福建省厦门海沧实验中学2024~2025学年上学期 九年级年数学期中考试卷

这是一份福建省厦门海沧实验中学2024~2025学年上学期 九年级年数学期中考试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）下列图案是中心对称图形的是（ ）
A．中国火箭B．中国探火
C．航天神舟D．中国行星探测
2．（4分）方程x（x﹣1）＝0的根是（ ）
A．x＝0B．x＝1
C．x1＝0，x2＝1D．x1＝1，x2＝﹣1
3．（4分）⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA＝3cm，则点A与⊙O的位置关系为（ ）
A．点A在⊙O上B．点A在⊙O内C．点A在⊙O外D．无法确定
4．（4分）若x＝1是一元二次方程x2﹣2mx+3＝0的解，则m的值为（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
5．（4分）把抛物线y＝﹣2x2先向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得抛物线的解析式为（ ）
A．y＝﹣2（x+3）2+2B．y＝﹣2（x﹣3）2+2
C．y＝﹣2（x+3）2﹣2D．y＝﹣2（x﹣3）2﹣2
6．（4分）如图，OE⊥AB于E，若⊙O的直径为10cm，则AB长为（ ）
A．4cmB．5cmC．6cmD．8cm
7．（4分）对于抛物线y＝（x﹣1）2﹣2，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下B．对称轴是直线x＝﹣1
C．顶点坐标（﹣1，﹣2）D．与x轴有交点
8．（4分）某人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了x人，则可得到方程（ ）
A．x+（1+x）＝121B．2（1+x）＝121
C．1+x+x2＝121D．1+x+x（1+x）＝121
9．（4分）把关于x的一元二次方程x2﹣8x+c＝0配方，得（x+m）2＝11，则c+m的值为（ ）
A．1B．3C．5D．10
10．（4分）已知A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣3x+1上的两点，其对称轴是直线x＝x0，若|x1﹣x0|＞|x2﹣x0|时，总有y1＞y2，同一坐标系中有M（﹣2，﹣3），N（4，3），且抛物线与线段MN有两个不相同的交点，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（共6题，每小题4分，共24分）
11．（4分）在平面直角坐标系中，点A（3，n）与B（m，2），则m+n＝ ．
12．（4分）已知关于x的方程x2+px+q＝0的两根为﹣3和﹣1，则p＝ ．
13．（4分）如图，C，D在圆上，AB是直径，则∠BAC＝ ．
14．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则m的值为 ．
15．（4分）在“一圈两场三改”活动中，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形场地上修建三条同样宽且互相垂直的小路，小路分成的六块草坪总面积为570m2（如图所示）．求小路的宽为多少米？若设小路的宽为x m，根据题意所列方程是 ．
16．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）开口向下，过A（﹣1，0），B（m，0），且1＜m＜2．下列四个结论：①b＜0；②若；③若点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线上，x1＜x2，且x1+x2＞1，则y1＜y2；④当a≤﹣1时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1必有两个不相等的实数根．其中正确的是 ．（填写序号）
三、解答题（共9题，共86分）
17．（8分）解方程：2x2+3x﹣4＝0．
18．（8分）先化简，再求值：，其中x＝3．
