四川省成都市金牛区铁路中学2024—-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

这是一份四川省成都市金牛区铁路中学2024—-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷，共32页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）如图是由5个相同的小立方块搭成的几何体，从正面看这个几何体是（ ）
A．B．C．D．
2．（4分）已知，则的值是（ ）
A．B．C．3D．
3．（4分）用配方法解方程x2﹣4x﹣3＝0，则配方正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝1B．（x+2）2＝1C．（x﹣2）2＝7D．（x+2）2＝7
4．（4分）如图，点O，F在直线AD上，E在直线BC上，且AB∥EF∥CD，OF＝1，FD＝2，则（ ）
A．B．C．D．
5．（4分）如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列的一个条件后（ ）
A．＝B．∠B＝∠DC．＝D．∠C＝∠AED
6．（4分）若▱ABCD中对角线AC、BD相交于点O，则下列说法正确的是（ ）
A．当OA＝OD时，▱ABCD为菱形
B．当AB＝AD时，▱ABCD为正方形
C．当∠ABC＝90°时，▱ABCD为矩形
D．当AC⊥BD时，▱ABCD为矩形
7．（4分）某种音乐播放器MP3原来每只售价400元，经过连续两次降价后，现在每只售价为256元，则可列方程为（ ）
A．400（1﹣x）＝256B．400（1﹣x）2＝256
C．256（1﹣x）＝400D．256（1﹣x）2＝400
8．（4分）如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，那么∠BOE的度数为（ ）
A．55°B．65°C．75°D．67.5°
二、填空题（共5小题，每题4分，共20分)
9．（4分）在一个不透明的袋子里装有红球和白球共30个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，则袋子里白球可能是 个．
10．（4分）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，△DEF面积为9，则的值为 ．
11．（4分）2023年第19届杭州亚运会的会徽“潮涌”将自然奇观与人文精神进行巧妙融合，其中浪潮设计借助了黄金分割比以给人协调的美感．如图，若点C可看作是线段AB的黄金分割点（AC＜CB），则BC＝ cm．（结果保留根号）
12．（4分）如图，小明用长为2.5m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度，使竹竿、旗杆的顶端的影子恰好落在地面的同一点O．此时，竹竿与这一点O相距6m、与旗杆相距12m m．
13．（4分）如图，在△ABC中，D是边AB上一点
①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AB，N；
②以点D为圆心，以AM长为半径作弧，交DB于点M′；
③以点M′为圆心，以MN长为半径作弧，在∠BAC内部交前面的弧于点N′；
④过点N′作射线DN′交BC于点E．
若△BDE与四边形ACED的面积比为4：21，则的值为 ．
三、解答题(共48分)
14．（12分）（1）计算：；
（2）解方程：x2﹣6x﹣7＝0．
15．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实根．
（1）求实数k的取值范围．
（2）方程的两个实数根分别为x1，x2，若（x1﹣1）（x2﹣1）＝﹣1，求k的值．
16．（8分）3月14日是国际数学日．某校在“国际数学日”当天举行了丰富多彩的数学活动，其中游戏类活动有：A．数字猜谜；B．数独；D．24点游戏；E．数字华容道．该校为了解学生对这五类数学游戏的喜爱情况（每位学生必选且只能选一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示．
根据上述信息，解决下列问题．
（1）本次调查总人数为 ，并补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
（2）若该校有3000名学生，请估计该校参加魔方游戏的学生人数；
（3）该校从C类中挑选出2名男生和2名女生，计划从这4名学生中随机抽取2名学生参加市青少年魔方比赛，请用列表或画树状图的方法
17．（10分）如图，点D在△ABC的边AB上，∠ACD＝∠B，
（1）求证：△ACD∽△ABC；
（2）若AD＝1，BD＝3，求AC的长．
18．（10分）已知矩形ABCD，点E、F分别在AD、DC边上运动，连接BF、CE
（1）如图1，若，CF＝4，∠AEP+∠ABP＝180°；
