2024年河北省邯郸市邱县中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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3．答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，考生务必将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本大题共16个小题，共38分，1~6小题各3分，7~16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. （是有理数）表示的数是（ ）
A. 正数B. 负数C. 正数或负数D. 任意有理数
【答案】D
【解析】
【分析】根据有理数分为正有理数，零和负有理数，计算判断即可．
【详解】∵是有理数，
∴a可以是正有理数，零和负有理数，
∴可以是负有理数，零和正有理数，
∴是有理数，
故选D．
【点睛】本题考查了有理数的分类，相反数的意义，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．
2. 嘉嘉一家去观看杭州亚运会比赛，嘉嘉站在杭州奥体中心大门的南偏西方向处，则（ ）
A. 杭州奥体中心大门在嘉嘉的南偏西方向处
B. 杭州奥体中心大门在嘉嘉的北偏东方向处
C. 杭州奥体中心大门在嘉嘉的北偏东方向处
D. 杭州奥体中心大门在嘉嘉的南偏西方向处
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了位置与方向，确定物体位置的两大要素是：方向与距离；根据嘉嘉与奥体中心的位置关系是相对的，根据位置的相对性可知：它们之间方向相反，角度相同，距离相等，由此求解．
【详解】解：嘉嘉站在杭州奥体中心大门的南偏西方向处，，
杭州奥体中心大门在嘉嘉的北偏东方向处，
故选：B．
3. 若分式运算的结果为x，则在□中添加的运算符号为（ ）
A. +B. -或÷C. -或÷D. +或×
【答案】C
【解析】
【分析】给括号里分别添加“+、﹣、×、÷”计算，即可得出结论．
【详解】；
；
；
．
故选C．
【点睛】本题考查了分式的加减乘除，熟练掌握分式的加减乘除的运算法则是解答的关键．
4. 有8张红心、m张黑桃扑克牌，背面朝上放在桌子上，从中任意摸出一张，若摸到红心的可能性比摸到黑桃的可能性大，则m的值不可能是（ ）
A. 10B. 5C. 3D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了用概率公式求概率，根据摸到红心可能性比摸到黑桃的可能性大，可得，即可求解，熟知概率公式是解题的关键．
【详解】解：摸到红心的可能性比摸到黑桃的可能性大，
，
故不可能为10，
故选：A．
5. 四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形的形状改变而变化．当是直角三角形时，对角线的长为（ ）
A. 5B. C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了三角形三边关系以及构成直角三角形的条件，利用三角形三边关系求得，再利用勾股定理即可求解．
【详解】解：在中，，，
∴，即，
当为直角三角形时，有两种情况：
若为最长边时，，虽然是直角三角形，但不合题意，舍去；
若为最长边时，，此时为直角三角形，且在范围之内，符合题意．
故选：C．
6. 对于任何整数，多项式都能（ ）
A. 被9整除B. 被a整除C. 被整除D. 被整除
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了因式分解，利用平方差公式分解，即可做出判断，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
【详解】解：原式，
则对于任何整数a，多项式都能被整除．
故选：C．
7. 已知，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，掌握二次根式的运算法则和乘法公式是解题的关键．先利用平方差公式求出，再代入，计算即可．
【详解】解：，，
，
，
故选：B．
8. 综合实践课上，嘉嘉设计的“利用直角三角形作矩形”的尺规作图过程如下：
根据嘉嘉尺规作图痕迹，完成下面的证明．
证明：∵ ① ，，∴四边形是平行四边形（ ② ）（填推理依据）．
又∵，∴四边形是矩形（ ③ ）（填推理依据）．
①②③应该填的内容分别是（ ）
A. 、对角线互相平分的四边形是平行四边形、有一个角是直角的平行四边形是矩形
B. 、对角线互相平分的四边形是平行四边形、有一个角是直角的平行四边形是矩形
