沪教版八年级上学期期末模拟试卷-2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

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（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一．选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分）
1．（23-24八年级上·上海静安·期末）下列各函数中，y是x的正比例函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】正比例函数的定义
【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，一般地，形如的函数叫做正比例函数，据此可得答案．
【详解】解：根据正比例函数的定义可知，A选项中的函数是正比例函数，B、C、D三个选项中的函数不是正比例函数，
故选A．
2．（23-24八年级上·上海长宁·期末）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义
【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A．中含有分式，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．，不是整式方程，故本选项不符合题意；
C．当时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D．是一元二次方程，故本选项符合题意．
故选：D．
3．（22-23八年级上·上海长宁·期末）把方程配方后得到的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知识点】解一元二次方程——配方法
【分析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得．
【详解】解：，
，
则，即，
故选：D．
4．（22-23八年级上·上海长宁·期末）在函数的图象上有三点，，，已知，那么下列各式中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】判断反比例函数的增减性、比较反比例函数值或自变量的大小
【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，判断出反比例函数在每个象限的增减性，进而可得到答案．
【详解】解：∵，
∴函数图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，
又∵，
∴．
故选：A．
5．（21-22八年级上·上海青浦·期末）下列二次根式中，最简二次根式的是（ ）.
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式的判断
【分析】本题考查了最简二次根式的识别，解题关键是掌握二次根式满足的条件：①被开方数的因数是整数，字母因式是整式；②被开方数不能含开得尽方的因数或因式．据此逐一判断，即可得到答案．
【详解】解：A、，故A选项不是最简二次根式，不符合题意；
B、，是最简二次根式，符合题意；
C、，故C选项不是最简二次根式，不符合题意；
D、，故D选项不是最简二次根式，不符合题意；
故选：B．
6．（22-23八年级上·上海长宁·期末）在中，、、的对边分别是a、b、c，下列条件不能说明是直角三角形的是（ ）
A． B．∠
C．D．
【答案】C
【知识点】判断三边能否构成直角三角形、用勾股定理解三角形、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形内角和，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识．根据勾股定理及其逆定理可判断A、D选项，根据三角形内角和可判断B、C选项，从而解题．
【详解】解答：解：，
，
故A能，不符合题意；
，，
，
，
故B能，不符合题意；
，，
，
故C不能，符合题意；
，
，
故D能，不符合题意．
故选：C．
第Ⅱ卷
二．填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分）
7．（20-21八年级上·上海青浦·期末）在二次根式，，，中，最简二次根式有 个．
【答案】2/两
【知识点】最简二次根式的判断
【分析】根据最简二次根式的定义求解即可．
【详解】解：在二次根式，，，中，最简二次根式为，，共2个，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，解答的关键是熟知最简二次根式应满足下列两个条件：1、被开方数不含分母；2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
8．（23-24八年级上·上海闵行·期末）函数的定义域是 ．
【答案】且
【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、求自变量的取值范围
【分析】本题考查了求函数定义域，二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解题的关键．
根据二次根式有意义的条件（被开方数大于等于0）和分式有意义的条件（分母不等于0），即可解答．
【详解】∵
∴，
∴且．
故答案为：且．
9．（23-24八年级上·上海崇明·期末）方程的根是 ．
【答案】0或
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，先移项，再利用因式分解的方法解方程即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，，
故答案为：0或．
10．（22-23八年级上·上海长宁·期末）如果函数，那么 ．
【答案】/
【知识点】分母有理化、求自变量的值或函数值
【分析】本题主要考查了求函数值，分母有理化，解题的关键是熟练掌握分母有理化的方法，根据题意得出，然后分母有理化即可．
【详解】解：把代入，
．
故答案为：．
11．（23-24八年级上·上海金山·期末）已知正比例函数的函数值随的增大而增大，则的取值范围为 ．
【答案】/
【知识点】求一元一次不等式的解集、正比例函数的性质
【分析】本题主要考查了正比例函数的图像与性质、解一元一次不等式等知识，理解并掌握正比例函数的图像与性质是解题关键．在正比例函数中，当时，随的增大而增大，据此列不等式并求解即可．
【详解】解：根据题意，正比例函数的函数值随的增大而增大，
则，
