股定理可以表示出DQ，然后根据面积公式建立方程求出其解即可．
【解答】
解：由题意，得
，
是等边三角形，
，
故答案为：6、
见答案；
见答案．
23.【答案】解：将，代入，得：
，
解得：，
抛物线的解析式为；
抛物线的对称轴为直线，点B是点A关于函数对称轴的对称点，
，
当点P在BC上时，的值最小，
连接BC交抛物线对称轴于点P，则点P为所求点，
令，则，
点C的坐标为，
，
设直线BC的解析式为，
，
解得：，
直线BC的解析式为，
当时，，
点；
如图，
设点，则点，
：：2，
，即，
解得：或舍去，
经检验，是原方程的解，
点
【解析】将，代入求解即可；
点B是点A关于函数对称轴的对称点，连接BC交抛物线对称轴于点P，此时的值最小；
设点，则点，由三角形的面积关系列出方程求解即可．
本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求解析式，点的对称性，图形的面积计算，勾股定理，两点间的距离公式，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键．