（2）如图2，若∠EBF＝∠DEC，，求；
（3）如图3，连接AP，若∠EBF＝∠DEC，BC＝3，求PB的长度．
一、填空题（每小题4分，共20分)
19．（4分）若m、n是方程x2+2x﹣3＝0的两个实数根，则代数式m2+3m+n＝ ．
20．（4分）在△ABC中，AB＝8，BC＝16，点Q是BC边上一个动点，当BQ＝ 时，△BPQ与△BAC相似．
21．（4分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A和C分别落在y轴与x轴的正半轴上，OC＝8．若直线y＝2x+b把矩形分成面积相等的两部分，则b的值等于 ．
22．（4分）有一个数字游戏，第一步：取一个自然数n1＝5，计算n1•（3n1+1）得a1，第二步：算出a1的各位数字之和得n2，计算n2•（3n2+1）得a2，第三步算出a2的各位数字之和得n3，计算n3•（3n3+1）得a3；…以此类推，则a2024的值为 ．
23．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，BH⊥AC于点H．交AF于点G，点D在直线AF上运动，∠BDE＝135°，∠ABH＝45°，BE的长为 ．
二、解答题（共30分）
24．（8分）某超市以每千克40元的价格购进菠萝蜜，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠．现决定降价销售（千克）与每千克降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）若超市要想获利2400元，且让顾客获得更大实惠，这种菠萝蜜每千克应降价多少元？
25．（10分）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x﹣交x轴于点A，直线y＝﹣x+3交x轴于点C
（1）如图1，连接BC，求△BCD的面积；
（2）如图2，在直线y＝﹣x+3上存在点E，求点E的坐标；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接OE，点P在直线EF上，在平面中存在一点Q，E，P，Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．
26．（12分）（1）问题发现
（1）如图1，△ABC和△CDE均为等边三角形，直线AD和直线BE交于点F．
填空：①∠AFB的度数是 ；②线段AD，BE之间的数量关系为 ；
（2）类比探究
如图2，△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠DEC＝90°，DE＝EC，直线AD和直线BE交于点F．请判断∠AFB的度数及线段AD，并说明理由．
（3）解决问题
如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，点D在AB边上，AE＝3，将△ADE绕着点A在平面内旋转，点C到直线DE的距离．
2024-2025学年四川省成都市金牛区铁路中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(共8小题，每题4分，共32分)
1．（4分）如图是由5个相同的小立方块搭成的几何体，从正面看这个几何体是（ ）
A．B．C．D．
【考点】由三视图判断几何体；简单组合体的三视图．
【答案】A
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看，从左到右共3列、2、6，
故选：A．
2．（4分）已知，则的值是（ ）
A．B．C．3D．
【考点】比例的性质．
【答案】D
【分析】根据＝得出＝，再把要求的式子化成﹣1，然后进行计算即可得出答案．
【解答】解：∵＝，
∴＝，
∴＝﹣1＝．
故选：D．
3．（4分）用配方法解方程x2﹣4x﹣3＝0，则配方正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝1B．（x+2）2＝1C．（x﹣2）2＝7D．（x+2）2＝7
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【答案】C
【分析】先把﹣3移到方程的右边，然后方程两边都加4，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式即可．
【解答】解：∵x2﹣4x﹣4＝0，
∴x2﹣3x＝3，
∴x2﹣5x+4＝3+2，
∴（x﹣2）2＝6．
故选：C．
4．（4分）如图，点O，F在直线AD上，E在直线BC上，且AB∥EF∥CD，OF＝1，FD＝2，则（ ）
A．B．C．D．
【考点】平行线分线段成比例．
【答案】A
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算，得到答案．
【解答】解：∵AO＝2，OF＝1，
∴AF＝5+1＝3，