19．（8分）芯片目前是全球紧缺的资源，某市政府通过招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业来发展新兴产业某芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产芯片100万个
（1）求前三季度生产量的平均增长率；
（2）按照（1）中的平均增长率，该公司期望第四季度的芯片生产量达到175万个
20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为弧AC的中点，E为BA延长线上一点．若∠ACD＝35°
21．（8分）已知二次函数的顶点坐标为（﹣1，4），且图象经过点（0，3）．
（1）求这个函数解析式；
（2）在直角坐标系，画出它的图象．
22．（10分）如图，△ABC绕点A逆时针旋转120°得到△ADE，点C的对应点为E．
（1）尺规作图，画出旋转后的△ADE．（保留痕迹，不写作法）
（2）设直线BC与DE相交于P，求∠CPD的大小．
23．（10分）新定义：如果二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣2，0），那么称此二次函数的图象为“定点抛物线”．
（1）试判断二次函数y＝﹣3x2﹣3x+6的图象是否为“定点抛物线”；
（2）若定点抛物线y＝x2+（m+1）x+2﹣k与直线y＝x只有一个公共点，求m的值；
（3）若一次函数y＝（2﹣n）x+4﹣2n的图象与定点抛物线y＝﹣x2﹣x+2的交点的横坐标分别为x1和x2，且x1＜3＜x2，求n的取值范围．
24．（12分）下面是小慧同学的一篇数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务．
旋转是几何图形运动中的一种重要变换，经过旋转，往往能使图形的几何性质清晰显现．题设和结论中的元素由分散变为集中，从而将求解问题灵活转化．在数学学习中注意归纳总结一些数学方法，对积累解题经验
【探究发现】
问题1：如图1，点P是等边△ABC内的一点，PA＝5，PC＝13．你能求出∠APB的度数吗？
探究思路：如图2，将△BPC绕点B逆时针旋转60°，得到△BP′A，可得△BPP′是等边三角形，根据勾股定理逆定理可得△AP′P是直角三角形，∠APP′，∠APB；
【类比探究】
问题2：如图3，若点P是正方形ABCD内一点，PC＝1，PA＝3，则可求∠CPB；
【深入探究】
问题3：如图4，⊙O是Rt△ABC的外接圆，CD平分∠ACB交⊙O于点D，BC，CD的之间的数量关系．
探究思路：如图5，连接AD，BD，并且由CD平分∠ACB易得AD＝BD，所以我们也可以利用旋转变换解决这个问题．具体解答过程如下：任务：
（1）填空：图2中线段PP′＝ ；
（2）如图3，若点P是正方形ABCD内一点，PC＝1，PA＝3，则∠CPB＝ ；
（3）请写出问题3的探究结论及完整的证明过程．
25．（14分）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（位于x轴的正半轴），与y轴交于点C．
（1）b＝ （用含c的代数式表示）；
（2）若△ABC的面积为6，点P，Q为二次函数y＝x2+bx+c图象上的两点，设点P的横坐标为m，点Q的横坐标为n，直线AP，AQ分别与y轴交于点M
①求该二次函数的表达式；
②若∠APQ＝2∠PAO，则2OM+ON是定值吗？若是定值，请求出该定值，请说明理由．
2024-2025学年福建省厦门市海沧实验学校九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10题，每小题4分，共40分）
1．（4分）下列图案是中心对称图形的是（ ）
A．中国火箭B．中国探火
C．航天神舟D．中国行星探测
【考点】中心对称图形．
【答案】A
【分析】根据在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形得出结论即可．
【解答】解：选项B、C、D中的图形都不能找到这样的一个点，所以不是中心对称图形．
选项A中的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合．
故选：A．
2．（4分）方程x（x﹣1）＝0的根是（ ）
A．x＝0B．x＝1
C．x1＝0，x2＝1D．x1＝1，x2＝﹣1