C. 、对角线互相平分的四边形是平行四边形、有一个角是直角的平行四边形是矩形
D. 、有一个角是直角的平行四边形是矩形、对角线互相平分的四边形是平行四边形
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了矩形和平行四边形的判定，先根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证明四边形是平行四边形，然后根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”证明四边形是矩形，熟知矩形和平行四边形的判定是关键．
【详解】证明：由题意可知：垂直平分，
，
∴四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．
又∵，
∴四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．
故选：B．
9. 如图，点是的六等分点．若，的周长分别为，，面积分别为，，则下列正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接，根据等弧所对的圆周角和弦相等，得到，，再根据等边对等角的性质，得到，进而推出，得到，再根据三角形中线的性质，得到，即可得到答案．
【详解】解：如图，连接，
点是的六等分点，
，，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
是中点，
，
，即，
故选：D
【点睛】本题考查了等弧所对的圆周角和弦相等，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的性质，三角形中线的性质，灵活运用相关知识解决问题是解题关键．
10. 航天员翟志刚以的第一宇宙速度行走了分秒，由此成为“走”得最快的中国人，那么翟志刚在太空漫步的距离用科学记数法表示约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是科学记数法，根据路程公式先求出他在太空漫步的距离，再写成的形式，据此进行解答．
【详解】解：分秒，，
他在太空漫步的距离为：，
，
故选：C．
11. 已知，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧．当∠APB=45°时，PD的长是 （ ）
A. B. C. 10D.
【答案】C
【解析】
【分析】过P作PB的垂线，过A作PA的垂线，两条垂线相于与E，连接BE，由∠APB=45°可得∠EPA=45°，可得△PAE是等腰直角三角形，即可求出PE的长，根据角的和差关系可得∠EAB=∠PAD，利用SAS可证明△PAD≌△EAB，可得BE=PD，利用勾股定理求出BE的长即可得PD的长.
【详解】过P作PB的垂线，过A作PA的垂线，两条垂线相交于E，连接BE，
∵∠APB=45°，EP⊥PB，
∴∠EPA=45°，
∵EA⊥PA，
∴△PAE是等腰直角三角形，
∴PA=AE，
∵PA=3，
∴，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EAP=∠DAB=90°，
∴∠EAP+∠EAD=∠DAB+∠EAD，即∠PAD=∠EAB，
又∵AD=AB，PA=AE，
∴△PAD≌△EAB，
∵PB=8，PE=6，
∴PD=BE===10，
故选：C．
【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握相关性质并正确作出辅助线是解题关键.
12. 如图①是由5个大小相同的小正方体组成的几何体，移走一个小正方体后，余下几何体的左视图如图②所示，则移走的小正方体是（ ）

A. ①B. ②C. ③D. ④
【答案】D
【解析】
【分析】根据左视图是从左边看得到的图形，可得答案．
【详解】解：单独移开④，
从左边看得到的图形可得：

故选：D．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，解题的关键是掌握从左边看得到的图形是左视图．
13. 在中，，，点D为的中点，E、F分别为直线、上两点，若满足，，则的长为（ ）
A. 1B. 3C. 1或3D. 1或5
【答案】D
【解析】
【分析】分两种情况：当点在线段上时或当点在延长线上时，取中点，连接，同理证明，得到，从而求解．
【详解】解：当点在线段上时，
如图，取的中点，连接，此时在的延长线上，
∵，点D为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为中点，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，，