∵AB∥EF∥CD，
∴＝＝，
故选：A．
5．（4分）如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列的一个条件后（ ）
A．＝B．∠B＝∠DC．＝D．∠C＝∠AED
【考点】相似三角形的判定．
【答案】C
【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠4+∠BAE＝∠2+∠BAE，
∴∠DAE＝∠BAC，
∴选项B、D根据两角对应相等判定△ABC∽△ADE，
选项A根据两边成比例夹角相等判定△ABC∽△ADE，
选项C中不是夹这两个角的边，所以不相似，
故选：C．
6．（4分）若▱ABCD中对角线AC、BD相交于点O，则下列说法正确的是（ ）
A．当OA＝OD时，▱ABCD为菱形
B．当AB＝AD时，▱ABCD为正方形
C．当∠ABC＝90°时，▱ABCD为矩形
D．当AC⊥BD时，▱ABCD为矩形
【考点】正方形的判定；平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定．
【答案】C
【分析】根据矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定可得出结论．
【解答】解：当OA＝OD时，平行四边形ABCD是不一定是菱形；
当AB＝AD时，▱ABCD不一定为正方形；
当∠ABC＝90°时，▱ABCD为矩形；
当AC⊥BD时，▱ABCD为是菱形；
故选：C．
7．（4分）某种音乐播放器MP3原来每只售价400元，经过连续两次降价后，现在每只售价为256元，则可列方程为（ ）
A．400（1﹣x）＝256B．400（1﹣x）2＝256
C．256（1﹣x）＝400D．256（1﹣x）2＝400
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【答案】B
【分析】根据原价、降价的百分比、售价的关系列方程即可．
【解答】解：第一次降价后的售价为400（1﹣x）元，第二次降价后的售价为400（1﹣x）8元，
因此可列方程为：400（1﹣x）2＝256，
故选：B．
8．（4分）如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，那么∠BOE的度数为（ ）
A．55°B．65°C．75°D．67.5°
【考点】矩形的性质．
【答案】C
【分析】根据矩形的性质和全等三角形的判定、性质，由BO＝BE，∠OBE的度数，然后即可计算出∠BOE的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ABC＝90°，AC＝BD，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，
∴∠BAE＝∠BEA＝45°，
∴AB＝BE，
∴AC＝2CD，
∴BD＝2AB，
∴BO＝BE，
∴∠BOE＝∠BEO，
∵OA＝OC，OB＝OD，
∴△AOD≌△COB（SAS），
∴∠OAD＝∠OBC＝30°，
∴∠OBE＝30°，
∴∠BOE＝∠BEO＝＝75°，
故选：C．
二、填空题（共5小题，每题4分，共20分)
9．（4分）在一个不透明的袋子里装有红球和白球共30个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，则袋子里白球可能是 9 个．
【考点】利用频率估计概率．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据红球出现的频率和球的总数，可以计算出红球的个数．
【解答】解：由题意可得，
30×0.3＝2（个），
即袋子中白球的个数最有可能是9个，
故答案为：9．
10．（4分）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，△DEF面积为9，则的值为 ．
【考点】位似变换．
【答案】．
【分析】根据位似变换的概念得到△ABC∽△DEF，AC∥DF，根据相似三角形的性质得到＝，再根据相似三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，
∴△ABC∽△DEF，AC∥DF，
∵△ABC面积为1，△DEF面积为9，
∴＝，
∵AC∥DF，
∴△OAC∽△ODF，
∴＝＝，
∴＝，
故答案为：．
11．（4分）2023年第19届杭州亚运会的会徽“潮涌”将自然奇观与人文精神进行巧妙融合，其中浪潮设计借助了黄金分割比以给人协调的美感．如图，若点C可看作是线段AB的黄金分割点（AC＜CB），则BC＝ （5﹣5） cm．（结果保留根号）
【考点】黄金分割．
【答案】（5﹣5）．
【分析】根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．
【解答】解：∵点C可看作是线段AB的黄金分割点（AC＜CB），AB＝10cm，
∴BC＝AB＝﹣5）cm，
