江苏省无锡市江阴市四校2023_2024学年高一数学上学期期中联考试题

这是一份江苏省无锡市江阴市四校2023_2024学年高一数学上学期期中联考试题，共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.集合A={x | 2 ≤ x < 4}，B={x|3x – 7≥8 – 2x}，则A∪B= ( )
A.[3 , 4) B.[2 , +∞) C.(－∞ , 3] D. [2 , 3]
2.命题：“∀n∈Z，n∈Q”的否定是( )
A.∀neq \(∈,／)Z，n∈QB.∀neq \(∈,／)Z，neq \(∈,／)Q
C.∃neq \(∈,／)Z，neq \(∈,／)Q D.∃n∈Z，neq \(∈,／)Q
3.函数y＝f(x)，x∈[－1，a](a>－1)是奇函数，则a等于( )
A.－1 B．0 C．1 D．无法确定
4.下列命题为真命题的是( )
A.若a>b>0，则ac2>bc2B.若a>b，则a2>b2
C.若aab>b2 D.若aeq \f(1,b)
5. 已知点(m , 8)在幂函数f(x)=(m–1)xn的图像上，则n－eq \s\up3(m)= ( )
D.9
6.已知函数g(eq \r(x) + 2) = x + 4eq \r(x)– 6，则g(x)的最小值是( )
A. –6B. –8 C. –9 D. –10
7.若0 A.3 + 2B. 3 – 2C.4D.4
8.已知函数f(x)为R上的单调递增函数，f(0)=eq \r(2)，任意x，y∈R，都有f(x)f(y)=f(x + y + 1)，
则不等式f(2x2 + x)f(–3x2 + 4x– 2)>4的解集为 ( )
A.{x|x<1 或 x>4} B.{x|14} D. {x|–1二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共计20分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错的得0分)
9.下列各组函数中，两个函数是同一函数的有( )
A. f(x) =1与g(m) = 1B.f(x) = x2与g(x)=eq \r(\s\up4(3),x6)
C.f(x) = eq \f(x – 1,\r(x – 1))与g(x)=eq \r(x – 1)D. f(x)=x2 – 1与g(x)=(x + 1)2 – 2(x + 1)
10.下列说法正确的是( )
A. 若x>0，则2 – 3x – eq \f(4,x)的最小值为2 – 4eq \r(3)
B. 已知集合A , B均为实数集R的子集，且CRB⊆A，则(CRA)∪ B = B
C. 对于函数y = f(x)，x∈R, “y=f(x +1)是偶函数”是“y = f(x)的图象关于直线x=1轴对称”
的充要条件
D. 若命题“∃x∈R，x2 – mx + 1<0”的否定是真命题，则实数m的取值范围是–211.一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好. 则 ( )
A.当一所公寓窗户面积与地板面积的总和为220m2，则这所公寓的窗户面积至少应该为22m2.
B.若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果会变好.
C.若同时增加窗户面积和地板面积，且增加的地板面积是增加的窗户面积的3倍，
公寓采光效果一定会变差.
D.若窗户面积和地板面积都增加原来的a%，其中a>0，公寓采光效果不变.
12.已知函数f(x)=eq \b\lc\{(\a\al(|x – m| x≤m, –x2 + 4mx – 3m2 x>m))，则下列说法正确的是 ( )
A.当m=1时f(x)的单调减区间为(–∞ , 1]∪[2 , +∞)
B. 函数f(x)为R上的单调函数，则m≤0
C. 若f(x– 1)>f(x)恒成立，则实数m的取值范围是(–∞ , )
D. 对∀x1 , x2∈[m , +∞)，不等式f()≥恒成立
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共计20分)
13.设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋1，x≤1，,\f(2,x)，x>1，))则f(3)=________________.
14.已知函数f(x)=x2–kx– 8在(5 , 6)上具有单调性，则实数k的取值范围是________.