∵，即，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵是中点，
∴，
∴；
当点在延长线上时，如图，
同理可得：；
综上：的长为1或5，
故选D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是适当添加辅助线，构造全等三角形，从而得到线段之间的关系．
14. 如图，动点S从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点S在运动过程中速度不变，则以点B为圆心，线段BS长为半径的圆的面积m与点S的运动时间t之间的函数关系图象大致为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】试题解析：不妨设线段AB长度为1个单位，点S的运动速度为1个单位/秒，则：
（1）当点S在A→B段运动时，BS=1-t，m=π（1-t）2（0≤t＜1）；
（2）当点P在B→A段运动时，PB=t-1，m =π（t-1）2（1≤t≤2）．
综上，整个运动过程中，m与t的函数关系式为：m =π（t-1）2（0≤t≤2），
这是一个二次函数，其图象为开口向上的一段抛物线．结合题中各选项，只有C符合要求．
故选C．
【点睛】本题结合动点问题考查了二次函数的图象．解题过程中求出了函数关系式，这是定量的分析方法，适用于本题，如果仅仅用定性分析方法则难以作出正确选择．
15. 如图，正方形和等边三角形夹在两条平行线之间，顶点，分别在两条平行线上．若，，在一条直线上，则与的数量关系是（ ）

A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查正方形的性质，等边三角形的性质以及平行线的性质，根据正方形的性质和等边三角形的性质以及平行线的性质解答即可．
【详解】解：正方形和等边三角形夹在两条平行线之间，顶点，分别在两条平行线上，
∴，，
∵，、、在一条直线上，
∴，即，
可得：，
故选：A．
16. 对于一个函数：当自变量x取a时，其函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．若二次函数y＝x2+2x+c（c为常数）有两个不相等且都小于1的不动点，则c的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设a是二次函数y=x2+2x+c的不动点，则a2+a+c=0，根据二次函数y=x2+2x+c（c为常数）有两个不相等且都小于1的不动点，可知关于a的方程a2+a+c=0有两个不相等的实数根，且两个实数根都小于1，设这两个实数根为a1、a2，则Δ＞0，a1＜1，a2＜1，即有1-4c＞0，且（a1-1）+（a2-1）＜0，（a1-1）（a2-1）＞0，即可解得-2＜c＜．
【详解】设a是二次函数y=x2+2x+c的不动点，则a=a2+2a+c，即a2+a+c=0，
∵二次函数y=x2+2x+c（c为常数）有两个不相等且都小于1的不动点，
∴关于a的方程a2+a+c=0有两个不相等的实数根，且两个实数根都小于1，
设这两个实数根为a1、a2，则a1+a2=-1，a1•a2=c，
∴Δ＞0，a1＜1，a2＜1，
∴Δ=1-4c＞0①，
且（a1-1）+（a2-1）＜0②，
（a1-1）（a2-1）＞0③，
由①得c＜，
∵a1+a2=-1，
∴②总成立，
由③得：a1•a2-（a1+a2）+1＞0，即c-（-1）+1＞0，
∴c＞-2，
综上所述，c的范围是-2＜c＜，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及新定义、一元二次方程解的判定、韦达定理等知识，解题的关键是根据已知得到关于a的方程a2+a+c=0有两个不相等的实数根，且两个实数根都小于1．
二、填空题（本大题共3个小题，共10分．17小题2分，18~19小题各4分，每空2分）
17. 如图，平面直角坐标系中，已知，，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，点恰好在反比例函数的图象上，则k值为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、旋转的性质，根据题意可以求得点的横坐标，然后根据点恰好在反比例函数的图象上，从而可以求得的值, 解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【详解】解：作轴于点，于，如图所示，
，， ，
， ，
，
，
，，
，，
，，
，
，
点恰好在反比例函数的图象上，
，
故答案为：．
18. 根据表中的数据，写出的值为________，的值为_______．
【答案】 ①. 8 ②.
