河北省邯郸市第十七中学2024—2025学年九年级上学期11月期中数学试题

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一、选择题(每小题3分，共36分)
1. 盒子里有个球，它们只有颜色不同，其中红球有6个，黄球有3个，黑球有1个．小军从中任意摸一个球，下面说法正确的是（ ）
A. 一定是红球B. 摸出红球的可能性最大
C. 不可能是黑球D. 摸出黄球的可能性最小
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意列出树状图求出各种颜色求得概率，逐个判断即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
摸出红球的概率为，摸出黄球的概率为：，摸出黑球的概率为：，
故选B；
【点睛】本题考查概率定义及树状图法求概率，解题的关键是正确理解概率的定义．
2. 如图，是的直径，是上一点．若，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆周角定理即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
3. 图中的五个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从A点到B点，甲虫沿路线爬行，乙虫沿路线爬行，则下列结论正确的是（ ）
A. 甲先到B点B. 乙先到B点
C. 甲、乙同时到BD. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】甲虫走的路线应该是4段半圆的弧长，那么应该，乙虫走的路程为，因此甲虫走的四段半圆的弧长正好和乙虫走的大半圆的弧长相等，因此两个同时到点．本题考查了圆的认识，主要掌握弧长的计算公式．
【详解】解：甲虫沿路线爬行，乙虫沿路线爬行，
∴甲虫走的路程为，
乙虫走的路程为，
甲虫走的四段半圆的弧长正好和乙虫走的大半圆的弧长相等，
∵两只小虫同时出发，以相同的速度从A点到B点，
因此甲虫和乙虫同时到点．
故选：C．
4. 在初二年级活动中，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩“抢凳子”游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（ ）
A.三边垂直平分线的交点B. 三边中线的交点C. 三条角平分线的交点D. 三边上高的交点
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查中垂线的性质，根据题意，得到凳子到三个顶点的距离相等，根据中垂线上的点到线段两端点的距离相等，得到凳子在三边的中垂线的交点上，即可．
【详解】解：∵A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，
∴为使游戏公平，则凳子到三名选手的距离相等，
∴凳子应放的最适当的位置是在的三边中垂线的交点上；
故选A．
5. 已知⊙O的半径OA长为1，OB＝，则可以得到的正确图形可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据点到直线的距离和圆的半径的大小关系判断点与圆的位置关系即可
【详解】解：∵⊙O的半径OA长1，若OB＝，
∴OA＜OB，
∴点B在圆外，
故选：D．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是根据数据判断出点到圆心的距离和圆的半径的大小关系，难度不大．
6. 下列函数中，是二次函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数叫做二次函数，据此逐一进行判断，即可求解．
【详解】A.反比例函数，故本选项错误；
B. ，未知数次数不是，故本选项错误；
C. 是一次函数，故本选项错误；
D. ，符合二次函数的定义，故本选项正确．
故选：D．
【点睛】此题考查了二次函数的定义，理解定义，会根据定义进行判断是解题的关键．
7. “天宫课堂”第二课月日在中国空间站开讲，包括六个项目：太空“冰雪”实验、液桥演示实验、水油分离实验、太空抛物实验、空间科学设施介绍与展示、天地互动环节．若随机选取一个项目写观后感，则恰好选到“实验”项目的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小．
【详解】解：共6个项目，“实验”项目太空“冰雪”实验、液桥演示实验、水油分离实验、太空抛物实验共4个，
恰好选到“实验”项目的概率是，
故选：A．
【点睛】本题考查概率的求法与运用，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
8. 如图，为的直径，为上两点，若，则的大小为（ ）．
A. 60°B. 50°C. 40°D. 20°
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意连接AD，再根据同弧的圆周角相等，即可计算的的大小.
