上海市上海交通大学附属中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷

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一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1.已知集合,且,则实数 .
2.已知扇形的半径是3,弧长为6,则扇形圆心角的弧度数是 .
3.*已知点是角终边上一点,若,则 .
4.*已知，向量与的夹角为.向量在方向上的数量投影为 .
5.已知直线,若,则实数的值为 .
6.若有两个复数,满足,则 .
7.上海是一座魔幻都市，有着丰富的旅游资源。甲、乙两人相约来到上海旅游，两人分别从四个景点中随机选择一个景点游览，甲、乙两人恰好选择同一景点的概率为 .
8.*若,则 .
9.*已知函数的值域是，则实数的取值范围是 .
10.中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹的中国古老民间艺术之一.已知某剪纸的裁剪工艺如下:取一张半径为1的圆形纸片,记为,在内作内接正方形,接着在该正方形内作内切圆,记为,并裁剪去该正方形与内切圆之间的部分（如图所示阴影部分），记为一次裁剪操作，，不断重复上述裁剪操作，则被裁剪部分的面积之和的极限为 .
11.为双曲线右支上两不同点,则取值范围是 .
12.和的零点按从小到大顺序可以分别构成两个等差数列，则所构成的集合为 .
二、选择题（本题共4小题，前2题每小题4分；后2题每小题5分，共18分）
13.*若,则是（ ）.
A.锐角三角形; B.直角三角形; C.钝角三角形; D.无法确定.
14.将某学校一次物理测试学生的成绩统计如下图所示,则估计本次物理测试学生成绩的平均分为（同一组数据用该组区间的中点值作代表）（ ）.
A.68; B.70;
C.72; D.74.
15.*设与是两个不同的幂函数,记,则中的元素个数的可能是（ ）.
A.0、1、2、; B.1、2、3; C.1、2、3、4; D.0、1、2、;3.
16.已知定圆,点A是圆所在平面内一定点,点是圆上的动点,若线段的中垂线交直线于点，则点的轨迹可能是：(1)椭圆；(2)双曲线；(3)抛物线；(4)圆；(5)直线；(6)一个点.其中所有可能的结果有（ ）.
A.2个; B.3个; C.4个; D.5个.
三、解答题.（本大题共5小题，满分78分）
17.（本题满分14分,第（1）题满分6分，第（2）题满分8分）
如图所示五面体中,四边形为长方形,平面和是全等的等边三角形.
（1）求证:;
（2）若已知,求该五面体的体积.
18.（本题满分14分,第(1)题满分6分,第(2)题满分8分)
*设（常数）。
（1）为上的严格增函数，求实数的取值范围；
（2）设，若对于任意，都有成立，求实数的取值范围。
19.（本题满分14分，第（1）题满分2分，第（2）题满分4分，第（3）题满分8分）
仰晖楼有A、B两部电梯。已知电梯每上一层需要5秒，电梯在某层楼停留时开门到关门所花时间为10秒（人员均能在电梯开关门时间内完成进出电梯和按楼层等操作）.某天清晨，楼上还没有人，1楼已经有若干人均欲乘坐电梯上楼，目的地分别是楼.现两部电梯均恰好在1楼（两部电梯互相独立运行，可以独立开关门，在1楼按下按钮后将同时打开门），且每部电梯容量足够容纳所有人.定义为：从A（B）电梯开门时刻算起，到电梯内最后一人到达目标楼层后A（B）电梯门关闭为止，所花时间.记"运输完成时间"：.
（1）若所有人均乘坐一部电梯，求；
（2）为了研究的最小值，我们需要对电梯的"乘坐安排"作出一些合理假设.例如：假设两部电梯都有人乘坐。理由：分开乘坐，比如去2层的人都坐电梯A，其余人坐电梯B，则均小于（1）中，故"运输完成时间"也小于（1）中，所以要使得最小，两部电梯一定都有人乘坐.请你在此基础上再提出1至2条关于电梯"乘坐安排"的合理假设，并简述作出这些假设的理由（若有多条假设，请按重要性从高到低写出最重要的两条）；
（3）求出最小值.