【解析】
【分析】题目主要考查求代数式的值及解一元二次方程，理解题意，结合表格求解是解题关键．
【详解】解：当时，，即，
当时，，即，
当时，，即，
解得，
∴，
故答案为：①8；②．
19. 如图，过正六边形ABCDEF的顶点D作一条直线l⊥AD于点D，分别延长AB、AF交直线l于点M，N，则∠AMN＝ ______ ；若正六边形ABCDEF的面积为6，则△AMN的面积为 ______ ．
【答案】 ①. ； ②. 16．
【解析】
【分析】连接，交于点．根据正六边形性质，推出，推出 ，根据，求出 即可解决问题．
【详解】解：连接，交于点，
是正六边形，
，
，
，
是正六边形，面积为6，
点在上，， 的面积，
，
，
，，
，
故答案，16．
【点睛】本题考查正多边形与圆，三角形的面积等知识，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．
三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20. 某地举办了一次足球热身赛，其计分规则及奖励方案（每人）如下表：
当比赛进行到每队各比赛12场时，A队共积20分，并且没有负一场．
（1）试判断A队胜、平各几场？
（2）若每比赛一场每名队员均得出场费500元，A队的某一名队员参加了全部比赛，那么他所得奖金与出场费的和是多少？
【答案】20. A队胜4场，平8场
21. 出场费加奖金一共17600元
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，本题中根据总场数和总积分不变，设队胜利场，列出方程求解是解题的关键．
（1）设队胜利场，则平了场，根据总积分为20分列出方程即可求解；
（2）根据（1）中求得胜场数和平场数计算每名队员的奖金和出场费的总和即可解题．
【小问1详解】
解：设队胜利场，
一共打了12场，
平了场，
，
解得：；
，
队胜4场，平8场；
【小问2详解】
解：每场比赛出场费500元，12场比赛出场费共6000元，
赢了4场，奖金为元，
平了8场，奖金为元，
奖金加出场费一共17600元；
答：一共赢了4场，出场费加奖金一共17600元．
21. 嘉嘉和琪琪玩纸片拼图游戏，他们利用图1中的三种类型的纸片可以拼出一些图形来解释某些等式，例如，由图2，我们可以得到．
（1）用边长为a的正方形卡片1张，边长分别为a，b的长方形卡片6张，边长为b的正方形卡片9张，拼成一个正方形，则这个正方形的边长为________；
（2）琪琪用5个长为b，宽为a的长方形按照图3方式不重叠地放在大长方形内；大长方形中未被覆盖的两个部分，设左上角的面积为，右下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的数量关系．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是多项式乘以多项式，以及完全平方公式，解题的关键是熟练掌握多项式乘多项式法则，以及完全平方公式的特点．
（1）利用面积法和完全平方公式，求解即可；
（2）根据已知求得两部分的面积，根据题意作差，进而求得，关系式．
【小问1详解】
解：边长为的正方形卡片1张，边长分别为，的长方形卡片6张，边长为的正方形卡片9张，
用这16张卡片拼成一个正方形，
正方形的面积为，
设正方形的边长为，则
，
，
；
故答案为：；
【小问2详解】
解：设，
，，
，
当时，不变，
即．
22. 某市举办的青年冰雪体验营活动共有140人参加，为了解参加活动的人员对本次活动的满意度，随机调查了部分参加者，为本次活动打分（打分按从高到低分为5个分值：5分、4分、3分、2分、1分），并将调查结果绘制成不完整的条形统计图（如图1）和扇形统计图（如图2）．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次共调查了________名参加者，并补全条形统计图；
（2）若再增补调查5位参加者，他们的打分分别为4，4，4，3，3，则增加调查人数前、后本次活动打分情况的众数是否发生改变？若改变，求这个众数；若未改变，请说明理由；
（3）在（2）的基础上，又增加了3位参加者进行打分，此时被调查的参加者打分的众数发生了改变，且唯一，求这个众数及这3位参加者的打分情况．
【答案】（1）20，图见详解
（2）不改变，理由见详解
（3）见详解
【解析】
