广东省惠州市惠阳区叶挺红军中学2023-2024学年九年级下册第一次月考数学试题（含解析）

这是一份广东省惠州市惠阳区叶挺红军中学2023-2024学年九年级下册第一次月考数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1．下列各数中，为无理数的是（ ）
A． B．C．D．
2．2018年1月，“墨子号”量子卫星实现了距离达7600千米的洲际量子密钥分发，这标志着“墨子号”具备了洲际量子保密通信的能力，数字7600用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
3．如图是由三个相同的小正方体组成的几何体，则该几何体的左视图是（ ）
A．B．C．D．
4．下列运算中正确的是( )
A．B．
C．D．
5．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，CD⊥AB于D，则tan∠BCD的值为（ ）
A．B．C．D．
6．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，已知圆心角∠AOB=110°，则圆周角∠ACB=（ ）
A．55°B．110°C．120°D．125°
8．已知反比例函数y=﹣，下列结论：①图象必经过（﹣2，4）；②图象在二，四象限内；③y随x的增大而增大；④当x＞﹣1时，则y＞8．其中错误的结论有（ ）个
A．3B．2C．1D．0
9．如图，在菱形中，，．是边上的一点，，分别是，的中点，则线段的长为（ ）
A．8B．C．4D．
10．如图，△ABC是边长为4cm的等边三角形，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿A→C→B运动，到达B点即停止运动，过点P作PD⊥AB于点D，设运动时间为x（s），△ADP的面积为y（cm2），则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分）
11．因式分解： ．
12．一个正n边形的内角和为，则 ．
13．如果（x+y﹣2）2与|x﹣3y+4|互为相反数，那么x﹣y的值为 ．
14．关于的方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是 ．
15．在“手拉手，献爱心”捐款活动中，九年级七个班级的捐款数分别为：260、300、240、220、240、280、290(单位：元)，则捐款数的中位数为 .
16．如图，在矩形ABCD中，AB=2DA，以点A为圆心，AB为半径的圆弧交DC于点E，交AD的延长线于点F，设DA=2，图中阴影部分的面积为 ．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分）
17．计算：+（﹣ ）﹣1+|1﹣|﹣4sin45°．
18．先化简，再求值：，其中．
19．如图，中，，，．
(1)用尺规作图在上找一点M，使点M到和的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求的长．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
20．某水果店经销一种高档水果，售价为每千克50元
（1）连续两次降价后售价为每千克32元，若每次下降的百分率相同．求平均下降的百分率；
（2）已知这种水果的进价为每千克40元，每天可售出500千克，经市场调查发现，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，每千克应涨价多少元才能使每天获得的利润最大？
21．已知：是正方形对角线上一点，，，、分别为垂足，
(1)求证．
(2)若，，求的长．
22．某校对A《三国演义》、B《红楼梦》、C《西游记》、D《水浒传》四大名著开展“最受欢迎的传统文化经典著作”调查，随机调查了若干名学生(每名学生必选且只能选这四大名著中的一部)并将得到的信息绘制了下面两幅尚不完整的统计图∶
根据所给信息，回答下列问题．
(1)本次一共调查了_______名学生；
(2)请将条形统计图补充完整；
(3)某班语文老师想从这四大名著中随机选取两部作为学生暑期必读书籍，请用画树状图或列表的方法求恰好选中《三国演义》和《红楼梦》的概率．
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分）
23．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A(﹣1，0)，C(2，3)两点，与y轴交于点N．其顶点为D．
（1）抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；
（3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．
24．如图，已知AB为⊙O的直径，AC为⊙O的切线，连结CO，过B作BD∥OC交⊙O于D，连结AD交OC于G．延长AB、CD交于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若BE＝2，DE＝4，求CD的长；
（3）在（2）的条件下，连结BC交AD于F，求的值．
参考答案与解析
1．D
【分析】根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【解答】解：，，是有理数，是无理数，
故选：D．
【点拨】此题考查了无理数的定义．解题的关键是掌握无理数的定义，注意初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…（每两个1之间0的个数依次加1），等有这样规律的数．
2．B
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
科学记数法的表示形式为的形式，其，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【解答】解：，
故选：B．
3．C
