广东省佛山市三水区西南中学2024-2025学年九年级上学期第一次调研数学试卷（10月份）

这是一份广东省佛山市三水区西南中学2024-2025学年九年级上学期第一次调研数学试卷（10月份），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列方程是一元二次方程的是( )
A. B.
C. 为常数D.
2.根据表格对应值：判断关于x的方程的一个解x的范围是( )
A. B. C. D. 无法判断
3.矩形具有而菱形不具有的性质是( )
A. 对角线互相平分B. 对角线互相垂直C. 对角线相等D. 是中心对称图形
4.用配方法解方程，配方后所得方程为( )
A. B. C. D.
5.如图，矩形ABCD的对角线，，则AB的长为( )
A.
B. 2 cm
C.
D. 4 cm
6.若顺次连接四边形ABCD四边的中点，得到的图形是一个矩形，则四边形ABCD一定是( )
A. 矩形B. 菱形
C. 对角线相等的四边形D. 对角线互相垂直的四边形
7.已知方程有两个实数根，则k的取值范围是( )
A. B. C. 且D. 且
8.若菱形两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为( )
A. 20B. 16C. 12D. 10
9.某次球赛共有x个队参加，每两个队之间打一场比赛，共打了176场，则根据题意可列出的方程是( )
A. B.
C. D.
10.如图，正方形OABC的边长为3，点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在OA上，且点D的坐标为，点P是OB上的一个动点，则的最小值是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.一元二次方程的根是______.
12.已知一个直角三角的斜边长为12，则其斜边上的中线长为______.
13.方程的两个根分别为，，则的值为______.
14.如图，E为正方形ABCD边BC延长线上一点，且，AE交DC于F，则______.
15.如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠点E在边DC上，折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处．若点D的坐标为，则点E的坐标为____________________.
16.如图，将边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转到正方形AEFG的位置，则图中阴影部分的面积为______.
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题10分
解方程：
；
用因式分解法
18.本小题7分
如图，有一块长为80m，宽为72m的矩形耕地，为方便灌溉，现需在耕地上挖两条宽度相等的水渠，水渠把耕地分成面积均为的4个矩形小块，求水渠的宽度.
19.本小题7分
如图，点D是斜边AB的中点，过点B、C分别作，求证：四边形BECD是菱形.
20.本小题8分
某水果商场经销一种高档水果，原售价每千克50元，连续两次降价后每千克售价为32元，若每次下降的百分率相同．
求每次下降的百分率；
已知每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价元，日销量将减少10千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
21.本小题8分
如图，中，交AC于P，，的平分线分别交MN于E、
当MN与AC的交点P在AC的什么位置时，四边形AECF是矩形，说明理由；
当满足______时，四边形 AECF是正方形.
22.本小题10分
如图，在矩形ABCD中，，，点P从点A出发沿AB以的速度向点终点B运动，同时点Q从点B出发沿BC以的速度向点终点C运动，它们到达终点后停止运动.
几秒后，点P、D的距离是点P、Q的距离的2倍；
几秒后，的面积是
23.本小题10分
综合与实践
【主题】折纸
【素材】一张锐角三角形纸片
【实践操作】
步骤1：如图2沿过点A的直线折叠，使得AB落在AC边上，得折痕AD，展平纸片；
步骤2：再次折叠该三角形纸片，使得点A与点D重合，得折痕EF，再次展平纸片；
步骤3：连接DE、DF，则四边形AFDE是以为一个内角的四边形.
【实践探索】
请你按步骤2、步骤3在图3中，把图补充完整；
判断四边形AFDE的形状，用你所学的数学知识说明；
当，时，则四边形AFDE的面积为______.
24.本小题12分
如图，在平面直角坐标系中，直线AB交两坐标轴于A、B两点，，且OA、OB的长分别是一元二次方程的两根.