【分析】此题考查了扇形统计图和条形统计图，众数、画条形统计图，解题的关键是读懂统计图，获得有关信息，在获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
（1）由5分的人数及其所占百分比可得被调查的总人数，总人数减去其它分数度的人数求出得4分的人数即可补全图形；
（2）根据众数的定义求解即可；
（3）根据再增加了3位参加者进行打分，此时众数发生了改变，且唯一得出现在的众数只能是4分，且至少有两人打分为4分，而另外一人的打分不可能是5分，进而求解即可．
【小问1详解】
解：被调查的总人数是（名），
则得4分的人数为（名），
补全条形图如下：
故答案为：20；
【小问2详解】
解：众数没有发生改变．理由如下：
增加5位参加者的打分后，统计结果是：
得5分的有10人，得4分的有9人，得3分的有4人，得2分的有1人，得1分的有1人，
∴这组数据的众数是5，原数据的众数也是5，
由此表可知，众数没有发生改变；
【小问3详解】
解：∵再增加了3位参加者之前数据的众数是5，
∴得4分的人数比得5分的人数少1人，
∵则若再增加了3位参加者，众数发生改变，且唯一，
∴则现在的众数只能是4分，且至少有两人打分为4分，而另外一人的打分不可能是5分，可能是4，3，2，1中的任意一个，
故这3位参加者的打分情况是4，4，4或4，4，3或4，4，2或4，4，1．：
23. 嘉嘉和淇淇在玩排球．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题．
如图，嘉嘉站在点O处练习发球（球每次出手后的运动轨迹都是形状相同的抛物线），将球从点O正上方的点B处发出．球出手后的运动路径为抛物线，抛物线的最高点C到y轴的距离为，竖直高度比出手点B高出1m．已知，排球场的边界点A到点O的水平距离，球网高度，且．
（1）当时，排球能否越过球网？请说明理由；
（2）若嘉嘉调整起跳高度，使球在点A处落地，此时形成的抛物线记为，球落地后立即向右弹起，形成另一条与形状相同的抛物线，且此时排球运行的最大高度为1m，球场外有一个吉祥物玩偶MN高．排球向右反弹后沿的路径运动，若在下落的过程中，正好砸中玩偶的头部点M，求玩偶所处的位置点N与点A的距离．
【答案】（1）球能越过球网，理由见解析
（2）玩偶所处的位置点与点的距离为6米
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的应用、二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式，读懂题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）求得函数解析式，根据题意易得，将代入抛物线表达式中求出对应值，和2.4比较即可判断球能否越过球网界；
（2）根据题意可设的表达式为，将点坐标代入求得，求出当时的值即可求解．
【小问1详解】
解： 抛物线的最高点到轴总是保持6米的水平距离，竖直高度总是比出手点高出1米米，
，
当时，
则，，
设抛物线的表达式为，
将点代入，得，
解得：，
抛物线的表达式为；
米，，
（米，
球网高度为2.4米，
，
当时，，
，
球能越过球网；
【小问2详解】
解：球每次出手后的运动轨迹都是形状相同的抛物线，且抛物线的最高点到轴总是保持6米的水平距离，
又是与形状相同的抛物线，此时排球运行的最大高度为1米，
设的表达式为，
将点代入得：，
解得：（舍去），，
的表达式为，
当时，，
解得：，（舍去），
（米．
玩偶所处的位置点与点的距离为6米．
24. 如图，是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为O，直径是河底藏线，弦是水位线，米，于点E，此时测得．
（1）求的长；
（2）如图，阴影矩形是漂浮的箱子移出水面的截面图，若其长为10米，高为2米，当点E恰在中点时，
①画出半圆O最高点H，并直接写出点H到线段的距离；
②若该箱子随水面上升1米，请判断此木箱能否通过该桥洞．并说明理由．
【答案】（1）米
（2）①作图见解析，；②可以，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了圆的应用，涉及了垂径定理，三角函数以及解直角三角形，解题的关键是
（1）由题意可得米，根据三角函数的定义求解即可；
（2）①延长交于点，交半圆O于点，由（1）可得米，，即可求解；②根据题意可得：米，米，利用勾股定理求得长度，即可求解．
【小问1详解】
解：由题意可得：米，
