2025届天津市五区县重点校联考高三(上)11月期中联考数学试卷（解析版）

这是一份2025届天津市五区县重点校联考高三(上)11月期中联考数学试卷（解析版），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第Ⅰ卷（共45分）
一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分）
1. 已知集合，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，，则，
且，所以.
故选：C.
2. 对于任意实数，，“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当时，满足成立，但不满足成立，
所以“”是“”的不充分条件，
因为，所以，又，所以，
所以“”是“”的必要条件,
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
3. 下列四个函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】对于A，由，，
所以为偶函数，
又，又，所以，
所以在上为增函数，故A正确；
对于B，，所以，
所以为奇函数，故B错误；
对于C，，，
所以为奇函数，故C错误；
对于D，，，
所以为偶函数，又，所以，
所以在上为减函数，，故D错误.
故选：A.
4. 已知函数，则曲线在点处切线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，所以，
所以，
所以曲线在点处切线的斜率为.
故选：B.
5. 设，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】，，
又，所以，所以，
所以.
故选：B.
6. 已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是( ).
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意知，当时函数单调递增，所以，
当时，为单调递增函数，所以，
又因为，，使得，
即在的最大值不小于在上的最大值，
即，解得，即.
故选：A.
7. 已知函数在有且仅有2个极小值点，且在上单调递增，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】对于函数，极小值点为.
，令，.
因为有且仅有个极小值点.
当时，；当时，；当时，.
所以，解不等式得.
因为的单调递增区间为.
对于，令，则.
因为在上单调递增，所以.
当时，，则且.
解不等式得.
综合以上两个条件，的取值范围是.
故选：D.
8. 在中，，是边中点，线段长为，，是边上一点，是的角平分线，则的长为（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】B
【解析】边中点，则，
所以，
即，解得，
，
是的平分线，则，，
，
在中，，
故选：B．
9. 某牧场今年年初牛的存栏数为1100头，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出100头牛.若该牧场从今年起每年年初的计划存栏数构成数列，，则大约为（ ）（参考数据：，，，）
A. 1240B. 1260C. 1280D. 1290
【答案】B
【解析】依题意，当时，，
则，
于是数列是首项为，公比为1.1的等比数列，
则，即，
所以.
故选：B．
第Ⅱ卷（共105分）
二、填空题（本题共6小题，每题5分，共30分）
10. 已知为虚数单位，则______________.
【答案】
【解析】，
故答案为：．
11. 设，那么______________.
【答案】
【解析】因为
由换底公式可得，
∴，即，
∴.
12. 已知向量，满足，，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为，则________.
【答案】
【解析】由得，
因为向量在向量方向上的投影向量的坐标为，
所以，即，所以，
所以.
13. 已知，，则的最小值为________.
【答案】
【解析】∵，∴．
由可得，
∴
，
当且仅当且，
即时取等号，
则的最小值为.
14. 在中，，，点为的中点，点为的中点，若设，，则可用，表示为________；若，则的最大值为________.
【答案】
【解析】(1)因为点D为AB的中点，所以.
又因为，根据向量加法，可得.
因为点E为CD的中点，所以，即.
再根据向量加法，可得.
（2）因为，，所以.
.
，
在中，，根据向量数量积公式，
可得.由，
根据余弦定理，
即.
根据基本不等式，可得，即.
将代入的表达式：
因为，取得最大值，最大值为.
15. 已知函数.若，则函数y=fx的零点为________；若函数y=fx的最小值为，则实数的值为________.
【答案】1 或2
【解析】空1，当时，，
当时，由，得，解得，
当时，由，得，，无解，
所以函数y=fx的零点为；
空2，①若，即时，则，
所以在上单调递减，最小值为；
在上的最小值为．
因为函数最小值为，所以．
②当，即时，则，
所以在上先减后增，最小值为；
在上的最小值为．
因为函数最小值为，所以，
解得，不合题意，舍去．
，
③当，即时，则，
所以在上先减后增，最小值为；
在上的最小值为．
因为函数最小值为，所以，
解得或（舍去）．
综上可得或.
三、解答题（本题共5小题，共75分）
16. 在中，角，，所对的边分别是，，，已知.
（1）求角的大小；
（2）设，
（i）求的值；
（ii）求的值.
解：（1）因为，
由正弦定理可得：，
则，
因为在中，，
所以，
则有，
因为，所以，，
故；
（2）（i）由（1）知：，在中，因为，，
由余弦定理可得：，
则.
（ii）在中，由正弦定理可得：，
即，所以，
因为，所以，则为锐角，所以，
则，
，
所以
17. 设函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的单调递增区间及对称轴；
（3）在锐角中，内角，，对边分别是，，，且，求的取值范围.
解：（1）
所以函数的最小正周期为；
（2）令，得，，
所以函数的单调递增区间是.
令，，得，，
所以函数的对称轴为，.
（3）锐角中，，，解得，
所以，
所以，
所以的取值范围是.
18. 已知等比数列的公比，，是，的等差中项.等差数列满足，.
（1）求数列，的通项公式；
（2），求数列的前项和；
（3）将数列与数列的所有项按照从小到大的顺序排列成一个新的数列，求此新数列的前项和.
解：（1）依题有，
因为，解得：，，.
数列是等差数列，设其公差为，，解得：，.
（2）数列的前项和记为，则，
因为，
所以，，
两式相减有
，
所以.
（3）因为，，设新数列为，因为数列与数列都是递增数列，
且，，
又因为，
所以数列的前项由中的前项和中的前项构成，
所以

.
19. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，求函数的最小值，并证明；
（3）当时，若关于的不等式在区间0,+∞上有解，求的取值范围.
解：（1）的定义域为0,+∞，，
①当时，f'x<0恒成立，∴fx在0,+∞上单调递减.
②当时，当时，f'x>0，当时，f'x<0，
∴fx在上单调递减，在上单调递增.
综上可得：当时，在0,+∞上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）当时，，
由（1）可知在上单调递减，在上单调递增，
故，
所以当时，函数的最小值为，
因为，即，
当时，，即，
即，
令，则，
所以，
故当时，.
即
（3）关于的不等式在区间0,+∞上有解，
即在0,+∞上有解，
即在0,+∞上有解，
又，由（1）可知时，即，
令，则，
则在上有解，
令，则，
令，得，
所以，当时，，当时，，
即在上单调递减，在0,+∞上单调递增，
又h1=0，，，
所以存在使得，
所以，当或时，，当时，，
所以只需，即时满足题意.
所以的取值范围为0,1
20. 给定数列，若对任意，且，是中的项，则称为“数列”；若对任意，且，是中的项，则称为“数列”.
（1）设数列的前项和为，若，试判断数列是否为“数列”，并说明理由；
（2）设数列既是等比数列又是“数列”，且，，求公比的所有可能值；
（3）设等差数列的前项和为，对任意，是数列中的项，求证：数列是“数列”.
解：（1）因为，
当时，，
当时，也成立，
所以，
所以对任意，且，，
是“数列”
（2）因为，，数列是等比数列
所以，且，
由已知得也为数列中的项，
令，得，
即，
即得，
所以，
因为且
故的所有可能值为，，.
（3）设数列的公差为，所以存在，对任意，，
即，
当时，则，故，此时数列为“数列”；
当时，，
取，则，所以，，
当时，均为正整数，符合题意，
当时，均为正整数，符合题意，
所以，，设，，，即，
所以任意，且，，
显然，所以为数列中的项，
所以是“数列”.