15.若函数f(x)的定义域为(0 , 8)，则函数g(x) = eq \f(f(2x),\r(8 – 2x))的定义域为 ．
16.函数y=f(x)的图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y=f(x)的图像关于点P(a , b)成中心对称图形的充要条件是函数
y=f(x + a) –b为奇函数.根据以上结论，函数f(x)=x3–x2，则f(x)的对称中心是_________，
若n为正整数，则f(–n) + f(–n+1) + f(–n+2)+······+f(0)+f(1)+ ······+f(n+2)=__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17.(本小题10分)
(1) 计算：eq \b\bc\((\f(9,4))\s\up10(\f(1,2))– (–0.9)0–eq \b\bc\((\f(27,8))\s\up10(–\f(2,3)) + eq \b\bc\((\f(2,3))\s\up10(2)
(2)已知eq a\s\up10(\f(1,2)) + eq a\s\up10(–\f(1,2)) = 3，求eq \f(a2 + a–2 + 1,a + a–1 + 2)
18.(本小题12分)
已知集合A={x|3≤3x≤27}，集合B={x|–x2 + x + 2 >0}，设全集U = R
(1)求A , B , CU(A∩B).
(2)已知关于x的不等式x2–mx< 2x– 2m的解集为C，若C⊆ A，求实数m的取值范围．
19.(本小题12分)
(1)已知a , b , c , d∈R , 试比较(a2 + b2)(c2 + d2)与(ac + bd)2的大小，并给出证明.
(2)求函数f(x)=eq \r(3 – x) + eq \r(5 + x)的最大值.
20. (本小题12分)
如图，P是矩形ABCD对角线BD上一点，过P作PM⊥AB，PN⊥AD，分别交AB、AD于M、N两点.
(1)当AB=3，AD=2时，设PM = x，PN = y，找出x、y的关系式，求四边形AMPN面积的最大值，并指出此时P点的位置.
A
B
C
D
P
M
N
(2)当矩形ABCD的面积为6时，四边形AMPN的面积是否有最大值？若有，求出最大值；
若没有，请说明理由.
21. (本小题12分)
已知偶函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，当x∈(0 , +∞)时，函数f(x) = x–eq \f(m,x)
(1)当m=1时，求函数f(x)在区间(–∞, 0)上的解析式.
(2)函数y=f(x)在(0 , 1)上单调递减，在(1 , +∞ )上单调递增，求m的值.
(3)在(2)的条件下，不等式f(e2x)≤a(ex– e–x)在(0 , +∞)上有解，求实数a的取值范围.
(注：其中“e”为自然常数，约为2.718281828459045)
22.(本小题12分)
已知二次函数f(x)=ax2 + x + 1，且f(x) – f(x – 1) = 4x – 1
(1)求f(x)的解析式.
(2)若g(x)=f(x) – mx在[1 , 2]上的最大值为–1，求m的值以及g(x)的最小值.
(3)若h(x)=f(x) – x2 – eq \f(1,2)x + n，集合A={y|y=h(x) , x∈[0 , t]} , 集合B={ y|y=h(h(x)) , x∈[0 , t]},
是否存在实数n、t，使得A=B，若存在，请求出所有符合条件的n和t的值；若不存在，请说明理由.