故答案为：（6﹣5）．
12．（4分）如图，小明用长为2.5m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度，使竹竿、旗杆的顶端的影子恰好落在地面的同一点O．此时，竹竿与这一点O相距6m、与旗杆相距12m 7.5 m．
【考点】相似三角形的应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】由平行线证明三角形相似，利用相似三角形对应边成比例解题即可．
【解答】解：∵竹竿CD和旗杆AB均垂直于地面，
∴CD∥AB，
∴△OCD∽△OAB，
∴，即＝，
∴AB＝3CD＝7.3m；
故答案为：7.5．
13．（4分）如图，在△ABC中，D是边AB上一点
①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AB，N；
②以点D为圆心，以AM长为半径作弧，交DB于点M′；
③以点M′为圆心，以MN长为半径作弧，在∠BAC内部交前面的弧于点N′；
④过点N′作射线DN′交BC于点E．
若△BDE与四边形ACED的面积比为4：21，则的值为 ．
【考点】作图—基本作图；相似三角形的判定与性质．
【答案】．
【分析】由作图知∠A＝∠BDE，由平行线的性质得到DE∥AC，证得△BDE∽△BAC，根据相似三角形的性质即可求出答案．
【解答】解：由作图知，∠A＝∠BDE，
∴DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC，
△BAC的面积：△BDE的面积＝（△BDE的面积+四边形ACED的面积）：△BDE的面积＝1+四边形ACED的面积：△BDE的面积＝1+＝，
∴△BDE的面积：△BAC的面积＝（）2＝，
∴＝，
∴＝．
故答案为：．
三、解答题(共48分)
14．（12分）（1）计算：；
（2）解方程：x2﹣6x﹣7＝0．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．
【答案】（1）6﹣+3；（2）x1＝7，x2＝﹣1．
【分析】（1）先计算负整数指数幂，零指数幂，化简绝对值，求平方根，然后进行加减运算即可．
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【解答】解：（1）
＝4﹣+1+3
＝6﹣+6；
（2）x2﹣7x﹣7＝0，
（x﹣6）（x+1）＝0，
x3＝7，x2＝﹣7．
15．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实根．
（1）求实数k的取值范围．
（2）方程的两个实数根分别为x1，x2，若（x1﹣1）（x2﹣1）＝﹣1，求k的值．
【考点】根与系数的关系；根的判别式．
【答案】（1）k≤；
（2）﹣3．
【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式计算即可；
（2）利用一元二次方程的根与系数关系，代入所给的等式即可求值．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣6＝0有实根，
∴Δ＝37﹣4（k﹣2）≥4，
解得k≤；
（2）∵方程的两个实数根分别为x1，x8，
∴x1+x2＝﹣7，x1x2＝k﹣6，
∵（x1﹣1）（x3﹣1）＝﹣1，
∴x5x2﹣（x1+x8）+1＝﹣1，
∴k﹣4+3+1＝﹣6，
解得k＝﹣3，符合题意．
故所求k的值为﹣3．
16．（8分）3月14日是国际数学日．某校在“国际数学日”当天举行了丰富多彩的数学活动，其中游戏类活动有：A．数字猜谜；B．数独；D．24点游戏；E．数字华容道．该校为了解学生对这五类数学游戏的喜爱情况（每位学生必选且只能选一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示．
根据上述信息，解决下列问题．
（1）本次调查总人数为 200 ，并补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
（2）若该校有3000名学生，请估计该校参加魔方游戏的学生人数；
（3）该校从C类中挑选出2名男生和2名女生，计划从这4名学生中随机抽取2名学生参加市青少年魔方比赛，请用列表或画树状图的方法
【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由20人占调查总人数的10%可得本次调查总人数为200；即可求出喜欢24点游戏的有50人，从而补全条形统计图．
（2）用调查总人数中参加魔方游戏的占列式计算可得该校参加魔方游戏的学生人数约为900人；
（3）画出树状图，再用概率公式可得答案．
【解答】解：（1）20÷10%＝200（人），
∴本次调查总人数为200；
200﹣（40+20+60+30）＝50（人），
∴喜欢24点游戏的有50人；
补全条形统计图如下：
故答案为：200；
（2）3000×＝900（人），