【分析】细心观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判定则可．
【解答】从左边看竖直叠放2个正方形．
故选C．
【点拨】此题考查了几何体的三种视图和学生的空间想象能力，左视图是从物体左面看所得到的图形，解答时学生易将三种视图混淆而错误的选其它选项．
4．D
【分析】根据幂的乘方、平方差公式、同底数幂的除法、完全平方公式分别计算即可判断出正确答案．
【解答】解：A. ，此选项错误；
B. ，此选项错误；
C. ，此选项错误；
D. ，此选项正确；
故选：D．
【点拨】本题考查的知识点是幂的乘方、同底数幂的除法运算法则以及平方差公式和完全平方公式，熟记运算法则以及公式内容是解此题的关键．
5．D
【分析】先求得∠A＝∠BCD，然后根据锐角三角函数的概念求解即可．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，
∴BC＝3，
在Rt△ABC与Rt△BCD中，∠A+∠B＝90°，∠BCD+∠B＝90°．
∴∠A＝∠BCD．
∴tan∠BCD＝tanA＝＝，
故选D．
【点拨】本题考查解直角三角形，三角函数值只与角的大小有关，因而求一个角的函数值，可以转化为求与它相等的其它角的三角函数值．
6．A
【分析】先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可．
【解答】
∵解不等式①得：x＜1，
解不等式②得：x≥-1，
∴不等式组的解集为-1≤x＜1，
在数轴上表示为：，
故选A．
【点拨】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．
7．D
【解答】分析：根据圆周角定理进行求解．一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
解答：根据圆周角定理，得
∠ACB=（360°-∠AOB）=×250°=125°．
故选D．
点拨：此题考查了圆周角定理．
注意：必须是一条弧所对的圆周角和圆心角之间才有一半的关系．
8．B
【分析】根据反比例函数的性质，逐一进行判断即可得答案．
【解答】①当x=﹣2时，y=4，即图象必经过点（﹣2，4）；
②k=﹣8＜0，图象在第二、四象限内；
③k=﹣8＜0，每一象限内，y随x的增大而增大，错误；
④k=﹣8＜0，每一象限内，y随x的增大而增大，若0＞x＞﹣1，﹣y＞8，故④错误，
故选B．
【点拨】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．
9．C
【分析】本题考查菱形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是证明是等边三角形．
如图连接，首先证明是等边三角形，可得，再根据三角形的中位线定理即可解决问题．
【解答】解：如图，连接．
四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
，，
．
故选：C．
10．B
【解答】过点P作PD⊥AB于点D，△ABC是边长为4cm的等边三角形，
则AP=2x，
当点P从A→C的过程中，AD=x，PD=x，如图1所示，
则y=AD•PD==，（0≤x≤2），
当点P从C→B的过程中，BD=（8﹣2x）×=4﹣x，PD=（4﹣x），PC=2x﹣4，如图2所示，
则△ABC边上的高是：AC•sin60°=4×=2，
∴y=S△ABC﹣S△ACP﹣S△BDP
=（2＜x≤4），
故选B．
点拨：此题空考查了动点问题函数图象.几何图形中的动点问题,是代数的方程知识与几何知识的综合运用.解题的关键是要求有运动的观点,搞清点的运动特性,对动态问题作静态分析,解答时要注意以下几点:(1)将与求解有关的线段用含未知数的代数式表示出来;(2)明确几何题与代数题不是截然分开的,解题时要有数形结合的思想;(3)考虑到方程的解应符合实际意义,所以在求出方程的解后,要结合条件进行合理的取舍.对于动点类的题目,解题的关键在于抓住运动图形的特殊位置,临界位置及其特殊性质,解决此类问题的基本方法是从运动与变化的角度来观察和研究图形,把握图形运动与变化的全过程,此类题目常需借助函数或方程解答.
11．
【分析】此题主要考查了提取公因式法与公式法的综合运用，正确运用平方差公式是解题关键．首先提取公因式3，再利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：原式
．
故答案为：．
12．6
【分析】本题主要考查了多边形的内角和，关键是掌握多边形内角和定理： （）且n为整数）
设此多边形边数为n，根据多边形的内角和定理建立方程求解即可．
【解答】解：设此多边形边数为n，由题意得：
，
解得：
故答案为：6．
13．﹣1
【分析】由题意可得（x+y﹣2）2＋|x﹣3y+4|＝0，再根据平方和绝对值非负的性质可得方程组，解方程可得x 、y的值，从而求解．
【解答】解：根据题意得：（x+y﹣2）2+|x﹣3y+4|=0，
可得
①﹣②得：4y=6，
解得：y=1.5，
把y=1.5代入①得：x=0.5，
则x﹣y=0.5﹣1.5=﹣1，
答案为：﹣1
【点拨】本题考查互为相反数两个数相加为0，以及平方与绝对值非负的性质．注意解二元一次方程组的方法（代入消元法、加减消元法）．
14．且
【解答】分析：根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义可得△=4-12m＞0且m≠0，求出m的取值范围即可．
解答：∵一元二次方程mx2-2x+3=0有两个不相等的实数根，
∴△＞0且m≠0，
∴4-12m＞0且m≠0，
∴m＜且m≠0，
故答案为m＜且m≠0．
点拨：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式△=b2-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
15．260
【解答】将所给数据排序：220，240，240，260，280，290，300，
位于中间的数是260，
所以中位数是260，
故答案为260.