20.（本题满分18分，第（1）题满分4分，第（2）题满分6分，第（3）题满分8分）如图，已知椭圆经过点，离心率.
（1）求椭圆的标准方程;
（2）椭圆上任意点轴上一点,若的最小值为,求实数的取值范围;
（3）设是经过右焦点的任一弦（不经过点），直线与直线相交于点，记的斜率分别为,求证:成等差数列.
21.（本题满分18分，第（1）题满分4分，第（2）题满分6分，第（3）题满分8分）已知是定义在上的函数，满足恒成立.数列满足:，.
（1）若函数,求实数的取值范围;
（2）若函数是上的减函数，求证：对任意正实数，均存在，使得时，均有；
（3）求证："函数是上的增函数"是"存在，使得"的充分非必要条件。
【附加题】（共10分）
世界上除了圆形的轮子之外，还有一些好事之徒制作了不少形状的多边形轮子．

（1）如图，平面直角坐标系内有一个边长为的点方形，其初始位置为，，，．
①将整个正方形绕点顺时针旋转，使点首次旋转到轴正半轴上停止；
②再将整个正方形绕点顺时针旋转，使点首次选择到轴正半轴上停止；
③再将整个正方形绕点顺时针旋转，使点首次选择到轴正半轴上停止；
④再将整个正方形绕点顺时针旋转，使点首次选择到轴正半轴上停止．
我们将上述四个步骤依次操作一遍，称为将正方形“滚动”一周.
为任点向轴正方向移动100个单位长度，需要将正方形“滚动”_______周，在这个过程中，点经过的路径总长度为________个单位长度；
（2）如果制造一个正边形的“轮子”.该正边形的中心到任意一个顶点的距离为1．共将该正边形的"轮子"振动一周，求点经过的路径总长度；
（3）根据（2）中结果猜想：半径为1的圆形轮子在平地上滚动一周，则圆周上任意一点经过的路径总长度是多少？（不必说明理由）
交大附中2024学年第一学期高三年级数学期中
2024.11
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1.已知集合,且,则实数 .
【答案】-1
2.已知扇形的半径是3,弧长为6,则扇形圆心角的弧度数是 .
【答案】2
3.*已知点是角终边上一点,若,则 .
【答案】
4.*已知，向量与的夹角为.向量在方向上的数量投影为 .
【答案】1
5.已知直线,若,则实数的值为 .
【答案】-1
6.若有两个复数,满足,则 .
【答案】
【解析】，同理均为的根，且显然为不等的两共轭虚根，所以.
7.上海是一座魔幻都市，有着丰富的旅游资源。甲、乙两人相约来到上海旅游，两人分别从四个景点中随机选择一个景点游览，甲、乙两人恰好选择同一景点的概率为 .
【答案】
8.*若,则 .
【答案】
【解析】对函数求导得，；令，得，整理得.因此，故.
9.*已知函数的值域是，则实数的取值范围是 .
【答案】
10.中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹的中国古老民间艺术之一.已知某剪纸的裁剪工艺如下:取一张半径为1的圆形纸片,记为,在内作内接正方形,接着在该正方形内作内切圆,记为,并裁剪去该正方形与内切圆之间的部分（如图所示阴影部分），记为一次裁剪操作，，不断重复上述裁剪操作，则被裁剪部分的面积之和的极限为 .
【答案】
【解析】设的半径为,则,的半径为,即,
可知每一次裁剪部分的面积构成等比数列,公比为.
第一次裁剪的面积为,故被裁剪掉的总面积的极限为.
11.为双曲线右支上两不同点,则取值范围是 .
【答案】
【解析】方法一：
取等条件是.显然该式可以取到无限大.
方法二：
，所以,取等条件是.
方法三：设直线AB方程为与双曲线右支交于两点，
联立得
方法四：双曲线图像与函数图像全等.
在上取两点,可知.
时,取等条件为
12.和的零点按从小到大顺序可以分别构成两个等差数列，则所构成的集合为 .
【答案】.
