精品解析：广东省湛江市雷州市第八中学2023-2024学年九年级下学期月考数学试题

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1. 下列各数中，最小的数是（ ）
A.
B. C. 0D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了有理数大小的比较；根据正数大于零，零大于负数，两个负数，绝对值大的反而小，即可完成．
【详解】解：∵，而，
∴，
∴，
故最小的数是；
故选：A．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了合并同类项，合并同类项时，只对同类项的系数进行加减计算，字母和字母的指数保持不变，据此求解即可．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；
故选：D．
3. 如图是由个相同的小立方块搭成的几何体，那么这个几何体的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【详解】解：从左边看第一层三个小正方形，第二层中间一个小正方形．
故选：A．
4. 我国北斗公司的北斗定位芯片问世，该芯片的制造工艺达到了0.000000012米．用科学记数法表示0.000000012米为（ ）米．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据“科学计数法表示较小的数，一般形式为，，n为整数，n由原数左边起第一个不为0的数字前面的0的个数所决定”，进行求解即可．
【详解】解：，
故选：B．
5. 如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形对角互补，根据圆内接四边形对角互补，即可求解．
【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ，
∴，
故选：C．
6. 若代数式 有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A. B. C. D. 且
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了分式及二次根式有意义的条件；根据二次根式中被开方数非负、分母不为零即可确定实数x的取值范围；
【详解】解：由题意得：，
∴，
故选：C．
7. 如图，在△ABC中，AB=5，BC=6，AC=7，点D，E，F分别是△ABC三边的中点，则△DEF的周长为（ ）
A. 12B. 11C. 10D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角形中位线定理分别求出DE、EF、DF，计算即可．
【详解】∵点D，E分别AB、BC的中点，
∴DE=AC=3.5，
同理，DF=BC=3，EF=AB=2.5，
∴△DEF的周长=DE+EF+DF=9，
故选D．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，熟练掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
8. 如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（ ）
A. 12米B. 13米C. 14米D. 15米
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用；由题意知，梯子的长度、梯子底端离建筑物的长度、梯子达到建筑物的高度正好构成一个直角三角形，由勾股定理即可解决．
【详解】解：13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（米）
故选：A．
9. 已知函数的图象如图所示，则函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】题主要考查了一次函数图象与系数之间的关系，先根据函数的图象得到，，是解决问题的关键．
【详解】解：∵函数的图象经过第一、二、三象限，
∴，，则，
∴函数的图象经过经过第一、二、四象限，
∴只有选项C符合题意，故C正确．
故选：C．
10. 如图是二次函数图象的一部分，此图象经过点（2，0），对称轴是，有下列结论：① ② ③；④若点（和（0，n）是抛物线上两点，则．其中正确的结论有（ ）个
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数过点(2,0)以及其对称轴为x=-1，可得二次函数还经过点(-4,0)，将(2,0)、(-4,0)代入即可得到b=2a，c=-8a，根据图象开口朝下可得a＜0，据此即可判断．
【详解】∵点(2,0)以及其对称轴为x=-1，
∴二次函数还经过点(-4,0)，
将(2,0)、(-4,0)代入，
可得，
解得，
∵二次函数图象开口朝下，
∴a＜0，
∴，故①正确，
∴，故②错误，
∴，故③正确，
∵(-2,m)和(0,n)在抛物线上，
∴代入坐标(-2,m)和(0,n)，
得，，
∴，故④正确，
即正确的结论有3个，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，根据(2,0)以及对称轴为x=-1求出二次函数还经过点(-4,0)是解答本题的关键．
二．填空题（共7小题， 共21分）
11. 当_____时，分式的值为．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查分式的值为零，掌握分式值为零指的是分子为零，分母不能为零是解题的关键，根据分式的值为零指的是分子为零，分母不为零即可求解．