2023-2024学年度秋学期四校期中联考试卷
高一数学
考生注意：客观题请用2B铅笔填涂在答题卡上，主观题用黑色的水笔书写在答题卷上。
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的）
1.集合A={x | 2≤x<4}，B={x|3x–7≥8–2x}，则A∪ B= ( )
A.[3 , 4) B.[2 , +∞) C.(－∞ , 3] D. [2 , 3]
课本改编：P14复习巩固1
答案：B
解析：B={x|x≥3}，则A∪ B=[2 , +∞)
2.命题：“∀n∈Z，n∈Q”的否定是( )
A.∀neq \(∈,／)Z，n∈QB.∀neq \(∈,／)Z，neq \(∈,／)Q
C.∃ neq \(∈,／)Z，neq \(∈,／)Q D.∃n∈Z，neq \(∈,／)Q
课本改编：P31练习1(1)
答案：D
3.函数y＝f(x)，x∈[－1，a](a>－1)是奇函数，则a等于( )
A.－1 B.0 C.1 D.无法确定
答案：C
4.下列命题为真命题的是( )
A.若a>b>0，则ac2>bc2B.若a>b，则a2>b2
C.若aab>b2 D.若aeq \f(1,b)
课本改编：P43综合运用8
答案：C
5. 已知点(m , 8)在幂函数f(x)=(m–1)xn的图像上，则n－eq \s\up3(m)= ( )
D.9
答案：A
解析：m=2，n=3
6.已知函数g(eq \r(x) + 2) = x + 4eq \r(x)– 6，则g(x)的最小值是( )
A. –6B. –8 C. –9 D. –10
答案：A
解析：∵g(eq \r(x) + 2) = x + 4eq \r(x)– 6=(eq \r(x)+2)2–10
∴g(x) =x2– 10(x≥2)
∴g(x)min=–6
7.若0A.3 + 2B. 3 – 2C.4D.4
答案：A
解析： + eq \f(1,1 – 2a) = + eq \f(1,1 – 2a) = ( + eq \f(1,1 – 2a))(2a + 1 – 2a)=3 + + eq \f(2a,1 – 2a)
∵00 , 2a>0
∴ +eq \f(1,1 – 2a)≥ 3 +2，此时a=eq \f(1,2+\r(2))
8.已知函数f(x)为R上的单调递增函数，f(0)=eq \r(2)，任意x，y∈R，都有f(x)f(y)=f(x + y + 1)，
则不等式f(2x2 + x)f(–3x2 + 4x– 2)>4的解集为 ( )
A.{x|x<1 或 x>4} B.{x|14} D. {x|–1答案：B
解析：∵f(1)=2 令x=y=1，可得f(3)=4
∴不等式f(2x2 + x)f(–3x2 + 4x– 2)>4可化为：f(x2 + 5x–1)>f(3)
∵函数f(x)为R上的单调递增函数
∴–x2 + 5x–1>3即x2–5x+ 4<0
∴解集为{x|1二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共计20分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错的得0分)
9. 下列各组函数中，两个函数是同一函数的有( )
A. f(x) =1与g(m) = 1B.f(x) = x2与g(x)=eq \r(\s\up4(3),x6)
C.f(x) = eq \f(x – 1,\r(x – 1))与g(x)=eq \r(x – 1)D. f(x)=x2 – 1与g(x)=(x + 1)2 – 2(x + 1)
答案：ABD
10.下列说法正确的是( )
A. 若x>0，则2 – 3x – eq \f(4,x)的最小值为2 – 4eq \r(3)
B. 已知集合A , B均为实数集R的子集，且CRB⊆A，则(CRA)∪ B = B
C. 对于函数y = f(x)，x∈R, “y=f(x +1)是偶函数”是“y = f(x)的图象关于直线x=1轴对称”
的充要条件
D. 若命题“∃ x∈R，x2 – mx + 1<0”的否定是真命题，则实数m的取值范围是–2 答案：BC
11.一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好. 则 ( )
A.当一所公寓窗户面积与地板面积的总和为220m2，则这所公寓的窗户面积至少应该为22m2.
B.若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果会变好.
C.若同时增加窗户面积和地板面积，且增加的地板面积是增加的窗户面积的3倍，
公寓采光效果一定会变差.
D.若窗户面积和地板面积都增加原来的a%，其中a>0，公寓采光效果不变.
课本改编：P58综合运用7
答案：BD
12.已知函数f(x)=eq \b\lc\{(\a\al(|x – m| x≤m, –x2 + 4mx – 3m2x>m))，则下列说法正确的是 ( )
A.当m=1时f(x)的单调减区间为(–∞ , 1]∪[2 , +∞)
B. 函数f(x)为R上的单调函数，则m≤0
C. 若f(x– 1)>f(x)恒成立，则实数m的取值范围是(–∞ , )
D. 对∀x1 , x2∈[m , +∞)，不等式f() ≥ 恒成立
答案：BCD
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共计20分)
13.设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋1，x≤1，,\f(2,x)，x>1，))则f(3)=________________.