【详解】解：连接，
∵为的直径，
∴．
∵，
∴，
∴．
故选B．
【点睛】本题主要考查圆弧的性质，同弧的圆周角相等,这是考试的重点，应当熟练掌握．
9. 如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P的概率是( )
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】找到符合条件的点P的个数，再根据概率公式计算可得．
【详解】解：要使△ABP与△ABC全等，点P的位置可以是P1，P2两个点，
∴从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P的概率是，
故选：B．
【点睛】本题考查了概率公式的应用，随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
10. 书架上有a本经济类书，7本数学书，b本小说，5本电脑游戏类书．现某人随意从架子上抽取一本书，若得知取到经济类或者数学书的机会为，则a，b的关系为（ ）
A. a=b﹣2B. a=b+12C. a+b=10D. a+b=12
【答案】A
【解析】
【分析】由取到经济类或者数学书的机会为，可知经济类和数学书的本数占全部的，列出代数式即可求出ab的关系．
【详解】由已知可得：a+7=，解得：a+2=b，即a=b﹣2．故选A．
【点睛】解答此题的关键是根据概率公式列出代数式．
11. 如图，在中，，那么（ ）
A. B.
C. D. 与的大小关系无法比较
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理．可过作半径于，由垂径定理可知，因此只需比较和的大小即可；易知，在中，是斜边，是直角边，很显然，即，由此可判断出和的大小关系，即可得解．
【详解】解：如图，过作半径于，连接；
由垂径定理知：，；
；
在中，，则；
，即；
故选：A．
12. 如图，正方形ABCD对角线的交点刚好在坐标原点，其中点D坐标为，若将对角线BD绕点B逆时针旋转30°后所在的直线交y轴于点E，连接AE．下列4个结论：①点O到直线BE的距离为；②OE的长为；③；④直线AE的解析式为．其中正确的是（ ）
A. ①④B. ②④C. ①②③D. ①③④
【答案】D
【解析】
【分析】过点作，根据含30度角的直角三角形的性质即可判断①；设与轴交于点，根据等面积法求得，在中，，根据勾股定理建立方程，解方程即可判断②，根据②设交轴于点，勾股定理求得即可判断③，待定系数法求解析式即可判断④，即可求解．
【详解】解：正方形ABCD对角线的交点刚好在坐标原点，其中点D坐标为，
，
过点作，
，
，故①正确，
设与轴交于点，如图，
，设，
，
，
在中，，
即，
解得，
，
，
即OE的长为，故②不正确；
如图，设交轴于点，
则，
中，
故③正确，
设直线AE的解析式为
∵A(-1，1)，，
直线AE的解析式为
故④正确，
故选：D
【点睛】本题考查了坐标与图形，待定系数法求解析式，正方形性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．
二、填空题(每小题3分，共12分)
13. 如果，那么_____．
【答案】5
【解析】
【分析】该题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是设．
先设，则原方程变形为，运用因式分解法解得：，从而求得的值．
【详解】解：设，则原方程为，
原方程变形为，
则，
解得：，
因为是非负数，
所以．
故答案为：5．
14. 某超市购进一批单价为8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天可销售20件．经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少4件，那么将销售价定为__________元时，才能使每天所获销售利润最大．
【答案】11
【解析】
【分析】根据题意列出二次函数关系式，根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】解：设销售单价定为元，每天所获利润为元，
则
，
所以将销售定价定为11元时，才能使每天所获销售利润最大，
故答案为11．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用二次函数的性质解答．
15. 如图，AB⊥BC，AB＝BC＝2 cm，弧OA与弧OC关于点O成中心对称，则AB、BC、弧CO、弧OA所围成的面积是_______cm2．
【答案】2
【解析】
【详解】由弧OA与弧OC关于点O中心对称，根据中心对称的定义，如果连接AC，则点O为AC的中点，则题中所求面积等于△BAC的面积．
解：连接AC．
∵弧OA与弧OC关于点O中心对称，
∴点O为AC的中点，
∴AB、BC、弧CO、弧OA所围成的面积=△BAC的面积=2×2÷2=2cm2．
故答案为：2
16. 如图，在中，，是的内切圆，与边分别相切于点D，E，与的延长线交于点F，则______．