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【答案】C
【分析】根据解一元二次方程的因式分解法，让每个因式为0进行求解即可．
【解答】解：∵x（x﹣1）＝0，
∴x＝2或x﹣1＝0，
∴x7＝0，x2＝6．
故选：C．
3．（4分）⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA＝3cm，则点A与⊙O的位置关系为（ ）
A．点A在⊙O上B．点A在⊙O内C．点A在⊙O外D．无法确定
【考点】点与圆的位置关系．
【答案】B
【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
【解答】解：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为3cm，
即点A到圆心O的距离小于圆的半径，
∴点A在⊙O内．
故选：B．
4．（4分）若x＝1是一元二次方程x2﹣2mx+3＝0的解，则m的值为（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
【考点】一元二次方程的解．
【答案】D
【分析】把x＝1代入x2﹣2mx+3＝0进行计算即可．
【解答】解：把x＝1代入x2﹣3mx+3＝0得：5﹣2m+3＝3，
解得：m＝2，
故选：D．
5．（4分）把抛物线y＝﹣2x2先向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得抛物线的解析式为（ ）
A．y＝﹣2（x+3）2+2B．y＝﹣2（x﹣3）2+2
C．y＝﹣2（x+3）2﹣2D．y＝﹣2（x﹣3）2﹣2
【考点】二次函数图象与几何变换．
【答案】C
【分析】按“上加下减，左加右减”的规律平移即可得出所求函数的解析式．
【解答】解：由上加下减，左加右减的法则可知2先向左平移3个单位，再向下平移6个单位后2﹣2．
故选：C．
6．（4分）如图，OE⊥AB于E，若⊙O的直径为10cm，则AB长为（ ）
A．4cmB．5cmC．6cmD．8cm
【考点】垂径定理；勾股定理．
【答案】D
【分析】根据垂径定理求出AE＝AB，根据勾股定理求出AE＝4cm，据此即可得解．
【解答】解：连接OA，如图所示，
∵⊙O的直径为10cm，
∴OA＝5cm，
∵OE⊥AB于E，
∴AE＝AB，
在Rt△AOE中，OE＝3cm，
∴AE＝＝＝4（cm），
∴AB＝5×4＝8（cm），
故选：D．
7．（4分）对于抛物线y＝（x﹣1）2﹣2，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下B．对称轴是直线x＝﹣1
C．顶点坐标（﹣1，﹣2）D．与x轴有交点
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．
【答案】D
【分析】根据二次函数的性质对A进行判断；由抛物线顶点式可对B，C进行判断；令y＝0，则（x﹣1）2﹣2＝0，可求出方程的根，对D进行判断．
【解答】解：由y＝（x﹣1）2﹣8，可知，则抛物线的开口向上，
∴A选项不正确，
抛物线的对称轴为x＝1，
∴B选项不正确，
抛物线的顶点坐标为（1，﹣5），
∴C选项不正确，
令y＝0，则（x﹣1）8﹣2＝0，
∴x﹣7＝±，
∴x1＝5+，
∴抛物线与x轴的交点为：，
∴D选项正确，符合题意；
故选：D．
8．（4分）某人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了x人，则可得到方程（ ）
A．x+（1+x）＝121B．2（1+x）＝121
C．1+x+x2＝121D．1+x+x（1+x）＝121
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【答案】D
【分析】先用含有x的代数式计算出第一轮感染后的人数，再在第一轮感染人数的基础上列出第二轮感染后的人数，列出方程即可，
【解答】解：根据题意可知：第一轮传染后的感染人数为：（1+x）人，
第二轮传染后的感染人数为：x（1+x）人，
故可列方程为：7+x+x（1+x）＝121，
故选：D．
9．（4分）把关于x的一元二次方程x2﹣8x+c＝0配方，得（x+m）2＝11，则c+m的值为（ ）