二、选择题（本题共4小题，前2题每小题4分；后2题每小题5分，共18分）
13.*若,则是（ ）.
A.锐角三角形; B.直角三角形; C.钝角三角形; D.无法确定.
【答案】C
14.将某学校一次物理测试学生的成绩统计如下图所示,则估计本次物理测试学生成绩的平均分为（ ）（同一组数据用该组区间的中点值作代表）.
A.68; B.70; C.72; D.74.
【答案】C
【解析】依题意，，解得，
则平均分为.故选：C.
15.*设与是两个不同的幂函数,记,则中的元素个数的可能是（ ）.
A.0、1、2、; B.1、2、3; C.1、2、3、4; D.0、1、2、;3.
【答案】B
16.已知定圆,点A是圆所在平面内一定点,点是圆上的动点,若线段的中垂线交直线于点，则点的轨迹可能是：(1)椭圆；(2)双曲线；(3)抛物线；(4)圆；(5)直线；(6)一个点.其中所有可能的结果有（ ）.
A.2个; B.3个; C.4个; D.5个.
【答案】C
【解析】(1)椭圆（点A在圆内，不包括圆心）(2)双曲线（点A在圆外）(4)圆（点A恰为圆心）(6)一个点（点A在圆上）
三、解答题.（本大题共5小题，满分78分）
17.（本题满分14分,第（1）题满分6分，第（2）题满分8分）
如图所示五面体中,四边形为长方形,平面和是全等的等边三角形.（1）求证:;
（2）若已知,求该五面体的体积.
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】（1）五面体中，因为平面,平面,
平面平面,所以.
（2）过点作,作,垂足分别为,过点作,作,垂足分别为,连接,如图,取中点,连接,
由知,,因为,
且是平面内两相交直线,所以平面,
因为平面,所以,又是平面内两相交直线,
所以平面,在中,,可得,
∴四棱锥和的体积均为,
三棱柱的体积,
所以,该五面体的体积为.
18.（本题满分14分,第(1)题满分6分,第(2)题满分8分)
*设（常数）。
（1）为上的严格增函数，求实数的取值范围；
（2）设，若对于任意，都有成立，求实数的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】（1）求导可得.
在上恒成立,所以等号不同时取到,
故实数的取值范围是
（2）不妨设,则由(1)可知函数在上严格增,故.
此时，不等式等价于。
令.由上一段的论述，函数在是严格增函数，
故在上恒成立,只需.
求导可得
解得.
19.（本题满分14分，第（1）题满分2分，第（2）题满分4分，第（3）题满分8分）
仰晖楼有A、B两部电梯。已知电梯每上一层需要5秒，电梯在某层楼停留时开门到关门所花时间为10秒（人员均能在电梯开关门时间内完成进出电梯和按楼层等操作）.某天清晨，楼上还没有人，1楼已经有若干人均欲乘坐电梯上楼，目的地分别是楼.现两部电梯均恰好在1楼（两部电梯互相独立运行，可以独立开关门，在1楼按下按钮后将同时打开门），且每部电梯容量足够容纳所有人.定义为：从A（B）电梯开门时刻算起，到电梯内最后一人到达目标楼层后A（B）电梯门关闭为止，所花时间.记"运输完成时间"：.
（1）若所有人均乘坐一部电梯，求；
（2）为了研究的最小值，我们需要对电梯的"乘坐安排"作出一些合理假设.例如：假设两部电梯都有人乘坐。理由：分开乘坐，比如去2层的人都坐电梯A，其余人坐电梯B，则均小于（1）中，故"运输完成时间"也小于（1）中，所以要使得最小，两部电梯一定都有人乘坐.请你在此基础上再提出1至2条关于电梯"乘坐安排"的合理假设，并简述作出这些假设的理由（若有多条假设，请按重要性从高到低写出最重要的两条）；
（3）求出最小值.
【答案】（1）145秒 （2）见解析 （3）95秒
【解析】（1）包括1楼，电梯共开关门10次数，上升9层，所以完成运输所花时间秒。
（2）假设一：目的地为同一层楼的人都坐同一部电梯，即A、B电梯所到楼层不重叠.