答案：eq \f(2,3)
14.已知函数f(x)=x2–kx– 8在(5 , 6)上具有单调性，则实数k的取值范围是________
课本改编：P100复习巩固4
答案：k≤10或k≥12
15.若函数f(x)的定义域为(0 , 8)，则函数g(x) = eq \f(f(2x),\r(8 – 2x))的定义域为 ．
答案：(0 , 3)
16.函数y=f(x)的图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y=f(x)的图像关于点P(a , b)成中心对称图形的充要条件是函数
y=f(x + a) –b为奇函数.根据以上结论，函数f(x)=x3–x2，则f(x)的对称中心是_________，
若n为正整数，则f(–n) + f(–n+1) + f(–n+2)+······+f(0)+f(1)+ ······+f(n+2)=__________
课本改编：P87综合运用13
答案：(1 , –eq \f(2,3)) –eq \f(4,3)n – 2
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17.(本小题10分)
(1) 计算：eq \b\bc\((\f(9,4))\s\up10(\f(1,2))– (–0.9)0–eq \b\bc\((\f(27,8))\s\up10(–\f(2,3)) + eq \b\bc\((\f(2,3))\s\up10(2)
(2)已知eq a\s\up10(\f(1,2)) + eq a\s\up10(–\f(1,2)) = 3，求eq \f(a2 + a–2 + 1,a + a–1 + 2)
解析：(1)原式=eq \f(3,2) – 1 – eq \f(4,9) + eq \f(4,9) = eq \f(1,2) ……………………………4分
(2) ∵eq a\s\up10(\f(1,2)) + eq a\s\up10(–\f(1,2)) = 3 ∴a + a-1 + 2 = 9 ……………………………6分
∴a2 + a-2 + 1 = 48 ……………………………8分
∴原式=eq \f(16,3) ……………………………10分
18.(本小题12分)
已知集合A={x|3≤3x≤27}，集合B={x|–x2 + x + 2 >0}，设全集U = R
(1)求A , B , CU(A∩B)；
(2)已知关于x的不等式x2–mx< 2x– 2m的解集为C，若C⊆ A，求实数m的取值范围．
解析：(1)A=[1 , 3]……………………………2分
B=(-1 , 2)……………………………4分
CU(A∩B)={x|x<1或x≥2} ……………………………6分
(2) 1≤m≤3 ……………………………12分
19.(本小题12分)
(1)已知a , b , c , d∈R , 试比较(a2 + b2)(c2 + d2)与(ac + bd)2的大小，并给出证明；
(2)求函数f(x)=eq \r(3 – x) + eq \r(5 + x)的最大值.
解析：(1) (a2 + b2)(c2 + d2) ≥(ac + bd)2
证明：∵(a2 + b2)(c2 + d2) –(ac + bd)2= a2d2+ b2c2 - 2acbd = (ad - bc)2≥0
∴(a2 + b2)(c2 + d2) ≥(ac + bd)2……………………………4分
当且仅当ad = bc时(a2 + b2)(c2 + d2) =(ac + bd)2……………………………6分
(2)解法一：函数f(x)的定义域为[-5 , 3]
f(x)=eq \r(8 + 2\r((3 - x)(5 + x)))
eq \r((3 - x)(5 + x))≤eq \f(3 - x + 5 + x,2)=4当且仅当3 – x=5+x，即x=-1时取等号
∴x=–1时f(x)max=4 ……………………………12分
解法二：∵(a2 + b2)(c2 + d2) ≥(ac + bd)2
∴ac + bd≤eq \r((a2 + b2)(c2 + d2))
∴f(x)=eq \r(3 – x) + eq \r(5 + x)=1×eq \r(3 – x) + 1×eq \r(5 + x)≤eq \r((12 + 12)(3 - x + 5 + x))=4
当且仅当3 – x=5+x，即x=-1时取等号
20. (本小题12分)
如图，P是矩形ABCD对角线BD上一点，过P作PM⊥AB，PN⊥AD，分别交AB、AD于M、N两点.