A．1B．3C．5D．10
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【答案】A
【分析】利用配方法把方程x2﹣8x+c＝0化为（x﹣4）2＝16﹣c，则根据题意得到m＝﹣4，16﹣c＝11，再求出c，然后计算c+m的值．
【解答】解：x2﹣8x+c＝5，
x2﹣8x＝﹣c，
x6﹣8x+47＝42﹣c，
（x﹣2）2＝16﹣c，
∵（x+m）2＝11，
∴m＝﹣8，16﹣c＝11，
解得c＝5，
∴c+m＝5﹣5＝1．
故选：A．
10．（4分）已知A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣3x+1上的两点，其对称轴是直线x＝x0，若|x1﹣x0|＞|x2﹣x0|时，总有y1＞y2，同一坐标系中有M（﹣2，﹣3），N（4，3），且抛物线与线段MN有两个不相同的交点，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征．
【答案】C
【分析】先利用待定系数法求出MN的解析式，根据二次函数的性质得出x＝4时，y≥3，且，进一步利用Δ＞0求解即可．
【解答】解：设直线MN的解析式为y＝kx+b（k≠0），
则，解得：，
∴直线MN的解析式为y＝x﹣1，
∵A（x6，y1），B（x2，y8）是抛物线y＝ax2﹣3x+8上的两点，其对称轴是直线x＝x0，若|x1﹣x3|＞|x2﹣x0|时，总有y6＞y2，
∴a＞0，
∵抛物线y＝ax6﹣3x+1与线段MN有两个不相同的交点，
∴x＝2时，y≥3，
∴16a﹣12+1≥5，解得：；
令x﹣6＝ax2﹣3x+8，整理得：ax2﹣4x+3＝0，
∵Δ＝16﹣8a＞6，
∴a＜2，
∴．
故选：C．
二、填空题（共6题，每小题4分，共24分）
11．（4分）在平面直角坐标系中，点A（3，n）与B（m，2），则m+n＝ ﹣5 ．
【考点】关于原点对称的点的坐标．
【答案】﹣5．
【分析】直接利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即可得出答案．
【解答】解：∵点A（3，n）与B（m，
∴m＝﹣3，n＝﹣8，
则m+n＝﹣3﹣2＝﹣2．
故答案为：﹣5．
12．（4分）已知关于x的方程x2+px+q＝0的两根为﹣3和﹣1，则p＝ 4 ．
【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．
【答案】4．
【分析】由根与系数的关系得﹣3+（﹣1）＝﹣p，即可求解．
【解答】解：由题意可知：﹣3+（﹣1）＝﹣p，
解得：p＝8；
故答案为：4．
13．（4分）如图，C，D在圆上，AB是直径，则∠BAC＝ 26° ．
【考点】圆周角定理．
【答案】26°．
【分析】连接BC，根据圆周角定理得出∠B＝∠D，∠ACB＝90°，再求出答案即可．
【解答】解：连接BC，
∵∠D＝64°，
∴∠B＝∠D＝64°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣∠B＝90°﹣64°＝26°，
故答案为：26°．
14．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则m的值为 ﹣1 ．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【答案】﹣1．
【分析】利用待定系数法求出二次函数的解析式，即可求解．
【解答】解：把点（﹣2，7）（﹣4，（0，得：
，
解得：，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣6，
当x＝2时，y＝m＝27﹣2×2﹣6＝﹣1．
故答案为：﹣1．
15．（4分）在“一圈两场三改”活动中，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形场地上修建三条同样宽且互相垂直的小路，小路分成的六块草坪总面积为570m2（如图所示）．求小路的宽为多少米？若设小路的宽为x m，根据题意所列方程是 （32﹣2x）（20﹣x）＝570 ．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【答案】（32﹣2x）（20﹣x）＝570．