∴该校参加魔方游戏的学生人数约为900人；
（3）根据题意画树状图如下：
共有12种等可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生有7种，
∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率是＝．
17．（10分）如图，点D在△ABC的边AB上，∠ACD＝∠B，
（1）求证：△ACD∽△ABC；
（2）若AD＝1，BD＝3，求AC的长．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【答案】（1）证明见解析；
（2）2．
【分析】（1）根据相似三角形的判定可得出结论；
（2）由相似三角形的性质可得出，则可得出答案．
【解答】（1）证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC；
（2）解：∵△ACD∽△ABC，
∴，
∵AD＝1，BD＝3，
∴AB＝7，
∴AC2＝AD•AB＝1×5＝4，
∴AC＝2（负值舍去）．
即AC的长为4．
18．（10分）已知矩形ABCD，点E、F分别在AD、DC边上运动，连接BF、CE
（1）如图1，若，CF＝4，∠AEP+∠ABP＝180°；
（2）如图2，若∠EBF＝∠DEC，，求；
（3）如图3，连接AP，若∠EBF＝∠DEC，BC＝3，求PB的长度．
【考点】四边形综合题．
【答案】（1）线段DE的长度为；
（2）＝；
（3）PB的长度为．
【分析】（1）根据矩形的性质可得：AB＝CD，AD＝BC，∠A＝∠D＝∠BCD＝90°，＝＝，结合四边形内角和可证得△CED∽△BFC，得出＝＝，即可求得答案；
（2）根据已知条件可证得△EBP∽△ECB，得出＝＝，进而得出EB＝EP，利用EC＝EP+PC，即可得出答案．
（3）过点A作AH⊥BP于H，过点P作MN⊥BC于N，交AD于M，根据等腰三角形性质可得BH＝HP，设BH＝HP＝x，则BP＝2x，即＝，仿照（2）可得△EBP∽△ECB，得出＝＝＝，推出＝，由MN∥CD，可得＝＝，得出PM＝，PN＝2﹣，再证得△BPN∽△ABH，得出＝，解方程2（2﹣）＝2x2，即可求得答案．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∵，
∴＝＝，
∵∠A+∠ABP+∠BPE+∠AEP＝360°，∠AEP+∠ABP＝180°，
∴∠A+∠BPE＝180°，
∴∠BPE＝180°﹣∠A＝180°﹣90°＝90°＝∠CPF，
∴∠ECD+∠CFB＝90°，
∵∠FBC+∠CFB＝90°，
∴∠ECD＝∠FBC，
∴△CED∽△BFC，
∴＝＝，
∵CF＝4，
∴DE＝CF＝；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠DEC＝∠ECB，
∵∠EBF＝∠DEC，
∴∠EBF＝∠ECB，
∵∠BEP＝∠CEB，
∴△EBP∽△ECB，
∴＝＝，
∵＝，
∴＝＝，
∴EB＝EP，
∵EC＝EP+PC，
∴＝，
∴＝，
∴＝；
（3）如图6，过点A作AH⊥BP于H，交AD于M，
∵AP＝AB＝2＝CD，AH⊥BP，
∴BH＝HP，设BH＝HP＝x，
∵BC＝AD＝3，
∴＝，
∵∠EBF＝∠DEC，由（2）得△EBP∽△ECB，
∴＝＝＝，
∴EB＝EP，
∴＝，即＝，
∵MN∥CD，
∴＝＝，
∴PM＝，
∵∠D＝∠DCN＝∠MNC＝90°，
∴四边形CDMN是矩形，
∴MN＝CD＝2，
∴PN＝2﹣，
∵∠BNP＝∠AHB＝90°，
∴∠PBN+∠BPN＝90°，
∵∠PBN+∠ABH＝90°，
∴∠BPN＝∠ABH，
∴△BPN∽△ABH，
∴＝，
∴AB•PN＝BH•BP，
∴7（2﹣）＝2x4，
∴x2＝，
∵x＞0，
∴x＝，
∴BP＝2x＝，
故PB的长度为．
一、填空题（每小题4分，共20分)
19．（4分）若m、n是方程x2+2x﹣3＝0的两个实数根，则代数式m2+3m+n＝ 1 ．
【考点】根与系数的关系．
【答案】1．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求出m+n，mn和m2+2m的值，然后把所求代数式写成含有m+n和m2+2m的形式，再整体代入计算算即可．
【解答】解：∵m、n是方程x2+2x﹣8＝0的两个实数根，
∴m十n＝﹣2，mn＝﹣6，m2+2m＝4，
m2+3m+n
＝m6+2m+m+n
＝3+（﹣6）
＝1，
故答案为：1．
20．（4分）在△ABC中，AB＝8，BC＝16，点Q是BC边上一个动点，当BQ＝ 2或8 时，△BPQ与△BAC相似．
【考点】相似三角形的判定．
【答案】2或8．
【分析】直接利用△BPQ∽△BAC或△BPQ∽△BCA，分别得出答案．
【解答】解：∵AB＝8，BC＝16，
∴BP＝4．
当△BPQ∽△BAC时，
∴＝，
∴＝，
解得：BQ＝8；
当△BPQ∽△BCA时，
则＝，
∴＝，
