【高考数学】圆锥曲线解答题汇编（含答案）-学案

这是一份【高考数学】圆锥曲线解答题汇编（含答案）-学案，共111页。学案主要包含了避免联立的情形，相交情况下的目标处理，相切情况下的目标处理，定值等内容，欢迎下载使用。
圆锥曲线外的预备知识
直线的相关知识，斜率，直线方程的形式，定点问题，对称问题，直线系
圆的相关知识，三种定义，圆系
向量的相关知识。
利用不等式求最值的相关知识
利用函数和导数求最值的相关知识
一、避免联立的情形
1.1 点差法
[温州]21．（本题满分15分）已知点在抛物线上，点，为抛物线上动点，且．
（I）若，求点的坐标；
（II）在抛物线上是否存在定点，使得线段总被直线平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
21.解：（1）在抛物线上， ……2分
设，则由得，即 ……5分
（2）方法一：设直线的方程为，代入抛物线方程得到
……7分
设 ……9分
由得， ……11分
即，即直线BC的方程为
直线BC恒过定点 ……13分
而点关于点E的对称点为点在抛物线上
所以存在点，使得线段AD总被直线BC平分. ……15分
方法二：设，则
则直线BC的方程为 ……7分
由得 ……9分
代入直线BC的方程得到， ……11分
得到直线BC恒过定点 ……13分
而点关于点E的对称点为点在抛物线上
所以存在点，使得线段AD总被直线BC平分. ……15分
1.2纯坐标
[诸暨期末]21．（本题满分15分）如图，、分别是椭圆的左、右顶点，点在椭圆上，且位于轴的上方，直线交直线于点.
（1）若点的纵坐标为，求的面积；
（2）当时，求中垂线在
轴上的截距的取值范围.
21.（1）由知直线 -------2分
由 -------------2分
---------2分
（2）设有
则 可知 -------1分
故PQ中点 -------1分
PQ中垂线：--------1分
设截距为，则

-------------2分
又
-------------2分
， -------------2分
21.设曲线与在轴上方仅有一个公共点.
求实数的取值范围；
为原点，若与轴的负半轴交于点，当时，试求的面积的最大值.
21本题主要考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.满分15分.
（1）联立方程组消去得 = 1 \* GB3 ① …2分
故，问题（1）转化为
方程 = 1 \* GB3 ①在上有唯一解或等根.只需讨论以下三种情况：
得，此时，当且仅当，即时适合；
，当且仅当；
得，此时，当且仅当，即时适合；得，此时，
当且仅当，无解，从而.
综上可知，当时，或；
当时，.……………………………6分
（2）的面积.因为，故当时，，由唯一性得，
显然当时，取得最小，此时，从而取得最大，此时，从而.
当时，，，此时.……. .…………10分
下面比较与的大小：令，得.
故当时，，此时；当时，，此时.……………………………15分
1.3几何法

[.3绍兴一模]21．(本小题满分15分)已知点，在椭圆：上．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是线段上的点，直线交椭圆于，两点．若△是斜边长为的直角三角形，求直线的方程．
【解析】（Ⅰ）因为点在椭圆上，所以， 2分
故椭圆的方程为. 4分
（Ⅱ）设.由消去，得，
则，，， 6分
． 7分
①当为斜边时，，解得，满足，此时以为直径的圆方程为． 8分
点分别在圆外和圆内，即在线段上存在点，此时直线的方程，满足题意． 10分
②当为直角边时，两平行直线与的距离， 11分
所以，即，解得或（舍）, 又，所以. 13分
过点作直线:的垂线,可得垂足坐标为,垂足在椭圆外，即在线段上存在点，所以直线的方程，符合题意． 14分
综上所述，直线的方程为或． 15分
二、相交情况下的目标处理
2.1弦长
2.1.1 普通弦
21. 已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的长轴长为4，离心率e＝eq \f(\r(2),2).
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆C的左顶点为A，右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线l：x＝3分别交于M，N两点，求线段MN的长度的最小值．