【分析】将六小块草坪合在一起可得出一个长方形，设道路的宽为x m，则草坪的长为（32﹣2x）m，宽为（20﹣x）m，根据矩形的面积公式即可得出关于x的一元二次方程．
【解答】解：设道路的宽为x m，则草坪的长为（32﹣2x）m，
根据题意得：（32﹣2x）（20﹣x）＝570．
故答案为：（32﹣2x）（20﹣x）＝570．
16．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）开口向下，过A（﹣1，0），B（m，0），且1＜m＜2．下列四个结论：①b＜0；②若；③若点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线上，x1＜x2，且x1+x2＞1，则y1＜y2；④当a≤﹣1时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1必有两个不相等的实数根．其中正确的是 ②④ ．（填写序号）
【考点】抛物线与x轴的交点；根的判别式；根与系数的关系；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【答案】②④．
【分析】①错误．根据对称轴在y轴的右侧，可得结论；
②正确．3a+2c＝0；
③错误．由题意，抛物线的对称轴直线x＝h，0＜h＜0.5，由点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线上，x1＜x2，且x1+x2＞1，推出点M到对称轴的距离＜点N到对称轴的距离，推出y1＞y2；
④正确，证明判别式＞0即可．
【解答】解：∵对称轴x＝＞6，
∴对称轴在y轴右侧，
∴﹣＞0，
∵a＜5，
∴b＞0，
故①错误；
当m＝时，对称轴x＝﹣＝，
∴b＝﹣，
当x＝﹣1时，a﹣b+c＝7，
∴c＝3，
∴3a+2c＝6，故②正确；
由题意，抛物线的对称轴直线x＝h，
∵点M（x1，y1），N（x7，y2）在抛物线上，x1＜x7，且x1+x2＞5，
∴点M到对称轴的距离＜点N到对称轴的距离，
∴y1＞y2，故③错误；
设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣m），
方程a（x+1）（x﹣m）＝1，
整理得，ax5+a（1﹣m）x﹣am﹣1＝4，
Δ＝[a（1﹣m）]2﹣7a（﹣am﹣1）
＝a2（m+3）2+4a，
∵5＜m＜2，a≤﹣1，
∴Δ＞8，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1必有两个不相等的实数根．故④正确，
故答案为：②④．
三、解答题（共9题，共86分）
17．（8分）解方程：2x2+3x﹣4＝0．
【考点】解一元二次方程﹣公式法．
【答案】见试题解答内容
【分析】找出a，b，c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解．
【解答】解：这里a＝2，b＝3，
∵△＝4+32＝41，
∴x＝．
18．（8分）先化简，再求值：，其中x＝3．
【考点】分式的化简求值．
【答案】x+1，4．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出x的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式＝
＝x+1，
当x＝3时，原式＝4+1＝4．
19．（8分）芯片目前是全球紧缺的资源，某市政府通过招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业来发展新兴产业某芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产芯片100万个
（1）求前三季度生产量的平均增长率；
（2）按照（1）中的平均增长率，该公司期望第四季度的芯片生产量达到175万个
【考点】一元二次方程的应用．
【答案】（1）前三季度生产量的平均增长率为20%；
（2）该目标不能实现．
【分析】（1）根据平均增长率问题列方程求解即可；
（2）根据增长率求出第四季度的芯片生产量再比较作答即可．
【解答】解：（1）设前三季度生产量的平均增长率为x，