【详解】解：根据题意，得，且，
解得，
故答案为：．
12. 因式分解： _______________
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式4，再利用平方差公式分解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
13. 如图，已知A，B的坐标分别为，将向右平移，使B平移到点E，得到，若，则点C的坐标为 __________．

【答案】
【解析】
【分析】由平移的性质可得，根据线段的和差关系得到，由此即可得到答案．
【详解】解：由平移的性质可得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴点C的横坐标为，
∵，
∴点C的纵坐标为2，
∴，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，图形得到平移，熟知平移的性质是解题的关键．
14. 某校为了解九年级男生中考体育项目的训练情况，决定让每名九年级男生通过抽签的方式从掷实心球、足球、1000米跑、1分钟跳绳四个项目中随机选择一项进行测试，则甲、乙两名男生抽到同一个项目的概率为__________．
【答案】
【解析】
【分析】设掷实心球、足球、1000米跑、1分钟跳绳四个项目分别用A，B，C，D表示，根据题意，列出表格，可得一共有16种等可能结果，其中甲、乙两名男生抽到同一个项目的有4种，再由概率公式计算，即可求解．
【详解】解：设掷实心球、足球、1000米跑、1分钟跳绳四个项目分别用A，B，C，D表示，根据题意，列出表格如下：
一共有16种等可能结果，其中甲、乙两名男生抽到同一个项目的有4种，
∴甲、乙两名男生抽到同一个项目的概率为．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率，明确题意，准确画出树状图或列出表格是解题的关键．
15. 一元一次不等式组 解集为_____________
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组；分别求出每个不等式的解集，再求出两个解集的公共部分即可．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：；
故答案为：．
16. 如图，菱形OABC的面积为20，点A的坐标为，若反比例函数的图象过对角线的交点D，则________．
【答案】8
【解析】
【分析】作CE⊥x轴于E，DF⊥x轴于F，由平行线分线段成比例，得到，求出CE，可得DF，设，证明∽，得到，得到方程，解之可得点D坐标，可得k值．
【详解】解：作CE⊥x轴于E，DF⊥x轴于F，
则DF∥CE，
∴，
∵S菱形OABC=20，，
∴，
∴，
∵四边形OABC为菱形，
∴，，
∴，
∴，，
设，则，，，
∵．，
∴，
∵，
∴∽，
∴，
∴，
即，解得，（舍），
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，菱形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
17. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=2，点D为线段AB的中点，将线段BC绕点B顺时针旋转90°，得到线段BE，连接DE，则DE最大值是______．\

【答案】
【解析】
【分析】将线段BD绕点B顺时针旋转90°，得到线段BP，连接PE，PD，证明△CBD≌△EBP，可得PE=DB=1，DP=，根据PD+PE≥DE，即可得出DE的最大值．
【详解】如图，将线段BD绕点B顺时针旋转90°，得到线段BP，连接PE， PD，

则DB=PB，∠DBP=90°，
∵将线段BC绕点B顺时针旋转90°，得到线段BE，
∴BC=BE，∠CBE=90°，
∴∠CBD=∠EBP，
∴△CBD≌△EBP（SAS），
∴PE=CD，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=2，点D为线段AB的中点，
∴DB=CD=AB=1，
∴PE=1，PB=1，
∴DP=，
∵PD+PE≥DE，
∴DE≤+1，
∴DE最大值为+1，
故答案为+1．
【点睛】本题考查图形的旋转，解题的关键是掌握图形旋转的性质．
三．解答题（一）（共6小题，共45分）
18. 计算：
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用二次根式的性质，负整数指数幂，零指数幂，特殊锐角三角函数值计算即可．
【详解】解：原式
．
19. 先化简，再求值：其中
【答案】，
【解析】
【分析】利用分式的相应的运算法则进行化简，再代入相应的值运算即可．
【详解】解：原式
=
将代入得原式．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
20. 某学校八年级举行数学解题大赛，为表彰获胜的选手，学校准备在商店购买A、B两种文具作为奖品．已知A文具的单价比B文具少8元，且用320元购买A文具的数量与用 480元购买B文具的数量相同．
（1）求A、B两种文具的单价；
（2）若学校需要购买A、B两种文具共60件，且购买这两种文具的总费用不超过1200元，则学校至少购买A种文具多少件？
【答案】（1）A种文具的单价为16元，则B种文具的单价为24元；（2）学校至少购买A种文具30件．
【解析】