(1)当AB=3，AD=2时，设PM = x，PN = y，找出x、y的关系式，求四边形AMPN面积的最大值，并指出此时P点的位置；
A
B
C
D
P
M
N
(2)当矩形ABCD的面积为6时，四边形AMPN的面积是否有最大值？若有，求出最大值；
若没有，请说明理由.
解析：(1)在矩形ABCD中， PM⊥AB，PN⊥AD
∴PM∥AD，PN∥AB
∵AB=3，AD=2
∴eq \f(x,2)= \f(BP,BD)eq \f(y,3)= \f(DP,BD)
∴eq \f(x,2) + \f(y,3) =1 ……………………………2分
∵x,y>0, ∴eq \f(x,2) + \f(y,3) =1 ≥2eq \r(\f(xy,6))∴xy ≤ eq \f(3,2)……………………………4分
当且仅当eq \f(x,2) = \f(y,3) = \f(1,2)取等号，此时x=1，y=eq \f(3,2)点P在BD中点. …………………5分
即点P在BD中点时，四边形AMPN面积S取最大值eq \f(3,2)…………………6分
(2)由(1)可知eq \f(x,AD) + \f(y,AB) =1 ……………………………8分
∵x,y>0, ∴eq \f(x,AD) + \f(y,AB) =1 ≥2eq \r(\f(xy,AD·AB))=2eq \r(\f(xy,6))∴xy ≤ eq \f(3,2)……………………10分
当且仅当eq \f(x,AD) = \f(y,AB) = \f(1,2)取等号，此时x=eq \f(AD,2)，y=eq \f(AB,2)点P在BD中点.
即点P在BD中点时，四边形AMPN面积S取最大值eq \f(3,2)………12分
21. (本小题12分)
已知偶函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，当x∈(0 , +∞)时，函数f(x) = x–eq \f(m,x)
(1)当m=1时，求函数f(x)在区间(–∞, 0)上的解析式；
(2)函数y=f(x)在(0 , 1)上单调递减，在(1 , +∞ )上单调递增，求m的值
(3)在(2)的条件下，不等式f(e2x)≤a(ex– e–x)在(0 , +∞)上有解，求实数a的取值范围.
(注：“e”为自然常数，约为2.718281828459045)
解析：(1)当x∈(–∞, 0)时，–x∈(0 , +∞)，所以f(–x) = –x –eq \f(1, –x) ,
又∵f(x)为偶函数，∴f(x) = f(–x) = –x –eq \f(1, –x)
即，当x∈(–∞, 0)时，f(x)= –x –eq \f(1, –x) = –x + eq \f(1,x)…………2分
(2)解法一：
任取x1，x2∈(0 , 1)，令x1f(x1) – f(x2) = x1 - eq \f(m,x1) – x2 + eq \f(m,x2) = (x1 – x2)eq \f(x1x2 + m,x1x2)
∵f(x)在(0 , 1)上单调递减 0∴f(x1) – f(x2)>0x1 – x2<0 0∴x1x2 + m<0恒成立即m<–x1x2恒成立
∴m≤–1
同理：在区间(1 , +∞)上递增可得m≥–1
∴m= –1
解法二：
即对任意的x∈(0 , +∞)，f(x)≥f(1)
∴对任意的x∈(0 , +∞)，x–eq \f(m,x)≥1 – m
即对任意的x∈(0 , +∞)时，x2 + (m – 1)x – m≥0
当m≥0时，显然不成立，…………………………………4分
当m<0时，函数h(x)=x2 + (m – 1)x – m开口向上，对称轴为x=eq \f(1 - m,2)>0
∴△=(m - 1)2+4m≤0
∴(m + 1)2≤0
∴m = -1…………………………………7分
(3)由(2)可知：f(x) = x + eq \f(1,x)
即不等式e2x + e-2x≤a(ex– e–x)在(0 , +∞)上有解
函数y= ex– e–x = ex–eq \f(1,ex)在(0 , +∞)上单调递增，所以ex– e–x>0
∴存在x∈(0 , +∞)使a≥eq \f(e2x + e-2x, ex– e–x) = eq \f((ex – e-x)2 + 2, ex– e–x) = ex– e–x + eq \f(2, ex– e–x)
即a≥(ex– e–x + eq \f(2, ex– e–x))min …………………………………9分
∵ex– e–x>0∴ex– e–x + eq \f(2, ex– e–x)≥2eq \r(2)
∴a≥2eq \r(2)…………………………………12分
22.(本小题12分)
已知二次函数f(x)=ax2 + x + 1，且f(x) – f(x – 1) = 4x – 1
(1)求f(x)的解析式
(2)若g(x)=f(x) – mx在[1 , 2]上的最大值为–1，求m的值以及g(x)的最小值.