理由：将目的地为同一层楼的人调整到同一部电梯可以使得其中一部电梯至少节约10秒，这样调整后方案的"运输完成时间"必然不大于原方案.
假设二：不妨设A电梯到达10层，则可假设B电梯停留层数均小于A电梯停留层数.
理由：记B电梯最高到达楼，若存在A电梯到达楼，且的情况.两部电梯交换这两层的人，则不变，至少减少5秒，新方案"运输完成时间"必然不大于原方案.
（3）设A电梯到达楼层为层，，B电梯到达楼层为层.
时，取得最小值95秒，即A电梯目的地为710层，B电梯目的地为层.
20.（本题满分18分，第（1）题满分4分，第（2）题满分6分，第（3）题满分8分）如图，已知椭圆经过点，离心率.
（1）求椭圆的标准方程;
（2）椭圆上任意点轴上一点,若的最小值为,求实数的取值范围;
（3）设是经过右焦点的任一弦（不经过点），直线与直线相交于点，记的斜率分别为,求证:成等差数列.
【答案】（1） （2） （3）见解析
【解析】（1）由题意，点在椭圆上得，可得①
又由,所以②，由①②联立且,可得,
故椭圆的标准方程为.
（2）设，
令,对称轴为,因为,当,
即,,故符合题意;
当,即,
所以,解得,不符合题意;
当,即,,解得；
所以实数的取值范围为:.
（3）由（1）知，椭圆的方程为，可得椭圆右焦点坐标，显然直线斜率存在，设的斜率为，则直线的方程为，
联立方程组,整理得,
易知,设,则有,
由直线的方程为,令,可得,即,
从而,
又因为共线,则有,即有,
所以
将,代入得,
又由，所以，即成等差数列.
21.（本题满分18分，第（1）题满分4分，第（2）题满分6分，第（3）题满分8分）已知是定义在上的函数，满足恒成立.数列满足:，.
（1）若函数,求实数的取值范围;
（2）若函数是上的减函数，求证：对任意正实数，均存在，使得时，均有；
（3）求证："函数是上的增函数"是"存在，使得"的充分非必要条件。
【答案】（1） （2）见解析 （3）见解析
【解析】（1）由，即对一切恒成立，所以
当时,在上单调递增,所以对任意,均有
综上，实数的取值范围为：
（2）证明：由函数在上单调递减，即对一切，均有,
所以对一切,均有,可得:
所以:,对一切
对任意正实数，取，
当时
（3）非必要性:取，在上不是增函数
但,
充分性:假设对一切,均有
所以（*），由递推式
因为为增函数，所以
由(*)可知:对一切均成立
记可知，当时，上述不等式不成立
所以假设错误,即存在,使得.
【附加题】（共10分）
世界上除了圆形的轮子之外，还有一些好事之徒制作了不少形状的多边形轮子．

（1）如图，平面直角坐标系内有一个边长为的点方形，其初始位置为，，，．
①将整个正方形绕点顺时针旋转，使点首次旋转到轴正半轴上停止；
②再将整个正方形绕点顺时针旋转，使点首次选择到轴正半轴上停止；
③再将整个正方形绕点顺时针旋转，使点首次选择到轴正半轴上停止；
④再将整个正方形绕点顺时针旋转，使点首次选择到轴正半轴上停止．
我们将上述四个步骤依次操作一遍，称为将正方形“滚动”一周.
为任点向轴正方向移动100个单位长度，需要将正方形“滚动”_______周，在这个过程中，点经过的路径总长度为________个单位长度；
（2）如果制造一个正边形的“轮子”.该正边形的中心到任意一个顶点的距离为1．共将该正边形的"轮子"振动一周，求点经过的路径总长度；
（3）根据（2）中结果猜想：半径为1的圆形轮子在平地上滚动一周，则圆周上任意一点经过的路径总长度是多少？（不必说明理由）
【答案】（1）见解析 （2） （3）8
【解析】（1）25周,;
（2）息路径
又有：
所以
（3）