重庆市鲁能巴蜀中学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

这是一份重庆市鲁能巴蜀中学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

命题人：张伟、刘海林、江大军 审题人：张晓波、陈蕾
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一项是符合要求的．
1．直线与互相垂直，则实数（ ）
A．B．C．D．
2．已知空间中，点，则平面的一个法向量为（ ）
A．B．C．D．
3．若直线与圆交于两点，则（ ）
A．1B．C．2D．
4．抛物线上一点到的距离的最小值为（ ）
A．1B．C．D．2
5．已知圆和，若动圆与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为，则的方程为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在平行六面体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，曲线由三部分构成：半圆，半圆，半椭圆，直线交于，动点在曲线上，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．4
8．如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与的左、右支分别交于的内切圆半径为的内切圆半径为，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．如图，已知正方体的棱长为2，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．平面
C．直线与平面所成的角为
D．点与平面的距离为
10．已知实数满足方程，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为
B．的最大值为
C．的最大值为
D．的最大值为5
11．已知双曲线的左，右焦点分别为、，直线与双曲线右支相交于（其中在一象限），若，则列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．的面积为15
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知直线经过点，且是的一个方向向量，则点到的距离为_______．
13．已知抛物线，直线与抛物线相交于，且的中点为，则_______．
14．平面点集所构成区域的面积为_______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知圆，圆，直线．
（1）若圆与圆外切，求实数的值；
（2）若与圆都相切，求实数的值．
16．已知椭圆经过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的左右焦点分别为，过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，若为锐角，求的取值范围．
17．如图，在四棱锥中，，，平面平面．
（1）求证：平面；
（2）若，且平面与平面夹角的余弦值为，求实数的值．
18．已知双曲线的左、右焦点为，直线与双曲线相交于，且．双曲线上任意一点到的距离与到的距离的比为．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）斜率存在且不为0的直线与双曲线相切．
①若与相交于点，与相交于点证明：为定值；
②若与直线和分别相交于，证明：四点共圆．
19．已知点在抛物线上，过点作斜率为1的直线交于另一个点，设与关于轴对称，再过作斜率为1的直线交与另一个点，设与关于轴对称，以此类推一直做下去，设．
（1）求抛物线的方程；
（2）求证：数列是等差数列，并求；
（3）求的面积．
高2026届高二（上）半期考试数学参考答案
3．【答案】【详解】，所以．
4．【答案】C【详解】，当时取得
5．【答案】A
【详解】圆心、半径分别为，
由可知圆内含于圆内，
设动圆半径为，由题意，
两式相加可得，
故点的轨迹为以为焦点的椭圆，其中，
所以，所以椭圆方程为．
6．【答案】A
【详解】由条件可知，，
，
，
，所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为．
7．【答案】B
【详解】，故
显然当点在半圆上且时，面积最大
故
8．【答案】D
【详解】设，则
故在和中由余弦定理可得
解得，则
，则
9．【答案】ABD
10．【答案】BCD
【详解】，设，
对于A，则
对于B
对于C，设，则，故
对于D，
11．【答案】ACD
【详解】，则，A正确
由，知，则，
中由余弦定理可得，故，B错误
设，则中由余弦定理可的，
则，C正确
，D正确
12．【答案】
【详解】，故，
设直线与直线所成的角为，则，故，
点到直线的距离为．
13．【答案】3
【详解】由点差法可得，则
14．【答案】
【详解】由题设表示圆心为，其在圆心为原点，半径为1的圆上显然轨迹是圆心在单位圆上，且半径为5的圆，故点集与原点距离最远恒为6，最近恒为4，
所以的轨迹为圆心为，外径为6，内径为4的圆环，
所以平面点集所构成区域的面积为．
15．【答案】（1）或；（2）或
【详解】（1）
则，解得或
（2），解得（舍负），，故或
16．【答案】（1）；（2）
【详解】（1）设椭圆，则，即
（2）由（1）知，设，
方法1：
显然，则不妨设，其中，
联立椭圆方程，则，
易知，由为锐角可得
，故．
方法2：设
联立椭圆方程
则，易知
由为锐角可得
化简的．
17．【答案】（1）证明见解析；（2）．
【详解】（1）由题意：，同理，
又．而，即
又平面平面，平面平面平面，
平面平面，又，
且面面平面
（2）以为原点，为轴，过作平面的垂线作为轴，如图建系，
则，
，
，有
令是平面的一个法向量，则，即
令，则，即
取面的一个法向量，
，解得．
18．【答案】（1）；（2）①；②见详解
【详解】（1）在双曲线上，则
设，则，即
注：取直接，则，也不扣分
又，解得，即
（2）设带入双曲线得
故
①
故
②
故
即，同理，故四点在以为直径的圆上
19．【答案】（1）；（2）；（3）16
【详解】（1）
（2）方法一：在抛物线上，则
过，且斜率为1的直线
可得
解得或，所以，可得，
所以数列是以首项为，公差为的等差数列，
所以
方法二：因为点在抛物线上，
所以，两式相减得：．
所以：可得，
所以数列是以首项为，公差为的等差数列，
所以
（3）方法一：，则直线，
到直线的距离
故
方法二：
则直线，设直线与相交于
令，可得，即
则
则
方法三：由（2）知：，
设
则梯形的面积为
即，同理可得，
又梯形的面积为
，
即，则的面积为：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
C
B
D
C
A
A
B
D
ABD
BCD
ACD
3