【分析】（1）设A种文具的单价为元，则B种文具的单价为元，由320元购买A文具的数量与用 480元购买B文具的数量相同，列分式方程，解分式方程，验根即可解题；
（2）设学校购买A种文具件，则购买B种文具件，由总费用不超过1200元，列一元一次不等式，解一元一次不等式即可解题．
【详解】解：（1）设A种文具的单价为元，则B种文具的单价为元，由题意列方程，得
解方程，得
经检验，是分式方程的解，
答：A种文具的单价为16元，则B种文具的单价为24元．
（2）设学校购买A种文具件，则购买B种文具件，根据题意，得
解得，
答：学校至少购买A种文具30件．
【点睛】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
21. 某公司计划招聘一名大学毕业生做科研助理，组织了一场面试，甲、乙两个大学生的成绩如下表（单位：分）：
（1）乙的四项得分的众数为______分，中位数为______分．
（2）若将仪表形象、语言表达、专业知识、实验水平四项得分按的比例确定最终录用人选，通过计算说明若只看最终成绩，该公司会录用哪个大学生．
（3）请你判断（2）中分配比例是否合理．若合理，请说明理由；若不合理，请给出一个你认为合理的比例，并给出理由．
【答案】（1）86，87
（2）甲 （3）不合理，我认为合理比例为：，理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了计算加权平均数，众数，中位数，解题的关键是掌握加权平均数的计算方法．
（1）根据众数，中位数的定义求解即可；
（2）根据“仪表形象、语言表达、专业知识、实验水平四项得分按的比例确定两人的最终成绩”，计算出两人的成绩，再进行比较即可；
（3）根据题意进行分析，科研助理更加注重专业知识、实验水平，仪表形象、语言表达占比应减小．
【小问1详解】
解：乙的四项得分从小到大依次排序为：86，86，88，92，
故乙的四项得分的众数为86分，中位数为分，
故答案为：86，87；
【小问2详解】
（分），
（分），
∵，
∴该公司会录用甲；
【小问3详解】
不合理，理由：
科研助理更加注重专业知识、实验水平，仪表形象、语言表达占比应减小．
我认为合理的比例为：，这样专业知识、实验水平的比例更重．
22. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求该抛物线解析式；
（2）若点是抛物线对称轴与直线的交点，点是抛物线的顶点，求的长．
【答案】（1）该抛物线的解析式为
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，利用待定系数法求抛物线表达式，将，代入得，解二元一次方程组即可得到答案；
（2）将（1）中抛物线化为顶点式，得到抛物线的顶点的坐标为，抛物线的对称轴为直线，利用待定系数法求出直线的解析式，进而得到点的坐标为，根据点的坐标特征即可求出的长．
【小问1详解】
解：将，代入，得
，解得，
∴该抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：∵抛物线的解析式为，
∴抛物线的顶点的坐标为，抛物线的对称轴为直线，
当时，，
∴点的坐标为，
设直线的解析式为（），将，代入，得，解得，
∴直线的解析式为，
抛物线的对称轴与直线的交点为，
当时，，即点的坐标为，
∴．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数综合，涉及待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次函数解析式、一般式化为顶点式、求抛物线与坐标轴交点等知识，数形结合求出抛物线及直线的解析式是解决问题的关键．
23. 如图，一次函数与反比例函数的图象于点，B为y轴正半轴一点，连接．

（1）求反比例函数的表达式．
（2）尺规作图：作线段的中点C．（保留作图痕迹，不写做法）
（3）连接并延长至点D，使，连接．求证：．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，尺规作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握用待定系数法求解反比例函数解析式的方法和步骤，用尺规作图的方法．
（1）根据点在正比的函数的图象上，求出点A的坐标为，再用待定系数法求即可求解反比例函数解析式；
（2）分别以点和点为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于点P和点Q，连接，交于点，点即为所求；
（3）结合题意，可知，，，再利用证明即可证明结论．
【小问1详解】
解：∵点在正比的函数的图象上，
∴，
∴点A的坐标为，
∵点A在反比例函数的图象上．
∴反比列函数的解析式为；
【小问2详解】
如图，即为所求；
【小问3详解】
证明：∵点为的中点，
∴，
又∵，，
∴，
∴．
四．解答题（ 二） （本大题共2 小题，每小题12分，共24分）
24. 如图，是的直径，C、D是上两点，且D为弧中点，过点D的直线交的延长线于点E，交的延长线于点F，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为2，求阴影部分的面积；
（3）若，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）连接OD，证明即可得到，即可得到DE是⊙O的切线；
（2）先求出∠DOB=60°，解直角△ODF求出DF的长，然后根据进行求解即可；
（3）先证明∠DOF=∠EAF，解直角△DOF得到，则，即可求出AF=OA+OF=8，证明△AEF∽△ODF得到，则．
【小问1详解】