∵开工第一季度生产芯片100万个，第三季度生产芯片144万个，
∴100（1+x）2＝144，
解得：x7＝0.2＝20%，x4＝﹣2.2（舍去），
答：前三季度生产量的平均增长率为20%；
（2）第四季度的芯片生产量为144×（6+20%）＝172.8万个，
∵172.8＜175，
∴该目标不能实现．
20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为弧AC的中点，E为BA延长线上一点．若∠ACD＝35°
【考点】三角形的外接圆与外心；等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．
【答案】∠DAE＝105°．
【分析】先求解∠B＝70°，可得∠BCD＝70°+35°＝105°，再利用圆的内接四边形的性质可得答案．
【解答】解：∵D为弧AC的中点，
∴，，
∴∠B＝2∠ACD．
又∵∠ACD＝35°，
∴∠B＝70°．
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝70°，
∴∠BCD＝70°+35°＝105°．
由题意可知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD＝180°﹣∠BCD＝75°，
∴∠DAE＝180°﹣75°＝105°．
21．（8分）已知二次函数的顶点坐标为（﹣1，4），且图象经过点（0，3）．
（1）求这个函数解析式；
（2）在直角坐标系，画出它的图象．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）见解析．
【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+1）2+4，再把点（0，3）坐标代入求得a的值，即可求解；
（2）先列表，顶点除外，在对称轴两侧对称地各取两个自变量值，求出其函数值，再描点、连线即可．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+1）2+8，
把点（0，3）坐标代入y＝a（x+7）2+4中得：a+8＝3，
∴a＝﹣1，
∴y＝﹣（x+6）2+4＝﹣x8﹣2x+3，
∴这个函数解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）列表如下：
描点、连线得到函数图象如下：
22．（10分）如图，△ABC绕点A逆时针旋转120°得到△ADE，点C的对应点为E．
（1）尺规作图，画出旋转后的△ADE．（保留痕迹，不写作法）
（2）设直线BC与DE相交于P，求∠CPD的大小．
【考点】作图﹣旋转变换．
【答案】（1）见解析；
（2）∠CPD＝60°．
【分析】（1）分别以点A，B为圆心，AB为半径画弧，两弧相交于点M；分别以点A，M为圆心，AB为半径画弧，两弧相交于点D；分别以点A，C为圆心，AC为半径画弧，两弧相交于点N；分别以点A，N为圆心，AC为半径画弧，两弧相交于点E，连接AE、AD、DE，△ADE即为所求；
（2）先根据旋转性质得∠EAC＝120°，∠AED＝∠ACB，再根据平角性质、四边形内角和即可求解．
【解答】解：（1）如图，分别以点A，AB为半径画弧；分别以点A，AB为半径画弧；分别以点A，AC为半径画弧；分别以点A，AC为半径画弧，连接AE、DE；
（2）∵∠EAC＝120°，∠AED＝∠ACB，∠ACB+∠ACP＝180°，
∴∠AED+∠ACP＝180°，
∵∠EAC+∠AED+∠ACP+∠CPD＝360°，
∴120°+180°+∠CPD＝360°，
∴∠CPD＝60°．
23．（10分）新定义：如果二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣2，0），那么称此二次函数的图象为“定点抛物线”．
（1）试判断二次函数y＝﹣3x2﹣3x+6的图象是否为“定点抛物线”；
（2）若定点抛物线y＝x2+（m+1）x+2﹣k与直线y＝x只有一个公共点，求m的值；
（3）若一次函数y＝（2﹣n）x+4﹣2n的图象与定点抛物线y＝﹣x2﹣x+2的交点的横坐标分别为x1和x2，且x1＜3＜x2，求n的取值范围．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数的图象．