解：(1)由题意得2a＝4，故a＝2，∵e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2)，∴c＝eq \r(2)，b2＝22－(eq \r(2))2＝2，……3分
∴所求的椭圆方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1. ……………4分
(2)依题意，直线AS的斜率k存在，且k>0，故可设直线AS的方程为y＝k(x＋2)，从而M(3,5k)，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋2,\f(x2,4)＋\f(y2,2)＝1))得(1＋2k2)x2＋8k2x＋8k2－4＝0. ……………6分
设S(x1，y1)，则(－2)×x1＝eq \f(8k2－4,1＋2k2)，得x1＝eq \f(2－4k2,1＋2k2)，从而y1＝eq \f(4k,1＋2k2)，
即Seq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2－4k2,1＋2k2)，\f(4k,1＋2k2)))， ……………8分
又由B(2,0)可得直线SB的方程为
eq \f(y－0,\f(4k,1＋2k2)－0)＝eq \f(x－2,\f(2－4k2,1＋2k2)－2)，
化简得y＝－eq \f(1,2k)(x－2)， ……………10分
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝－\f(1,2k)x－2，,x＝3，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝－\f(1,2k)))，∴Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，－\f(1,2k)))，……………11分
故|MN|＝5k＋eq \f(1,2k)，……………12分
又∵k>0，∴|MN|＝5k＋eq \f(1,2k)≥2 eq \r(5k·\f(1,2k))＝eq \r(10)，…………14分
当且仅当5k＝eq \f(1,2k)，即k＝eq \f(\r(10),10)时等号成立．
∴k＝eq \f(\r(10),10)时，线段MN的长度取最小值eq \r(10).……………15分