(3)若h(x)=f(x) – x2 – eq \f(1,2)x + n，集合A={y|y=h(x) , x∈[0 , t]} , 集合B={ y|y=h(h(x)) , x∈[0 , t]},是否存在实数n、t，使得A=B，若存在，请求出所有符合条件的n和t的值，若不存在，请说明理由.
解析：(1) ∵f(x)=ax2 + x + 1，f(x) – f(x – 1) = 4x – 1
∴ax2+ x + 1 – a(x - 1)2–(x – 1) – 1=4x – 1
∴2ax–a+ 1=4x – 1 ∴a = 2
∴f(x)=2x2 + x + 1 …………………………………2分
(2)g(x)= 2x2 + (1 – m)x + 1
开口向上，对称轴为x=eq \f(m - 1,4)
∴eq \b\lc\{(\a\al(\f(m - 1,4)<\f(3,2),f(2)=11 - 2m = -1))或者eq \b\lc\{(\a\al(\f(m - 1,4)≥\f(3,2),f(1)=4 - m = -1))
∴m=6 …………………………………4分
此时：g(x)的对称轴为x=eq \f(5,4)，∴g(x)的最小值为g(eq \f(5,4))= –eq \f(17,8)………………………6分
(3)h(x)=x2 + eq \f(1,2)x + 1 + n，开口向上，对称轴为x=－eq \f(1,4)
∴在区间[0 , t]上单调递增，∴A=[n + 1 , t2 + eq \f(1,2)t + n + 1] …………………7分
令n + 1=λ , t2 + eq \f(1,2)t=μ则h(x)= x2 + eq \f(1,2)x + λ A=[λ , λ+μ]
∵A=B
∴①当λ≥－eq \f(1,4)时，h(x)在[λ , λ+μ]上单调递增
则eq \b\lc\{(\a\al(h(λ)= λ,h(λ+μ)= λ+μ))∴eq \b\lc\{(\a\al(λ2 + \f(1,2)λ+ λ= λ,(λ+μ)2 + \f(1,2) (λ+μ)+ λ= λ+μ))
解得：λ=0，μ=eq \f(1,2)，即n=-1 , t=eq \f(1,2)…………………9分
②当λ<－eq \f(1,4)≤λ+μ时，h(－eq \f(1,4)) = λ无解 …………………10分
③当λ+μ<－eq \f(1,4)时，h(x)在[λ , λ+μ]上单调递减
则eq \b\lc\{(\a\al(h(λ+μ)=(λ+μ)2 + \f(1,2)(λ+μ) + λ = λ,h(λ)=λ2 + \f(1,2)λ + λ = λ+μ))
解得λ=－1，μ=eq \f(1,2)或者λ=－eq \f(1,2)，μ=0(舍)
此时n=－2，t=eq \f(1,2).
综上：即n=－1或－2 , t=eq \f(1,2)，满足条件. …………………12分