求OA，OB的长度；
以线段AB的长为边作正方形如图所示，对角线AC、BD交于点E，的平分线BF交AC于F，求CF的长；
若点M是y轴上任一点，点N是坐标平面内一点，若以A、B、M、N为顶点的四边形是菱形，请直接写出N点的坐标.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、，是三次方程，故此选项不符合题意；
B、，是一元二次方程，故此选项符合题意；
C、、b、c为常数，故此选项不符合题意；
D、该方程是分式方程，故此选项不符合题意；
故选：
直接利用一元二次方程的定义分别分析得出答案．
本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：当时，，
当时，，
所以方程的一个解x的范围是
故选：
利用表中数据得到和时，代数式的值一个小于3，一个大于3，从而可判断当时，代数式的值为
本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．
3.【答案】C
【解析】解：矩形的对角线相等且平分，是中心对称图形；菱形的对角线垂直且平分，是中心对称图形；
所以矩形具有而菱形不具有的为对角线相等，
故选
分别根据矩形和菱形的性质可得出其对角线性质的不同，可得到答案．
本题主要考查矩形和菱形的性质，掌握矩形的对角线相等且平分、菱形的对角线垂直且平分是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：，
，
故选：
先把常数项1移到方程右边，再把方程两边加上，然后根据完全平方公式得到
本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
5.【答案】D
【解析】解：，
，
四边形ABCD是矩形，
，，，
，
是等边三角形，
，
故选：
根据矩形的性质求出，求出是等边三角形，即可求出
本题考查了矩形的性质和等边三角形的性质和判定，能根据矩形的性质求出是解此题的关键．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了矩形的性质和三角形中位线定理，解题的关键是构造三角形利用三角形的中位线定理解答．
首先根据三角形中位线定理知：所得四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若所得四边形是矩形，那么邻边互相垂直，故原四边形的对角线必互相垂直，由此得解．【解答】
解：如图，
四边形EFGH是矩形，且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
根据三角形中位线定理得：，；
四边形EFGH是矩形，即，
，
故选
7.【答案】D
【解析】解：方程有两个实数根，
，
解得：且
故选：
由二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式，找出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：如图，在菱形ABCD中，，
为菱形，
，，
周长
故选
根据菱形的对角线性质求边长后计算周长．
此题考查了菱形的性质：对角线互相垂直且平分；四边相等．属基础题．
9.【答案】D
【解析】解：设有x个队参赛，
即
故选：
设有x个队参赛，根据参加一次球赛的每两队之间都进行一场比赛，共要比赛176场，可列出方程．
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数作为等量关系列方程求解．
10.【答案】A
【解析】解：如图，连接PC，
四边形ABCD是正方形，
，A，C关于OB对称，
，
，
，
，
，
，
的最小值为
故选：
如图，连接PC，利用勾股定理求出CD，证明，可得结论．
本题考查轴对称-最短问题，正方形的性质，坐标与图形性质，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．
11.【答案】，
【解析】解：，
，
，
或，
解得：，
故答案为：，
移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．
本题考查了解一元一次方程，能把一元一次方程转化成一元二次方程是解此题的关键．
12.【答案】6
【解析】解：一个直角三角的斜边长为12，
其斜边上的中线长为，
故答案为：
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以解答本题．
本题考查直角三角形斜边上的中线，解答本题的关键是明确直角三角形斜边上的中线与斜边的关系．
13.【答案】5
【解析】解：根据根与系数的关系得
故答案为：
直接利用根与系数的关系求解．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，
14.【答案】
【解析】解：连接AC，
四边形ABCD是正方形，
，
，
，
，
是正方形ABCD的对角线，
，
，
，
在中，
故答案为：
根据等边对等角的性质可得，然后根据正方形的对角线平分一组对角以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，主要利用了正方形的对角线平分一组对角，等边对等角，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：四边形AOCD为矩形，D的坐标为，
，，
矩形沿AE折叠，使D落在OC上的点F处，
，，
在中，，
，
设，则，
在中，，
即，
解得，
即EC的长为3，
点E的坐标为
故答案为