16．
【分析】根据题目中的已知信息，可以推出AB=4，再根据余弦定义可以计算出，，通过即可作答．
【解答】解：根据题意可知，DA=2，∴AB=2DA=4，
又∵以点A为圆心，AB为半径的圆弧交DC于点E，
∴AE=AB=4，
∵四边形ABCD是矩形，在Rt△ADE中，
，
∴，，
∴，，
，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了余弦的定义以及扇形的面积计算，其中根据矩形的性质以及余弦定义求出是解题的关键，本题属于基础题．
17．
【分析】根据绝对值的概念、特殊三角函数值、负整数指数幂、二次根式的化简计算即可得出结论．
【解答】解：+（﹣）﹣1+|1﹣|﹣4sin45°
=2﹣3+﹣1﹣4×
=2﹣3+﹣1﹣2
=﹣4．
【点拨】此题主要考查了实数的运算，负指数，绝对值，特殊角的三角函数，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．，
【分析】将该分式分子分母因式分解，括号里面进行通分，除法改写为乘法，再根据分式的运算法则进行化简，最后将x的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式
．
当时，原式．
【点拨】本题主要考查了分式分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算的运算顺序和运算法则．
19．(1)见解答
(2)3
【分析】本题考查了作图−复杂作图，角平分线的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握角平分线作法．
（1）利用尺规作的角平分线即可；
（2）结合（1）证明，再利用等角三角函数值相等即可求出的长．
【解答】（1）解：作的角平分线交于点M，则点M即为所求；
（2）过点M作于点D，
∵在中，，，，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴
在和中，
，
∴，
∴，
∴
设，
∴，
解得：，
∴．
20．（1）20％（2）7.5元.
【分析】（1）设每次降价的百分率为x，（1-x）2为两次降价的百分率，50降至32就是方程的平衡条件，列出方程求解即可；
（2）根据题意列出关于上涨价格m的二次函数关系式，根据二次函数的性质可得其最值情况．
【解答】（1）设每次下降的百分率为x，
根据题意得：50（1-x）2=32，
解得：x1=0.2，x2=1.8（不合题意舍去），
答：平均下降的百分率为20%．
（2）设每千克应涨价m元，每天的利润为W元，
W=（50-40+m）（500-20m）=-20m2+300m+5000，
则对称轴为m=-=7.5，
∵a=-20＜0，
∴当m=7.5时函数有最大值，
答：每千克应涨价7.5元才能使每天盈利最大．
【点拨】此题主要考查了二次函数的应用，求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法求解比较简单．
21．(1)见解答
(2)2
【分析】本题考查的是正方形的性质，涉及到勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识点的连接和掌握，能证出是解此题的关键．
（1）连接，证四边形是矩形，求出，证，推出即可；
（2）先根据得出，，由等腰直角三角形的性质，求出的长度，再根据矩形性质及直角三角形的性质即可求解．
【解答】（1）证明：连接，
是正方形，
，，
，，
四边形是矩形，
，
在和中，
，
，
，
，
．
（2）解：由（1）知，
，
，
四边形是正方形，是对角线，
，
，
，
，
，
，
由（1）知，
．
22．(1)50
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联、补全条形统计图、用列表法或树状图法求概率，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据喜欢C《西游记》的人数和所占的百分比计算即可得出答案；
（2）先计算出喜欢B《红楼梦》的人数，再画出图形即可；
（3）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可．
【解答】（1）解：本次一共调查了名学生，
故答案为：；
（2）解：喜欢B《红楼梦》的人数为：（名），
补全条形统计图如图所示：
；
（3）解：列表得：
共有12种等可能出现的结果，其中恰好选择《三国演义》和《红楼梦》的共有种，
故恰好选中《三国演义》和《红楼梦》的概率．
23．（1）y=﹣x2+2x+3，y=x+1；（2）满足条件的点E的坐标为(0，1)或(，)或(，)；（3）面积的最大值为．
【分析】（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）利用配方法及一次函数图象上点的坐标特征，可求出点B，D的坐标，设点E的坐标为（x，x+1），分点E在线段AC上及点E在线段AC（或CA）延长线上两种情况考虑：①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，由BD的长结合点E的坐标可得出点F的坐标为（x，x+3），再利用二次函数图象上点的坐标特征可求出x的值，进而可得出点E的坐标；②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，由BD的长结合点E的坐标可得出点F的坐标为（x，x﹣1），再利用二次函数图象上点的坐标特征可求出x的值，进而可得出点E的坐标．综上，此问得解；