解得：BQ＝2，
综上所述：当BQ＝2或8时，△BPQ与△BAC相似．
故答案为：2或6．
21．（4分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A和C分别落在y轴与x轴的正半轴上，OC＝8．若直线y＝2x+b把矩形分成面积相等的两部分，则b的值等于 ﹣5 ．
【考点】中心对称；一次函数图象上点的坐标特征；矩形的性质．
【答案】﹣5．
【分析】当直线经过AC的中点时，直线把矩形的面积等分，求出AC的中点，代入直线的解析式求出b即可．
【解答】解：∵OA＝6，OC＝8，
∴A（5，6），0），
∴AC中点的坐标为（3，3），
∵当直线y＝2x+b经过AC的中点时，直线把矩形的面积等分，
把（3，3）代入y＝2x+b得，
2×4+b＝3，
解得b＝﹣2．
故答案为：﹣5．
22．（4分）有一个数字游戏，第一步：取一个自然数n1＝5，计算n1•（3n1+1）得a1，第二步：算出a1的各位数字之和得n2，计算n2•（3n2+1）得a2，第三步算出a2的各位数字之和得n3，计算n3•（3n3+1）得a3；…以此类推，则a2024的值为 200 ．
【考点】规律型：数字的变化类．
【答案】200．
【分析】根据题意，可以写出n1，a1，n2，a2．n3，a3，n4，a4，然后即可发现数字的变化特点，从而可以写出a2024的值．
【解答】解：由题意可得，
n1＝5，a6＝5×（3×5+1）＝80，
n2＝5+0＝8，a2＝8×（3×7+1）＝200，
n3＝7+0+0＝4，a3＝2×（7×2+1）＝14，
n7＝1+4＝7，a4＝5×（3×5+1）＝80，
…，
由上可得，每三个为一个循环，
2024÷3＝674……2，
∴a2024＝a2＝200，
故答案为：200．
23．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，BH⊥AC于点H．交AF于点G，点D在直线AF上运动，∠BDE＝135°，∠ABH＝45°，BE的长为 2 ．
【考点】相似三角形的应用；垂线段最短．
【答案】见试题解答内容
【分析】如图，连接CG，CE．证明△DBG∽△EBC，推出∠BGD＝∠BCE＝112.5°，推出∠ACE＝45°，推出点E的运动轨迹是直线EC，推出当AE⊥EC时，AE的值最小，再利用勾股定理求出BE即可．
【解答】解：如图，连接CG．
∵BH⊥AC，
∴∠BHA＝90°，
∵∠ABH＝45°，
∴∠BAC＝45°，
∵AB＝AC，AF⊥BC，
∴∠BAF＝∠CAF＝22.5°，BF＝CF，
∴GB＝GC，
∴∠BGF＝∠CGF＝67.5°，
∴∠GBF＝∠GCF＝22.2°，
∵DB＝DE，∠BDE＝135°，
∴∠DBE＝∠DEB＝22.5°，
∴∠DBE＝∠GBC＝∠DEB＝∠GCF，
∴△DBE∽△GBC，
∴＝，
∴＝，
∵∠DBG＝∠EBC，
∴△DBG∽△EBC，
∴∠BGD＝∠BCE＝112.5°，
∵∠ACB＝67.2°，
∴∠ACE＝45°，
∴点E的运动轨迹是直线EC，
∴当AE⊥EC时，AE的值最小AC＝8，
此时∠BAE＝90°，BE＝＝，
故答案为2．
二、解答题（共30分）
24．（8分）某超市以每千克40元的价格购进菠萝蜜，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠．现决定降价销售（千克）与每千克降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）若超市要想获利2400元，且让顾客获得更大实惠，这种菠萝蜜每千克应降价多少元？
【考点】一元二次方程的应用；一次函数的应用．
【答案】（1）y＝20x+60（0＜x＜20）；
（2）这种菠萝蜜每千克应降价12元．
【分析】（1）观察函数图象，根据图象上点的坐标，利用待定系数法，即可求出y与x之间的函数关系式；
（2）利用总利润＝每千克的销售利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可求出x的值，再结合要让顾客获得更大实惠，即可得出这种菠萝蜜每千克应降价7元．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
将（2，100），160）代入y＝kx+b得：，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y＝20x+60（0＜x＜20）．
故答案为：y＝20x+60（7＜x＜20）．
（2）根据题意得：（60﹣x﹣40）（20x+60）＝2400，
整理得：x2﹣17x+60＝0，
解得：x4＝5，x2＝12，
又∵要让顾客获得更大实惠，
∴x＝12．
答：这种菠萝蜜每千克应降价12元．
25．（10分）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x﹣交x轴于点A，直线y＝﹣x+3交x轴于点C
（1）如图1，连接BC，求△BCD的面积；