[台州调考]21．（本小题满分15分）如图，在椭圆中，过坐标原点作两条互相垂直的射线与分别交于两点．
（I）已知直线的斜率为，用表示线段的长度；
（II）过点作于点，点为椭圆
上一动点，求线段长度的取值范围．
21. （本小题满分为15分）
解：（I）由题意，可设．
由，得．
于是，（*） ………………2分
则． ………………4分
又由，知，
即，将（*）代入化简得
． ……………………6分
所以． ………8分
（II）若设直线，则（），可设．
由（I）可知，（**）
由，得．再代入，得．
代入（**），有，即．
因，故有．………………11分当直线的斜率为0或不存在时，显然符合．故点的轨迹方程为． ………………12分
所以，．而的最大值为，最小值为，所以，的取值范围为．…………………15分
21．已知椭圆：，右顶点为，离心率为，直线
：与椭圆相交于不同的两点，，过的中点作垂直于的直线，设与椭圆相交于不同的两点，，且的中点为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设原点到直线的距离为，求的取值范围．
21．解：（Ⅰ）得.
（Ⅱ）（Ⅱ）由 得，
设，，则
故. :，即 .由得，
设，,
则，故.故= .又. 所以=. 令，
则= .
2.1.2 焦点弦
[台州一模]21．（本小题满分15分）已知椭圆．
(Ⅰ) 若椭圆的两个焦点与一个短轴顶点构成边长为2的正三角形，求椭圆的标准方程；
(Ⅱ) 过右焦点的直线与椭圆交于两点，过点作的垂线，交直线
于点，若的最小值为，试求椭圆离心率的取值范围．
21．（本小题满分为15分）解：（Ⅰ）依条件知，即．而，故所求椭圆的标准方程为．…………………4分
（Ⅱ）设焦点，则直线，且． …………5分
联立 得，
则 进而．
于是． …………8分
易知，得． ……10分
所以．……11分令，则． 设函数．
（1）若，则在上单调递增．故当时，．
此时，的最小值为，若，则（矛盾），不合题意．…12分
（2）若，则在上单调递减，在上单调递增．故当时，．此时，的最小值为．…………14分 于是，由，得，即． 故椭圆的离心率的取值范围为． …………15分
（嘉兴一模）．（本题满分15分）过离心率为的椭圆的右焦点作直线与椭圆交于不同的两点，设，.
（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若，求中边上中线长的取值范围．
解：（Ⅰ）∵，，∴
即椭圆的方程为：. …7分
（Ⅱ）（1）当直线的斜率为0时，显然不成立.
（2）设直线，设，
联立得
得，，
由，得
∵，∴
∴
又∵边上的中线长为
…8分
21（本题满分15分）如图21-1，已知分别为椭圆的上、下焦点，为左顶点，过的直线与椭圆的另一个交点为，，，
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）如图21-2，已知直线与椭圆交于两点，且线段的中点在直线上，求的最大值．
【解析】（本题主要考查椭圆的定义、性质，直线与椭圆的位置关系，以及综合运用函数等知识解决问题的能力）
（Ⅰ）因，所以为等腰直角三角形，则，（2分）
又，，由定义，
所以，解得，
所以椭圆方程为 （6分）
（Ⅱ）将直线方程代入椭圆方程 得到：
设，则， （8分）
则，得到
，
因，所以， （12分）
令，则，由知，所以，
则由基本不等式知（当取到） （15分）
[.4稽阳联考]21．(本小题满分15分）已知两个不同的动点在椭圆上，且线段的垂直平分线恒过点．求：
（Ⅰ）线段中点的轨迹方程；
（Ⅱ）线段长度的最大值．
21.(本小题满分15分）
解：（Ⅰ）法一,设易知直线的斜率存在，
设直线的方程为，与联立得
则…………………3分
所以，，得………5分
于是，
从而，线段中点的轨迹方程为。………………7分
法二,,则
得………………………4分
又，得
从而，线段中点的轨迹方程为。…………7分
(Ⅱ)由（Ⅰ）知，直线的斜率
所以直线的方程为与椭圆方程联立
得
则……………………10分
于是，………………12分
，………………^14分
当取等号，线段长度的最大值.…………………………15分
[杭二中]
2.1.3 切点弦.相交弦等
2.2面积
2.2.1 普通公式
[第四次新高考研究联盟]
21.（本题满分15分）如图，已知动直线与椭圆交于两个不同点.
（Ⅰ）若动直线又与圆相切，求的取值范围.
（Ⅱ）若动直线与轴交于点，满足，点O为坐标原点.
求面积的最大值，并指出此时的值.
21．解：把代入椭圆方程得：
………………………（1分）
（I）……………………………………（2分）
即……（3分）直线与圆相切，……………………………………（4分）
把（3）代入（2）得：…………………………………（5分）
解得：或……………………………………………（6分）
（II）设 ，……………（7分）
.由（1）式得：……………（8分）
又是方程（1）的根， ……（9分）
，显然满足…………………（10分）
……………………………………（11分）
……………………（12分）
…………………………………………（13分）
当且仅当即（符合题意）
当时，的面积取最大值为1．………………………………………（15分）
21、（本题满分15分）【改编】已知抛物线上的两个不重合动点， 两点的横坐标之和为4，线段的垂直平分线与轴交于点；
（1）证明线段的垂直平分线经过定点；
（2）求得面积的最大值。
【命题意图】考查圆锥曲线的计算能力（★★★★★）
改编自2010年全国高中数学联合竞赛（原题无第一小问）
21、解：（1）设线段的中点为，则，
…………………………………3分
线段的垂直平分线的方程是，即…………5分
所以线段的垂直平分线经过定点……………………………………6分
（2）直线和抛物线联立得
根据题意，是方程的两个不等的实根
所以
…………………………………………………………8分
………………………10分
定点到线段的距离
……………………………………………………………12分
令
所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减
所以的最大值为………………………………………………14分
综上，………………………………………15分
8.（十二校联考19）（本小题满分15分）已知椭圆，抛物线，过抛物线上一点(异于原点O)作切线交椭圆于，两点．
（ = 1 \* ROMAN I）求切线在轴上的截距的取值范围；
（ = 2 \* ROMAN II）求面积的最大值．
分析：(1)设，则切线方程为
与椭圆联立得
，
x轴上的截距
(2)O到直线AB的距离为，
=
令，则
当时，此时取到最大值。
21．(本题满分15分)21.（改编题·广东竞赛试卷）（本题满分15分） 已知为椭圆的左、右焦点， 在以为圆心，1为半径的圆上，且 .
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点 的直线交椭圆 于两点，过与垂直的直线交圆于两点，为线段中点，求面积的取值范围.
解：（Ⅰ）圆的方程为，此圆与 轴相切，切点为
所以 ,即 ,且 ， ……………………2分
又. ……………………4分
所以 ，
所以椭圆的方程为. ……………………6分
（Ⅱ）当平行轴的时候，与圆 无公共点，从而不存在；
可以设，则 .
由 消去得
则 . ……………………8分
又圆心到 的距离 得 . ……………………10分
又
所以到的距离即到的距离，设为 ，
即 . …………………12分
所以面积
令
则 .
所以面积的取值范围为. ……………………15分
[嘉兴]21．如图，设斜率为（）的直线与椭圆C：交于A、B两点，且．
（Ⅰ）求直线在轴上的截距（用表示）；
（Ⅱ）求面积取最大值时直线的方程．
（Ⅰ）可设：，，
则由已知得
（*）
联立
消去，得 即
则， 且代入（*）
从而得
，
得直线在轴上的截距为或
（Ⅱ）设的面积为S，O到直线的距离为，则，
而由(1)知，且
故得，于是
，
当时，此时：，所以，
可得所求直线方程为：或．
圆的面积
21．（本小题满分15分）（改编）已知椭圆的焦点坐标为(-1,0)，(1,0)，过垂直于长轴的直线交椭圆于P、Q两点，且|PQ|=3，
（1） 求椭圆的方程；
（2） 过的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，则△MN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.

21．（1） 设椭圆方程为=1（a>b>0）,由焦点坐标可得c=1………1由PQ|=3，可得=3，解得a=2，b=，故椭圆方程为=1 …………………6分
（2） 设M，N,不妨>0,