（3）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，过点C作CN⊥x轴，垂足为N，设点P的坐标为（x，﹣x2+2x+3）（﹣1＜x＜2），则点M的坐标为（x，0），结合点A，C的坐标及S△APC＝S△APM+S梯形PMNC﹣S△ACN，可得出S△APC关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），C（2，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：
，解得：，
∴抛物线的函数关系式为y＝﹣x2+2x+3．
设直线AC的函数关系式为y＝kx+a（k≠0），
将A（﹣1，0），C（2，3）代入y＝kx+a，得：
，解得：，
∴直线AC的函数关系式为y＝x+1．
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴点D的坐标为（1，4）．
当x＝1时，y＝x+1＝2，
∴点B的坐标为（1，2）．
设点E的坐标为（x，x+1）．
分两种情况考虑（如图1）：
①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，
∴点F的坐标为（x，x+3）．
∵点F在抛物线上，
∴x+3＝﹣x2+2x+3，
解得：x1＝0，x2＝1（舍去），
∴点E的坐标为（0，1）；
②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，
∴点F的坐标为（x，x﹣1）．
∵点F在抛物线上，
∴x﹣1＝﹣x2+2x+3，
解得：，
∴点E的坐标为（）或（，）．
综上：满足条件的点E的坐标为（0，1），（）或（，）．
（3）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，过点C作CN⊥x轴，垂足为N，如图2所示．
设点P的坐标为（x，﹣x2+2x+3）（﹣1＜x＜2），则点M的坐标为（x，0）．
∵点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（2，3），
∴AM＝x+1，MN＝2﹣x，PM＝﹣x2+2x+3，CN＝3，AN＝3，
∴S△APC＝S△APM+S梯形PMNC﹣S△ACN，
．
∴当x＝时，S△APC取得最大值，最大值为，此时点P的坐标为（）．
【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质、三角形的面积、梯形的面积以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次（一次）函数解析式；（2）分点E在线段AC上及点E在线段AC（或CA）延长线上两种情况，求出点E的坐标；（3）利用分割图形求面积法，找出S△APC关于x的函数关系式．
24．（1）见解析；（2）6；（3）．
【分析】（1）连接OD，由切线的性质和圆周角定理可得∠CAB=90°=∠ADB，由“SAS”判定△CDO≌△CAO，则∠CDO=∠CAO=90°，然后根据切线的判定定理可得到CD是⊙O的切线；
（2）设⊙O半径为r，则OD=OB=r，在Rt△ODE中利用勾股定理得到r2+42=（r+2）2，解得r=3，即OB=3，然后根据平行线分线段成比例定理，由DB∥OC得到DE：CD=BE：OB，于是可计算出CD=6；
（3）由△CDO≌△CAO得到AC=CD=6，在Rt△AOC中利用勾股定理计算出OC=3，再证明Rt△OAG∽△OCA，利用相似比计算出OG= ，则CG=OC-OG=，易得BD=2OG= ，然后利用CG∥BD得到 ．
【解答】证明：（1）如图，连接OD，
∵AC为⊙O的切线，AB为⊙O的直径，
∴∠CAB=90°=∠ADB，
∵OD=OB，
∴∠DBO=∠BDO，
∵CO∥BD，
∴∠AOC=∠OBD，∠COD=∠ODB，
∴∠AOC=∠COD，且AO=OD，CO=CO，
∴△AOC≌△DOC（SAS）
∴∠CAO=∠CDO=90°，
∴OD⊥CD，且OD是半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）设⊙O半径为r，则OD=OB=r，
在Rt△ODE中，∵OD2+DE2=OE2，
∴r2+42=（r+2）2，解得r=3，
∴OB=3，
∵DB∥OC，
∴
即
∴CD=6；
（3）由（1）得△CDO≌△CAO，
∴AC=CD=6，
在Rt△AOC中，OC=，
∵∠AOG=∠COA，
∴△OAG∽△OCA，
∴，
即 ，
∴OG=，
∴CG=OC-OG=3-=，
∵OG∥BD，OA=OB，
∴OG为△ABD的中位线，
∴BD=2OG=，
∵CG∥BD，
∴
∴．
【点拨】此题考查圆的综合题，切线的判定，全等三角形的判定与性质，相似三角形的性质，勾股定理，解题关键在于利用平行线分线段成比例定理和相似比计算线段的长．