（2）如图2，在直线y＝﹣x+3上存在点E，求点E的坐标；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接OE，点P在直线EF上，在平面中存在一点Q，E，P，Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．
【考点】一次函数综合题．
【答案】（1）11；
（2）E（2，）；
（3）点Q的坐标为（，﹣）或（，2）或（﹣，﹣2）．
【分析】（1）对于直线y＝﹣3x﹣，令x＝0，则y＝﹣，故点B（0，﹣），同理可得点D（0，3）、（4，0），△BCD的面积＝×BD×OC，即可求解；
（2）证明△EHB≌△RGE（AAS），则RG＝EH，BH＝GE，即可求解；
（3）利用平移的性质求解即可．
【解答】解：（1）对于直线y＝﹣3x﹣，令x＝0，故点B（0，﹣）；
对于y＝﹣x+8，则y＝3，即﹣，
解得：x＝4，
故点D（0，5），0），
则BD＝3+＝，OC＝7，
△BCD的面积＝×BD×OC＝；
（2）由题意，∠ABE＝45°，点E只能直线在AB的右侧，过点E作y轴的平行线交过点R与x轴的平行线于点G，如图8，
设点E（m，﹣m+8），﹣3n﹣），
∵∠ABE＝45°，故ER＝EB，
∵∠REG+∠BEH＝90°，∠BEH+∠EBH＝90°，
∴∠REG＝∠EBH，
∵∠EHB＝∠RGE＝90°，EB＝ER，
∴△EHB≌△RGE（AAS），
∴RG＝EH，BH＝GE，
即m＝﹣3n﹣+m﹣4，﹣＝m﹣n，
解得，
故点E（2，）；
（3）如图3，设EF交x轴于点M，
∵点E（2，），C（4，D（7，
∴EC＝＝，CD＝，
∵过点E作CD的垂线交y轴于点F，
∴∠MEC＝90°，
∴△CEM∽△COD，
∴＝，
∴＝，
解得：CM＝，
∴OM＝4﹣＝，
由点E、M的坐标得x﹣，
设点P（a，a﹣），t），
点O向右平移5个单位向上平移个单位得到E，
同样点P（Q）向右平移8个单位向上平移个单位得到Q（P），
当点P在点Q的下方时，
则a+6＝s且a﹣+，
OE＝OP，即22+（）2＝a3+（a﹣）2②，
联立①②并解得：a＝6或﹣，
故点Q的坐标为（，﹣）（不合题意的值已舍去）；
当点P在点Q的上方时，
同理可得，点Q的坐标为（，﹣2）．
综上，点Q的坐标为（，﹣，2）或（﹣．
26．（12分）（1）问题发现
（1）如图1，△ABC和△CDE均为等边三角形，直线AD和直线BE交于点F．
填空：①∠AFB的度数是 60° ；②线段AD，BE之间的数量关系为 AD＝BE ；
（2）类比探究
如图2，△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠DEC＝90°，DE＝EC，直线AD和直线BE交于点F．请判断∠AFB的度数及线段AD，并说明理由．
（3）解决问题
如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，点D在AB边上，AE＝3，将△ADE绕着点A在平面内旋转，点C到直线DE的距离．
【考点】几何变换综合题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）证明△ACD≌△BCE（SAS），即可解决问题．
（2）结论：∠AFB＝45°，AD＝BE．证明△ACD∽△BCE，可得＝＝，∠CBF＝∠CAF，由此即可解决问题．
（3）分两种情形分别求解即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，
∵△ABC和△CDE均为等边三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠ACD＝∠CBF，
设BC交AF于点O．
∵∠AOC＝∠BOF，
∴∠BFO＝∠ACO＝60°，
∴∠AFB＝60°，
故答案为60°，AD＝BE．
（2）结论：∠AFB＝45°，AD＝．
理由：如图6中，
∵∠ABC＝∠DEC＝90°，AB＝BC，
∴∠ACD＝45°+∠BCD＝∠BCE，＝＝，
∴△ACD∽△BCE，
∴＝＝，∠CBF＝∠CAF，
∵∠AFB+∠CBF＝∠ACB+∠CAF，
∴∠AFB＝∠ACB＝45°．
（3）如图7中，
∵AEB＝∠ACB＝90°，
∴A，B，C，E四点共圆，
∴∠CEB＝∠CAB＝30°，∠ABD＝∠ACE，
∵∠FAE＝∠BAC＝30°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD∽△CAE，
∴＝＝cs30°＝，
∴EC＝BD，
在Rt△ADE中，∵DE＝，
∴AE＝DE＝3，
∴BE＝＝4，
∴BD＝BE﹣DE＝4﹣，
∴CE＝BD＝6﹣，
∵∠BEC＝30°，
∴点C到直线DE的距离等于CE•sin30°＝﹣．
如图4中，当D，同法可知BD＝DE+EB＝4+BD＝8+，
点C到直线DE的距离等于CE•sin30°＝+．
综上所述，点C到直线DE的距离等于±．