【答案】##40度
【解析】
【分析】本题考查三角形内切圆、切线长定理，根据内切圆的定义和切线长定理，可以计算出的度数和的度数，然后即可计算出的度数．
【详解】解：连接交于点G，
，
，
∵点O为的内切圆的圆心，
，
，
，
垂直平分，
，
，
故答案为：．
三、解答题(共72分)
17. 往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，求水的最大深度．（8分）
【答案】水的最大深度为．
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．连接，过点作于点，交于点，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，进而得出的长即可．
【详解】解：如图，连接，过点作于点，交于点，
∵，
∴，
∵的直径为，
∴，
在中，，
∴，
即水的最大深度为．
18. 二次函数图象的顶点是，且经过点，求此函数的解析式．（8分）
【答案】
【解析】
【分析】设抛物线的解析式为，将点代入解析式即可求出的值，从而得到二次函数解析式．
【详解】解：设抛物线的解析式为，
将代入得，，
，
函数解析式为，
所以该抛物线的函数解析式为．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，知道二次函数的顶点式是解题的关键．
19. 从一副扑克牌中任意抽取一张，（1）这张牌是“A”（2）这张牌是“红心的”（3）这张牌是“大王”（4）这张牌是“红色的” ，估计上述事件发生的可能性的大小，将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列．（9分）
【答案】（3）＜（1）＜（2）＜（4）．
【解析】
【分析】分别求出抽出各种扑克的概率，即可比较出各种扑克的可能性大小．
【详解】从一副扑克牌中任意抽取一张，（1）这张牌是“A”的概率为 ；（2）这张牌是“红心”的概率为；（3）这张牌是“大王”的概率为 ；（4）这张牌是“红色的”的概率为 ， 故（3）＜（1）＜（2）＜（4）．
【点睛】本题考查的是可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．
20. 已知如图，⊙O外切等腰梯形ABCD的中位线EF=，求梯形的腰长．（梯形中位线是指连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线，梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半）．（9分）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了梯形的中位线、圆外切四边形的性质，熟练掌握圆外切四边形的性质是解题关键．先根据梯形中位线的性质可得，再根据圆外切四边形的性质可得，由此即可得．
【详解】解：如图，∵圆外切等腰梯形的中位线是，
∴，
∵等腰梯形是的外切等腰梯形，
∴，
∴，
即梯形的腰长为．
21. 已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，∠ACD=30°，AE=2cm．求DB长．（9分）
【答案】DB=cm
【解析】
【分析】由AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，根据垂径定理，可得CE=DE，∠AEC=∠DEB=90°，然后由含30°角的直角三角形的性质，即可求得EC与DE的长，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠B=30°，继而求得DB的长．
【详解】∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE=DE，∠AEC=∠DEB=90°，
∵∠B=∠ACD=30°，
在Rt△ACE中，AC=2AE=4cm，
∴CE==2（cm），
∴DE=2cm，
在Rt△BDE中，∠B=30°，
∴BD=2DE=4cm．
∴DB的长为4cm．
【点睛】本题考查了垂径定理，在同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆周角相等，含30°角直角三角形的性质及勾股定理，其中含30°角直角三角形的性质是解题的关键．
22. 为落实国家“双减”政策，立德中学在课后托管时间里开展了“音乐社团、体育社团、文学社团，美术社团”活动．该校从全校600名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一种社团活动（每人必选且只选一种）”的问卷调查，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．（9分）
根据图中信息，解答下列问题
（1）参加问卷调查的学生共有______人；
（2）条形统计图中m的值为______，扇形统计图中的度数为_______；
