2025届辽宁省点石联考高三(上)11月期中数学试卷（解析版）

这是一份2025届辽宁省点石联考高三(上)11月期中数学试卷（解析版），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知集合，，则（ ）
A. B. 2,3
C. D.
【答案】C
【解析】，故.
故选：C
2. 已知命题，命题，则（ ）
A. 命题和命题都是真命题
B. 命题的否定和命题都是真命题
C. 命题的否定和命题都是真命题
D. 命题的否定和命题的否定都是真命题
【答案】D
【解析】对于命题，当或时，，故命题是假命题，命题否定为真命题；
对于命题，因为，所以命题为假命题，命题的否定为真命题；
综上可得：命题的否定和命题的否定都是真命题，
故选：D
3. 函数图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】定义域为，，
故该函数为偶函数，故可排除B、D，
当时，有，故可排除A.
故选：C.
4. 已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】D
【解析】由，得或，则A错误．
由，得或相交，则B错误．
由，得或，则C错误．
由，得，则D正确．
故选：D
5. 已知向量，，且，则向量与的夹角等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由，，得，
由，得，解得，则，
则，，，
因此，而，
所以.
故选：D
6. 中国古代数学名著《九章算术》中有如下问题.今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文如下：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还的粟(单位：升)为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】5斗＝50升.设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为a1，a2，a3，
由题意可知a1，a2，a3构成公比为2的等比数列，且S3＝50，则＝50，
解得a1＝，所以马主人应偿还粟的量为a2＝2a1＝，
故选：D.
7. 已知正数满足，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由，得，
令函数，显然函数在上单调递增，
而，，则；
令函数，函数在上单调递增，，
而， ，则；
令，函数在上单调递增，而，
，，则，
所以的大小关系为.
故选：D
8. 已知函数为偶函数，且的图象关于点对称，当时，，则（ ）
A. 2024B. 2C. 1D. 0
【答案】D
【解析】因为函数为偶函数，所以的图象关于直线对称，
所以，即，
又因为函数的图象关于点对称，
所以，进而可得：
又，所以，即，
所以函数的周期为4，
所以.
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若是的充分不必要条件，则实数的值可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】依题意是的真子集，则可以是，或.
当时，易得；当时，可得；
当时，可得.
故选：BCD.
10. 已知函数，有下列四个结论，其中正确的结论为（ ）
A. 的图像关于轴对称
B. 不是的一个周期
C. 在区间上单调递减
D. 当时，的值域为
【答案】ABD
【解析】，fx定义域是全体实数关于原点对称，是偶函数，图象关于轴对称，A正确；
，
，
所以不是的一个周期，B正确；
，
，，C错；
时，，
又，则，时，
，
又，所以，
综上，时，，D正确．
故选：ABD．
11. 已知函数，则（）
A. 在上单调递增B. 是函数的极大值点
C. 既无最大值，也无最小值D. 当时，有三个零点
【答案】BD
【解析】由题意得，
所以，
对于A，当时，，
所以在上单调递减，故A错误;
对于B，当时，，当时，，当时，,
所以在单调递增，在单调递减，在单调递增，
所以x=1是函数的极大值点，故B正确;
对于C，当时，，当时，
又,
的大致图象如图所示，
的值域为,
所以有最小值，无最大值，故C错误;
对于D，当时，在上单调递增,
因为,
所以,
所以在上有一个零点;
当x<2时，在上单调递增，在上单调递减,
又，当时，.
结合的大致图象（如上图），
在有一个零点，在上有一个零点，
综上，当时，有三个零点，故D正确.
故选：BD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知数列其前项和为，则______.
【答案】5000
【解析】由题意
.
故答案：5000.
13. 如图，正方体中，是的中点，是侧面上的动点，且//平面，则与平面所成角的正切值的最大值是_________.

【答案】
【解析】设分别为边上的中点,

则四点共面，
且平面平面，
又面，
落在线段上，
是与平面所成的角，
，
设的中点为,
则当与重合时最小，
此时与平面所成角的正切值有最大值为，
故答案为.
14. 已知曲线与有公共切线，则实数的最大值为______．
【答案】
【解析】设曲线与的切点分别为，，
因为，，则两切线斜率，，
所以，，
所以，所以，
即，
令，则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，即，
即，
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
（1）求角C的大小
（2）若，的面积为，求的周长．
解：（1）由正弦定理可得：,
, , ,
, .
（2）由三角形面积可知：,
，
由余弦定理可知：
,
解得：，
所以三角形的周长为：.
16. 某运输公司今年初用49万元购进一台大型运输车用于运输.若该公司预计从第1年到第年花在该台运输车上的维护费用总计为万元，该车每年运输收入为25万元.
（1）该车运输几年开始盈利？（即总收入减去成本及所有费用之差为正值）
（2）若该车运输若干年后，处理方案有两种：
①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出；
②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出.
哪一种方案较为合算？请说明理由.
解：（1）由题意可得，即，
解得，，
该车运输3年开始盈利.；
（2）该车运输若干年后，处理方案有两种：
①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出，
，
当且仅当时，取等号，
方案①最后的利润为：（万；
②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出，
，
时，利润最大，
方案②的利润为（万，
两个方案的利润都是59万，按照时间成本来看，第一个方案更好，因为用时更短，
方案①较为合算.
17. 已知向量，，函数.
（1）若，求；
（2）当时，求函数的值域.
（3）若将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度，可得到的图象，求的解集.
解：（1）因为，，，则，
显然，所以，
则；
（2），，
当时，，
，
所以函数的值域为；
（3）由（2）知，
结合题意，得，
，即，
即，所以，，
即的解集为，.
18. 如图，三棱柱中，侧面底面ABC，且，．

（1）证明：平面ABC；
（2）若，，求平面与平面夹角的余弦值．
（1）证明：取BC的中点M，连结MA、．

因为，，所以，，
由于AM，平面，且，
因此平面，
因为平面，所以，
又因为，所以，
因为平面平面ABC，平面平面，且平面，所以平面ABC，
因为，所以平面ABC.
（2）解：法一：因为，且，所以．
以AB，AC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，．
所以，，．
设平面的法向量为m=x1,y1,z1，则，可得，
令，则，
设平面的法向量为n=x2,y2,z2，则，可得，
令，则，
设平面与平面夹角为，则，
所以平面与平面夹角余弦值为.
法二：将直三棱柱补成长方体．
连接，过点C作，垂足为P，再过P作，垂足为Q，连接CQ，

因为平面，且平面，
所以，
又因为，由于BD，平面，且，
所以平面，则为直角三角形，
由于平面，所以，
因为，平面CPQ，且，所以平面CPQ，
因为平面CPQ，所以，
则∠CQP为平面与平面的夹角或补角，
在中，由等面积法可得,
因为，所以，
因此平面与平面夹角的余弦值为.
19. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围；
（3）若对任意恒成立，求的取值范围.
解：（1）的定义域为，
当时，时，时，；
当时，时，；
当时，时，；时；
当时，时；时；
综上，时，的递减区间是，递增区间是；
时，的递增区间是，无递减区间；
时，的递增区间是和，递减区间是；
时，的递增区间是和，递减区间是.
（2）令得，
设，则，
当时，在上递减；当时，在上递增，
则.
又因时，时，作出函数的图象，
由图可得，要使直线与函数的图象有两个交点，须使，
即，故的取值范围是.
（3）由得，
因，即得，（*），
易得时，不等式成立，
设，，
则，
当时，，函数在上单调递增，故，（*）恒成立；
当时，设，
则方程有两根，，可得
当时，，则，在上单调递减；
又，所以当时，，不满足条件，
综上，的取值范围是.