解得．
故答案为：．
12．（23-24八年级上·上海长宁·期末）如果关于x的方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 ．
【答案】且
【知识点】一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．根据且列式求解即可．
【详解】解：根据题意得且，
解得且．
故答案为：且．
13．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）如图，在长为米、宽为米的长方形绿地内，修筑三条相同宽且分别平行于长方形相邻两边的道路，把绿地分成块，这块绿地的总面积为平方米．如果设道路宽为米，由题意所列出关于的方程是 ．
【答案】
【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)
【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设道路宽为米，则绿地的长为米，宽为米，解题的关键是正确理解题意，列出方程．
【详解】设道路宽为米，则绿地的长为米，宽为米，由题意得：
，
故答案为：．
14．（21-22八年级上·上海青浦·期末）化简： .（）
【答案】
【知识点】利用二次根式的性质化简
【分析】本题考查了二次根式的化简，根据二次根式的性质和运算法则化简即可求解，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
15．（23-24八年级上·上海金山·期末）如果关于的一元二次方程有一个根是，则 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的解
【分析】把代入，转化为k的方程求解即可．本题考查了方程根的定义即使方程左右两边相等的未知数的值，转化求解是解题的关键．
【详解】把代入，
得，
解得，
故答案为：1．
16．（22-23八年级上·上海长宁·期末）已知点、点在同一个反比例函数的图象上，则点A与点B的距离为 ．
【答案】
【知识点】化为最简二次根式、求反比例函数解析式、求反比例函数值
【分析】本题考查了反比例函数，熟练掌握反比例函数图象和性质，图象上的点的坐标特征，是解决问题的关键．
设反比例函数解析式为，把、点代入，得，求出m的值，而后运用两点间的距离公式计算即可．
【详解】设反比例函数为，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
17．（22-23八年级上·上海·期末）如图，等腰三角形中，，线段的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，则 度．
【答案】54
【知识点】等边对等角、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理的应用
【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
由等腰三角形中，，可求得的度数，又由线段的垂直平分线交于点D，交于点E，可求得，即可求得的度数，继而求得答案．
【详解】解：∵是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∵等腰三角形中，，
∴，
∴．
故答案为：54．
18．（2023·上海虹口·一模）我们规定：如果一个三角形一边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”．如图，已知直线，与之间的距离是3，“等高底”的“等底”在直线上（点在点的左侧），点在直线上，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为点，那么的长为 ．
【答案】或
【知识点】化为最简二次根式、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解
【分析】根据题意分情况画出相应图，然后根据旋转性质找到线段对应关系求解即可．
【详解】解：当如下图所示时，
，，
点到直线的距离为，
，
将绕点顺时针旋转得到，
；
当如下图所示时，
，，
点到直线的距离为，
，，
将绕点顺时针旋转得到，，，
，
在中，，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了旋转性质、勾股定理、二次根式的运算等知识，分情况讨论并画出相应图像是解题关键．
三、解答题：（本大题共9题，19-23题每题6分，24-27题每题7分，满分58分）
19．（23-24八年级上·上海闵行·期末）某商店从厂家以每件30元的价格购进一批商品，经过市场调研发现，若每件商品售价为a元，则可以卖出件；但政府限定每件商品加价不能超过进价的40%，如果店家计划赚330元，那么每件商品售价是多少元？
【答案】每件商品售价是41元
【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可．解题的关键的读懂题意，正确的列出方程．
【详解】解：由题意，得：，
解得：或，
∵政府限定每件商品加价不能超过进价的40%，
∴，
∴．
答：每件商品售价是41元．
20．（22-23八年级上·上海静安·期末）某建筑工程队在靠墙处（可用墙长米），用米长的建筑材料围成一个面积为平方米的长方形仓库，在与墙平行的边上预留出长度为米的门，求这仓库的长和宽．
【答案】这仓库的长为米，宽为米
【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)
【分析】设仓库的宽米，则仓库的长为米，根据题意建立一元二次方程，根据可用墙长米，得出，继而即可求解．
【详解】解：设仓库的宽米，则仓库的长为米，根据题意得，
，
解得：
∵可用墙长米，
∴，
解得：，
∴，
∴米，
∴这仓库的长为米，宽为米．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
21．（23-24八年级上·上海崇明·期末）如图所示，在中，平分，于，于，厘米，厘米．已知的面积为平方厘米，求的长度．
【答案】厘米
【知识点】角平分线的性质定理
【分析】此题主要考查角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，以及三角形面积的求法．
由角平分线的性质可得，，又，据此求解．
【详解】解：平分，于，于，
，
，厘米，厘米，
，
解得
即的长度为3厘米．
22．（23-24八年级上·上海金山·期末）（1）计算：
（2）计算：
【答案】（1）；（2）
【知识点】二次根式的乘除混合运算、二次根式的混合运算、分母有理化