∵
∴，
则，则米，
由勾股定理可得：米，
∴米；
【小问2详解】
解：①延长交于点，交半圆O于点，则点H为半圆O最高，如下图：
由题意可得：米，米，
则米，
即点H到线段的距离为米；
②根据题意可得：米，米，
由勾股定理可得，
即点在圆内，可以通过．
25. 下面表格中的两组对应值满足一次函数，现画出了它的图象为直线，如图1．琪琪为观察，对图象的影响，将上面函数中的与交换位置后得到另一个一次函数，设其图象为直线．
（1）求直线的解析式；
（2）求直线的解析式，并在图中画出直线；
（3）若是轴上的一个动点，过点作轴的平行线，分别交直线，于点，．当时，求出的值；
（4）若是轴上的一个动点，过点作轴的平行线，分别与直线，及轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，直接写出的值．
【答案】（1）
（2），图见解析
（3）或
（4）或或
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，直角坐标系与点坐标，中心对称的性质，根据题意构建方程是解题的关键．
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）根据题意确定解析式，确定与坐标轴的交点，运用两点法画出图象；
（3）由题意，得，即可求解；
（4）直线与交点的横坐标为；与交点的横坐标为；分三种情况：①当第三点在轴上时，②当第三点在直线上时，③当第三点在直线上时，根据中心对称性质，分别构建方程求解，得的值．
【小问1详解】
解：直线：中，当时，；当时，；
解得：，
直线的解析式为；
【小问2详解】
根据题意可得直线的解析式为：，
画出直线如图：
【小问3详解】
把代入，得：，
把代入，得：，
，
，
解得：或，
的值为或；
【小问4详解】
把代入，得：，解得：；
把代入，得：，解得：；
分三种情况：①当第三点在轴上时，得；
②当第三点在直上时，，得：；
③当第三点在直线上时，，解得：；
直线与直线、及轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，则的值为或或．
26. 在中，，，，将绕点B顺时针旋转得到，其中点A，C的对应点分别为点，．

（1）如图1，当点落在的延长线上时，求的长；
（2）如图2，当点落在的延长线上时，连接，交于点M，求的长；
（3）如图3，连接，直线交于点D，点E为的中点，连接．在旋转过程中，是否存在最大值？若存在，直接写出的最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）16 （2）
（3）最大值为8
【解析】
【分析】（1）根据余弦函数的定义先求出，再利用三角合一，求得，从而得解；
（2）过C作于F，过M作于N，利用勾股定理得到，利用等面积法得到，再用勾股定理求得，于是，利用，得到，，最后用得出，即，从而得解；
（3）过点A作交的延长线于点P，先证明得到，再证明得到，是的中位线，，要使最大，只需最大，此时共线，的最大值为， 最大为，至此得解．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
∵绕点B顺时针旋转得到
∴，即是等腰三角形，
又∵
∴，
∵点落在的延长线上
∴；
【小问2详解】
过C作于F，过M作于N，如图：

∵
∴
∵绕点B顺时针旋转得到，
∴，，
∵
∴中，
∴
中，，
∴，
由旋转性质可得：，
∵，
∴
∴
∴
∴
∴，
∴
∵，，
∴
∴
即
∴；
【小问3详解】
最大值为8．
补充理由如下：
过点A作交的延长线于点P，连接，

∵绕点B顺时针旋转得到，
∴
∴
∴
∴
∵，
∴
∴
在和中
∴
，即点D是中点
又∵点E为的中点
∴是的中位线，
∴
要使最大，只需最大，此时共线，的最大值为，
∴最大为
【点睛】本题考查直角三角形的旋转变换，涉及勾股定理、平行线分线段成比例、等腰三角形判定、全等三角形判定与性质等知识，综合性较强，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
分别以点A，C为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点E，F，作直线EF，直线交于点O；
作射线，在上截取，使得；
连接，，则四边形就是所求作的矩形．
结果
代数式
2
5
胜一场
平一场
负一场
积分
3
1
0
奖金（元/人）
1500
700
0