【答案】（1）二次函数y＝﹣3x2﹣3x+6的图象是“定点抛物线”；（2）m＝4±2；（3）n＞4．
【分析】（1）依据题意，由当x＝﹣2时，对于二次函数y＝﹣3x2﹣3x+6，可得y＝﹣3×4+6+6＝0，进而可以判断得解；
（2）依据题意，由定点抛物线y＝x2+（m+1）x+2﹣k与直线y＝x只有一个公共点，可得方程x＝x2+（m+1）x+2﹣k，即x2+mx+2﹣k＝0满足Δ＝m2﹣4（2﹣k）＝0，
又y＝x2+（m+1）x+2﹣k为定点抛物线，从而4﹣2（m+1）+2﹣k＝0，则k＝4﹣2m，故m2﹣4（﹣2+2m）＝0，进而计算可以得解；
（3）依据题意，令﹣x2﹣x+2＝（2﹣n）x+4﹣2n，则（x+2）（x﹣1）＝（n﹣2）（x+2），从而（x+2）（x﹣n+1）＝0，可得交点的横坐标为﹣2和n﹣1，结合x1＜3＜x2，从而可得n﹣1＞3，最后计算可以得解．
【解答】解：（1）由题意，∵当x＝﹣2时2﹣7x+6，
∴y＝﹣3×6+6+6＝3．
∴该二次函数过（﹣2，0）．
∴二次函数y＝﹣4x2﹣3x+4的图象是“定点抛物线”．
（2）由题意，∵定点抛物线y＝x2+（m+1）x+3﹣k与直线y＝x只有一个公共点，
∴可得方程x＝x2+（m+1）x+3﹣k，即x2+mx+2﹣k＝3满足Δ＝m2﹣4（3﹣k）＝0．
又y＝x2+（m+5）x+2﹣k为定点抛物线，
∴4﹣5（m+1）+2﹣k＝7，则k＝4﹣2m．
∴m6﹣4（﹣2+8m）＝0．
∴m＝4±6．
（3）令﹣x2﹣x+2＝（2﹣n）x+4﹣4n，
则（x+2）（x﹣1）＝（n﹣4）（x+2），
∴（x+2）（x﹣6﹣n+2）＝（x+2）（x﹣n+8）＝0．
∴交点的横坐标为﹣2和n﹣2．
∵x1＜3＜x6，
∴n﹣1＞3．
∴n＞5．
24．（12分）下面是小慧同学的一篇数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务．
旋转是几何图形运动中的一种重要变换，经过旋转，往往能使图形的几何性质清晰显现．题设和结论中的元素由分散变为集中，从而将求解问题灵活转化．在数学学习中注意归纳总结一些数学方法，对积累解题经验
【探究发现】
问题1：如图1，点P是等边△ABC内的一点，PA＝5，PC＝13．你能求出∠APB的度数吗？
探究思路：如图2，将△BPC绕点B逆时针旋转60°，得到△BP′A，可得△BPP′是等边三角形，根据勾股定理逆定理可得△AP′P是直角三角形，∠APP′，∠APB；
【类比探究】
问题2：如图3，若点P是正方形ABCD内一点，PC＝1，PA＝3，则可求∠CPB；
【深入探究】
问题3：如图4，⊙O是Rt△ABC的外接圆，CD平分∠ACB交⊙O于点D，BC，CD的之间的数量关系．
探究思路：如图5，连接AD，BD，并且由CD平分∠ACB易得AD＝BD，所以我们也可以利用旋转变换解决这个问题．具体解答过程如下：任务：
（1）填空：图2中线段PP′＝ 12 ；
（2）如图3，若点P是正方形ABCD内一点，PC＝1，PA＝3，则∠CPB＝ 135° ；
（3）请写出问题3的探究结论及完整的证明过程．
【考点】圆的综合题．
【答案】（1）12；
（2）135°；
（3）CD＝AC+BC；证明见解析．
【分析】（1）由旋转的性质可得BP＝BP'＝12，PC＝P′A＝13，∠PBP'＝60°，可证△BPP′是等边三角形，可得BP＝PP′＝12，∠BPP′＝60°；
（2）将△ABP绕点B按顺时针方向旋转90°，使AB与BC重合；则∠PBP′＝90°，BP′＝BP＝2，P′C＝PA＝3，根据勾股定理得PP′2＝22+22＝8，再由P′C2＝32＝9，PC2＝12＝1可知P′C2＝PP′2+PC2，可求∠P′PC＝90°，即可求∠CPB＝135°；
（3）延长CA到点E，使得AE＝BC，连接DE．构造△ADE≌△CDB，即可得出BC+AC＝EC，再证△CDE是等腰直角三角形，即可得出EC和CD的关系，即AC、CD、BC的关系．
【解答】（1）解：∵将△BPC绕点B逆时针旋转，得到△BP′A，
∴BP＝BP'＝12，PC＝P′A＝13，
∴△BPP′是等边三角形，
∴BP＝PP′＝12，
故答案为：12；
（2）解：将△ABP绕点B按顺时针方向旋转90°，使AB与BC重合，