根据折叠的性质得到，所以在直角中，利用勾股定理求出，然后设，则，，根据勾股定理列方程求出EC即可得点E的坐标．
本题考查翻折变换，矩形的性质以及勾股定理．
16.【答案】
【解析】解：作于H，如图，
四边形ABCD为正方形，
，，
正方形ABCD绕点A逆时针旋转到正方形AEFG的位置，
，，，
，
为等边三角形，
，，
，
为等腰三角形，
，
在中，，
故答案为：
作于H，如图，利用正方形的性质得，，则根据旋转的性质得，，，再证明为等腰三角形得到，，接着证明为等边三角形得到，则利用含30度的直角三角形三边的关系计算出MH，然后利用三角形面积公式计算即可．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．
17.【答案】解：，，，
，
则，即，；
，
，
则，
或，
解得，
【解析】利用公式法求解即可；
先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
18.【答案】解：设水渠的宽度为x m，
，
舍去，，
，
答：水渠的宽度为
【解析】根据耕地总面积列出方程求解即可．
此题主要考查一元二次方程的应用，正确找到等量关系列出方程是解题关键．
19.【答案】证明：，，
四边形BECD是平行四边形，
点D是斜边AB的中点，
，
四边形BECD是菱形．
【解析】根据平行四边形的判定定理和菱形的判定定理即可得到结论．
本题考查了菱形的判断，平行四边形的判断，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．
20.【答案】解：设每次下降的百分率为x，
依题意得：，
解得：，不符合题意，舍去
答：每次下降的百分率为
设每千克应涨价y元，则每千克盈利元，每天可售出元，
依题意得：，
整理得：，
解得：，
又要尽快减少库存，
答：每千克应涨价5元．
【解析】设每次下降的百分率为x，利用经过两次降价后的价格=原价每次下降的百分率，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
设每千克应涨价y元，则每千克盈利元，每天可售出元，利用该商场每天销售该种水果获得的利润=每千克的销售利润每天的销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可得出y值，再结合要尽快减少库存，即可得出每千克应涨价5元．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21.【答案】
【解析】解：平分，
，
，
同理：
，
当P是AC中点时四边形AECF是矩形，
，，
四边形AECF是平行四边形．
，
，四边形AECF是矩形．
当时，四边形AECF是正方形；
理由：，，
四边形AECF是平行四边形．
，
，四边形AECF是矩形，
，，
，
，
四边形AECF是正方形，
故答案为：
根据矩形的性质可知当P是AC中点时四边形AECF是矩形．
根据矩形的性质可知当P是AC中点时四边形AECF是矩形，当时四边形AECF是正方形．
本题考查了正方形的判定，平行四边形的判定，矩形的判定，证明四边形AECF是平行四边形是本题的关键．
22.【答案】解：设t秒后点P、D的距离是点P、Q距离的2倍，
，
四边形ABCD是矩形，
，
，，
，
，
解得：，；
时，
，
答：3秒后，点P、D的距离是点P、Q的距离的2倍；
设x秒后的面积是，
则，
整理得
解得，符合题意，
则4秒后，的面积是
【解析】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
设t秒后点P、D的距离是点P、Q距离的2倍，根据勾股定理和可得方程，再解即可；
设x秒后的面积是，利用矩形面积的面积=周围三个三角形面积和列方程即可．
23.【答案】
【解析】解：图形如图所示，AD，EF为折痕．
结论四边形AEDF是菱形．
理由：设AD，EF交于点
由翻折变换的性质可知，，，AD平分，
，，
，，
，
，
，
四边形AEDF是菱形；
如图4中，
，AD平分，
，，
，
，
，，
，
，
，，
，，
故答案为：
根据要求画出图形即可；
四边形AEDF是菱形，根据四边相等的四边形是菱形证明即可；
证明四边形AEDF的面积等于的面积一半即可．
本题属于四边形综合题，考查了菱形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
24.【答案】解：直线AB交两坐标轴于A、B两点，，且OA、OB的长分别是一元二次方程的两根，得：
，，
，；
如图2，过F作于H，
是的平分线，
，
又四边形ABCD为正方形，
，
在直角三角形AOB中，由勾股定理得，
，
设，则，
在直角三角形CFH中，由勾股定理得：，即，
解得，舍去，
故CF的长为；
点的坐标为或或或；理由如下：
如图3，四边形ANMB为菱形，
点N的坐标为；
如图4，四边形AMNB为菱形，
则，
点N的坐标为；
如图5，四边形AMBN为菱形，
设，则，，
由勾股定理得，，即，
解得，，
点N的坐标为；
如图6，四边形ABNM为菱形，
，
点N的坐标为，
综上，以A、B、M、N为顶点的四边形是菱形；N点的坐标为或或或
【解析】解一元二次方程求出OA、OB的长；
过F作于H，根据角平分线的性质和正方形的性质得到，设，利用勾股定理列出关于x的方程，解方程求出x即可；
分四边形ANMB为菱形，四边形AMNB为菱形，四边形AMBN为菱形，四边形ABNM为菱形四种情况，根据菱形的性质解答即可．
本题考查的是正方形的性质、菱形的判定和性质、角平分线的性质以及锐角三角函数的定义，正确运用定理和性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键．x