证明：如图，连接OD，
∵D为弧中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴DE是⊙O的切线；
【小问2详解】
解：∵EF是切线，
∴∠ODF=90°，
∵∠OAD=∠ODA=30°，
∴∠DOB=∠OAD+∠ODA=60°，
∴，
∴

【小问3详解】
解：∵，
∴∠DOF=∠EAF，
∵∠ODF=90°
∴，
∴，
∴，
∴AF=OA+OF=8，
∵，
∴△AEF∽△ODF
∴，
∴
【点睛】本题主要考查了圆切线的性质与判定，扇形面积，三角形面积，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，平行线的性质与判定，等腰对等角，三角形外角的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
25. 如图，在中，，，．动点从点出发，以的速度沿边向终点匀速运动．以为一边作，另一边与折线相交于点，以为边作菱形，点在线段上．设点的运动时间为，菱形与重叠部分图形的面积为．
（1）当点在边上时，的长为 ；（用含的代数式表示）
（2）当点落在边上时，求的值；
（3）求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围．
【答案】（1）2x （2）1
（3）
【解析】
【分析】（1）先证明∠A=∠AQP=30°，即AP=PQ，根据题意有AP=2x，即PQ=2x；
（2）当M点在BC上，Q点在AC上，在（1）中已求得AP=PQ=2x，再证明△MNB是等边三角形，即有BN=MN，根据AB=6x=6cm，即有x=1（s）；
（3）分类讨论：当时，此时菱形PQMN在△ABC的内部，此时菱形PQMN与△ABC重叠的面积即是菱形PQMN的面积，过Q点作QG⊥AB于G点，求出菱形的面积即可；当x＞1，且Q点在线段AC上时，过Q点作QG⊥AB于G点，设QM交BC于F点，MN交BC于E点，过M点作NH⊥EF于H点，先证明△ENB是等边三角形、△MEF是等边三角形，重叠部分是菱形PQMN的面积减去等边△MEF的面积，求出菱形PQMN的面积和等边△MEF的面积即可，此时需要求出当Q点在C点时的临界条件；当时，此时Q点在线段BC上，此时N点始终与B点重合，过Q点作QG⊥AB于G点，重叠部分的面积就是△PBQ的面积，求出等边△PBQ的面积即可．
【小问1详解】
当Q点在AC上时，
∵∠A=30°，∠APQ=120°，
∴∠AQP=30°，
∴∠A=∠AQP，
∴AP=PQ，
∵运动速度为每秒2cm，运动时间为x秒，
∴AP=2x，
∴PQ=2x；
【小问2详解】
当M点在BC上，Q点在AC上，如图，
在（1）中已求得AP=PQ=2x，
∵四边形QPMN是菱形，
∴PQ=PN=MN=2x，，
∵∠APQ=120°，
∴∠QPB=60°，
∵，
∴∠MNB=∠QPB=60°，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
∴∠B=60°，
∴△MNB是等边三角形，
∴BN=MN，
∴AB=AP+PN+BN=2x×3=6x=6cm，
∴x=1（s）；
【小问3详解】
当P点运动到B点时，用时6÷2=3（s），
即x的取值范围为：，
当M点刚好在BC上时，
在（2）中已求得此时x=1，
分情况讨论，
即当时，此时菱形PQMN在△ABC的内部，
∴此时菱形PQMN与△ABC重叠的面积即是菱形PQMN的面积，
过Q点作QG⊥AB于G点，如图，
∵∠APQ=120°，
∴∠QPN=60°，即菱形PQMN的内角∠QPN=∠QMN=60°，
∴QG=PQ×sin∠QPN=2x×sin60°=，
∴重叠的面积等于菱形PQMN的面积为，即为：；
当x＞1，且Q点在线段AC上时，
过Q点作QG⊥AB于G点，设QM交BC于F点，MN交BC于E点，过M点作NH⊥EF于H点，如图，
∵，
∴∠MNB=∠QPN=60，
∵∠B=60°，
∴△ENB是等边三角形，
同理可证明△MEF是等边三角形
∴BN=NE，∠MEF=60°，ME=EF，
∵AP=PQ=PN=MN=2x，AB=6，
∴BN=6-AN=6-4x，
∴ME=MN-NE=2x-BN=6x-6，
∵MH⊥EF，
∴MH=ME×sin∠MEH=(6x-6)×sin60°=，
∴△MEF的面积为：，
QG=PQ×sin∠QPN=2x×sin60°=，
∵菱形PQMN的面积为，
∴重叠部分的面积为，
当Q点与C点重合时，可知此时N点与B点重合，如图，
∵∠CPB=∠CBA=60°，
∴△PBC是等边三角形，
∴PC=PB，
∵AP=PQ=2x，
∴AP=PB=2x，
∴AB=AP+PB=4x=6，
则x=，
即此时重合部分的面积为：，；
当时，此时Q点在线段BC上，此时N点始终与B点重合，过Q点作QG⊥AB于G点，如图，
∵AP=2x，
∴PB=AB-AP=6-2x，
∵∠QPB=∠ABC=60°，
∴△PQB是等边三角形，
∴PQ=PB，同时印证菱形PQMN的顶点N始终与B点重合，
∴QG=PQ×sin∠QPN=(6-2x)×sin60°=，
∴，
∴此时重叠部分的面积，
综上所述：．
【点睛】本题考查了一次函数的应用、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，理清运动过程中Q点的位置以及菱形PQMN的位置是解答本题的关键．解答本题需要注意分类讨论的思想．
A
B
C
D
A
A、A
B、A
C、A
D、A
B
A、B
B、B
C、B
D、B
C
A、C
B、C
C、C
D、C
D
A、D
B、D
C、D
D、D
应聘大学生
仪表形象
语言表达
专业知识
实验水平
甲
96
88
80
84
乙
86
92
86
88