（3）根据调查结果，可估计该校600名学生中最喜欢“音乐社团”的约有______人；
（4）现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率．
【答案】（1）60 （2）11，90°
（3）100 （4）
【解析】
【分析】（1）根据B：体育社团的人数和人数占比即可求出参与调查的总人数；
（2）根据（1）所求总人数即可求出m；用360度乘以C：文学社团的人数占比即可求出的度数；
（3）用600乘以样本中最喜欢“音乐社团”的人数占比即可得到答案；
（4）画树状图或列表先得到所有的等可能性的结果数，然后找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【小问1详解】
解：（人），
∴参加问卷调查的学生共有60人，
故答案为：60；
【小问2详解】
解：由题意得：，，
故答案为：11；90°；
【小问3详解】
解：（人），
∴估计该校600名学生中最喜欢“音乐社团”的约有100人，
故答案为：100；
【小问4详解】
解：设甲、乙、丙、丁四名同学分别用A，B，C，D表示，根据题意可画树状图或列表如下：
由上图或上表可知，共有12种等可能的结果，符合条件的结果有2种，故恰好选中甲、乙两名同学的概率为．
【点睛】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，用样本估计总体，树状图或列表法求解概率等等，正确读懂统计图是解题关键．
23. 如图，的直径AB为10cm，弦BC为5cm，D．E分别是∠ACB的平分线与，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC=PE．（10分）
（1）求AC、AD的长；
（2）试判断直线PC与的位置关系，并说明理由．
【答案】（1），AD=；（2）直线PC与圆相切，理由见解析
【解析】
【分析】（1）连结BD，如图，根据圆周角定理由AB为直径得∠ACB＝90°，利用勾股定理计算出AC＝8；由DC平分∠ACB得∠ACD＝∠BCD＝45°，根据圆周角定理得∠DAB＝∠DBA＝45°，则ΔADB为等腰直角三角形，由勾股定理即可得出AD的长；
（2）连结OC，由PC＝PE得∠PCE＝∠PEC，利用三角形外角性质得∠PEC＝∠EAC+∠ACE＝∠EAC+45°，在直角三角形ACB中，AB=10，BC=5，可求出∠CAB=30º，进而求出∠ABC＝∠OCB，于是可得到∠PCE＝90°﹣∠OCB+45°＝90°﹣（∠OCE+45°）+45°，则∠OCE+∠PCE＝90°，于是根据切线的判定定理可得PC为O的切线．
【详解】（1）连结BD，如图所示，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ACB中，AB＝10cm，BC＝5cm，
∴AC＝（cm）；
∵DC平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝45°，
∴∠DAB＝∠DBA＝45°，
∴△ADB为等腰直角三角形，
∴AD＝AB•cs45º=AB＝（cm）；
（2）直线PC与圆相切，理由：
连接OC，
在直角三角形ACB中，AB=10，BC=5，
∴，
∵OA=OC，
，
∴，
∵，
∴，
，
∵PC=PE，
∴，
，
∴直线PC是圆的切线．
【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，是圆的综合题，综合性比较强，难度适中，熟练掌握直线与圆的位置关系的判定方法是解题的关键．
24. 如图，是等边三角形，点O是坐标原点，点B的坐标为2,0。 （10分）
（1）求点A的坐标；
（2）将绕点A逆时针旋转后，求点B的对应点的坐标；
（3）将绕点A逆时针旋转后，求点B对应点的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）点的坐标为
【解析】
【分析】（1）过点A作轴于点C，由等边三角形的性质与勾股定理可得，，从而可得答案；
（2）画出图形，再利用旋转后共线，且为的中点，由中点坐标公式可得答案；
（3）由旋转可知，，求解，作轴于点E，连接，证明，，设，则，再解方程即可．
【小问1详解】
解：过点A作轴于点C，
∵是等边三角形，点B的坐标为2,0，
∴，
∴，
∴，
∴点A的坐标为；
【小问2详解】
解：如图，将绕点A逆时针旋转，
∴共线，且为的中点，
∵，，
∴；
【小问3详解】
解：如图，由题意可知，，
∴，
作轴于点E，连接，
∵，，
∴，
∴，
∴，
设，
则．
解得：，（不合题意，舍去）
∴，
∴点的坐标为．
【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，旋转的性质，坐标与图形，一元二次方程的解法，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．
第2人
第1人
A
B
C
D
A
AB
AC
AD
B
BA
BC
BD
C
CA
CB
CD
D
DA
DB
DC