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，按照二次根式的性质，化简计算即可．
(1)按照二次根式的混合运算法则，依次化简计算即可，分母有理化时要特别小心．
(2)按照二次根式的混合运算法则，依次化简计算即可．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
23．（19-20八年级上·上海徐汇·阶段练习）已知y＝y1+y2，其中y1与x2成正比例，y2与x成反比例，并且当x＝时，y＝5，当x＝1时，y＝﹣1，求y与x之间的函数关系式．
【答案】y＝﹣4x2+．
【知识点】求反比例函数解析式
【分析】根据题意分别表示出y1、y2与x关系式，得到y与x关系式，根据待定系数法即可求出函数解析式．
【详解】∵y1与x2成正比例，y2与x成反比例，
∴y1＝kx2，，
∵y＝y1+y2，
∴y＝kx2+，
∵当x＝时y＝5，当x＝1时y＝﹣1，
∴，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣4x2+．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，解题关键是分别表示出y1、y2与x关系式，进而确定y与x关系式．
24．（22-23八年级上·上海长宁·期末）如图，在中，，，垂足为点，是上一点，且．连接，点、分别是、的中点，求证：．

【答案】见解析
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、斜边的中线等于斜边的一半
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据，，推出，从而证明，得出，再根据直角三角形斜边上的中线的性质即可证明．
【详解】证明：，
，，
，
在和中
又点、分别是、的中点
，
．
25．（23-24八年级上·上海虹口·期末）如图，在直角坐标平面内，正比例函数，过点A作轴，垂足为点B，．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)在直线上是否存在点C，使点C到直线的距离等于它到点B的距离？若存在，求点C的坐标，请说明理由；
(3)已知点P在直线上，如果是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
【答案】(1)
(2)或
(3)或或或
【知识点】反比例函数与几何综合、等腰三角形的性质和判定
【分析】（1）将代入得，可得，再将点A代入反比例函数的解析式为，即可得出答案；
（2）根据点A的坐标，可知，过点C作于G，由题意得，分点C在上或的延长线上，分别根据含30°角的直角三角形的性质可得答案；
（3）由，分三种情形，分别得出答案．
【详解】（1）解：，
∴点A的纵坐标为3，
∵正比例函数的图象经过点A，
把代入得，
∴，
设反比例函数的解析式为，
将点代入得，
∴反比例函数的解析式为：；
（2）解：∵轴于点B，设点C的坐标为，
在中，，
由勾股定理得：，
，
，
过点C作于G，
由题意得，
当点C在上时，
则平分，
，
，
，
当点C在延长线上时，
同理可得，
综上所述：点C的坐标为或；
（3）解：当时，则点的坐标为或，
当时，由得，，
，
当时，
，
则平分，
，
综上所述：则点的坐标为或或或．
【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，含角的直角三角形的性质，角平分线的性质和判定，等腰三角形的性质等知识，运用分类讨论思想是解题的关键．
26．（22-23八年级上·上海长宁·期末）在中，已知，，点在射线上，连接，．
(1)如图1，若的垂直平分线经过点，求的度数；
(2)如图2，当点在边上时，求证：；
(3)若，，请直接写出的长．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)或
【知识点】线段垂直平分线的性质、等边对等角、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半
【分析】（1）根据垂直平分线的性质，可推出，得到，再利用三角内角和可得到，求出，最后由，即可得到答案；
（2）取的中点，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得到，从而推出，再由，推出，从而得到，得证；
（3）①当在边上时，作于，由，推出，设，用表示出、、、、，然后在中和在中利用勾股定理建立方程，求解即可；②当在的延长线上时，连接，作于，再取的中点，连接，先证明，同①，设，然后在中和在中利用勾股定理建立方程，求解即可．
【详解】（1）解：的垂直平分线经过点
又
又，
（2）证明：如图1，取的中点，连接
又
（3）解：如图2，当在边上时，作于，
由（2）可知，
设，
，
，
在中，
在中，
解得：，即
如图3，当在的延长线上时，连接，作于，再取的中点，连接．
由题意，
又
设，
．
在中，
在中，
解得：，即
综上，的长为或．
故答案为：的长为或．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并能作出合适的辅助线是解题的关键．
27．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）如图，在中，，，，是边上的中线，动点从点出发以每秒个单位的速度沿线段向终点运动，动点从点出发以每秒个单位的速度在线段上运动，点与点同时出发，设动点运动时间为．
(1)求的长；
(2)若动点在线段上运动，设，求关于的函数解析式，并写出定义域；
(3)若动点在射线上运动，当点运动到终点时，点也停止运动，直接写出当时，的值．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、含30度角的直角三角形、等边对等角、用勾股定理解三角形
【分析】（）设，则，利用勾股定理求出，再根据直角三角形的性质即可求出的长；
（）利用勾股定理求出，再根据三角形面积公式得到，代入即可求解，由即可确定的取值范围；
（）由动点在射线上运动得到，同方法求出，进而得到，解方程即可求解；
本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，求函数解析式，三角形的面积，利用勾股定理得到是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得，
∴，，
∵点为的中线，
∴；
（2）解：如图，过点作于，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵动点在线段上运动，
∴，
∴的取值范围为，
故；
（3）解：动点在射线上运动时，，
∴，
∴，
由整理得，，
即，
解得．