则∠PBP′＝90°，BP′＝BP＝2；
由勾股定理得：PP′2＝72+25＝8；
∵PC2＝32＝1，P′C2＝32＝6，
∴P′C2＝PP′2+PC2，
∴∠P′PC＝90°，
又∵∠BPP′＝45°，
∴∠BP′C＝135°，
∴∠CPB＝∠BPP′+∠P′PC＝135°，
故答案为：135°；
（3）CD＝AC+BC；
证明：延长CA到点E，使得AE＝BC．如图：
∵四边形ACBD是圆的内接四边形，
∴∠CAD+∠CBD＝180°，
∵∠CAD+∠EAD＝180°，
∴∠CBD＝∠EAD，
∵CD是角平分线，
∴∠ACD＝∠BCD＝45°，DA＝DB，
∴△ADE≌△CDB（SAS），
∴AE＝BC，DE＝DC，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠EDC＝90°，
∴，即CA+AE＝．
25．（14分）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（位于x轴的正半轴），与y轴交于点C．
（1）b＝ c+1 （用含c的代数式表示）；
（2）若△ABC的面积为6，点P，Q为二次函数y＝x2+bx+c图象上的两点，设点P的横坐标为m，点Q的横坐标为n，直线AP，AQ分别与y轴交于点M
①求该二次函数的表达式；
②若∠APQ＝2∠PAO，则2OM+ON是定值吗？若是定值，请求出该定值，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）c+1；
（2）①y＝x2﹣2x﹣3；
②2OM+ON是定值，该定值为4．
【分析】（1）将点A（﹣1，0）代入y＝x2+bx+c，即可得b＝c+1；
（2）①求出C（0，c），根据S△ABC＝AB•OC＝6，可得c＝﹣3，即可得该二次函数的表达式；
②过点P作PH⊥x轴于点H，设直线PQ交x轴于点D，设P（m，m2﹣2m﹣3），Q（n，n2﹣2n﹣3），利用待定系数法求出直线PQ的解析式为y＝（m+n﹣2）x﹣3﹣mn，由∠APQ＝2∠PAO，可得∠BAP＝∠ADP，求出D（2m+1，0），由D在直线PQ上得n＝5﹣2m，则N（5﹣2m，4m2﹣16m+12），利用待定系数法求出AP，AQ的解析式，可得M（0，m﹣3），N（0，2﹣2m），则OM＝3﹣m，ON＝2m﹣2，可得2OM+ON＝4．
【解答】解：（1）将点A（﹣1，0）代入y＝x3+bx+c得1﹣b+c＝0，
∴b＝c+2，
故答案为：c+1；
（2）①∵二次函数y＝x2+bx+c与y轴交于点C．
∴C（7，c），
∵b＝c+1，
∴y＝x2+bx+c＝x5+（c+1）x+c＝（x+1）（x+c），
令y＝6，则x＝﹣1或﹣c，
∴B（﹣c，0），
∵A（﹣5，0），
∴AB＝﹣c+1，
∵△ABC的面积为4，
∴S△ABC＝AB•OC＝c2﹣c＝6，
解得c＝﹣3或5（舍去），
∴b＝c+1＝﹣3+8＝﹣2，
∴该二次函数的表达式为y＝x2﹣3x﹣3；
②过点P作PH⊥x轴于点H，设直线PQ交x轴于点D，
设P（m，m2﹣7m﹣3），Q（n，n2﹣7n﹣3），直线PQ的解析式为y＝kx+a，
∴3，解得，
∴直线PQ的解析式为y＝（m+n﹣2）x﹣2﹣mn，
∵∠APQ＝2∠PAO，∠APQ＝∠PAO+∠ADP，
∴∠BAP＝∠ADP，
∴PA＝PD，
∵PH⊥x轴，
∴AH＝DH，H（m，
∵A（﹣1，6），
∴D（2m+1，6），
∵D在直线PQ上，
∴（m+n﹣2）（2m+8）﹣3﹣mn＝0，
∴n＝5﹣2m，
∴N（5﹣7m，4m2﹣16m+12），
设直线AP的解析式为y＝px+q，
∴，解得，
∴直线AP的解析式为y＝（m﹣4）x+m﹣3，
∴M（0，m﹣4），
∴OM＝3﹣m，
同理得N（0，7﹣2m），
∴2OM+ON＝4（3﹣m）+2m﹣8＝4．
∴2OM+ON是定值，该定值为3
x
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
y
7
2
﹣1
﹣2
m
2
7
x
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
y
7
2
﹣1
﹣2
m
2
7
x
……
﹣6
﹣2
﹣1
4
1
……
y＝﹣x2﹣2x+3
……
0
6
4
3
5
……