2025蚌埠A层高中高一上学期11月期中考试数学含解析

这是一份2025蚌埠A层高中高一上学期11月期中考试数学含解析，共22页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 幂函数在上单调递增，则图象过定点（ ）
A. B. C. D.
4. 若命题，使得为假命题，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
5. 若，则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
6. 著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学学习和研究中，经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数f（x）的图象大致是
A B.
C. D.
7. 定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足，且，则不等式的解集为（ ）
A B. C. D.
8. 若对，使不等式成立，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数的定义域为
B. 函数的值域为
C.
D. 函数为减函数
10. 若，且，则下列各式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
11. 函数在上有定义，若对任意，有，则称在上具有性质．下列命题正确的有（ ）
A. 函数在上具有性质
B. 若在上具有性质，则在上也具有性质
C. 若上具有性质，且在处取得最大值1，则
D. 对任意，若在上具有性质，则恒成立
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. ____________．
13. 已知函数，若，且，则的取值范围是__________.
14. 已知定义在上的函数满足，且当时，，则不等式的解集为____________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知集合，.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围．
16. 已知是定义在R上的奇函数．
（1）求的值；
（2）若存在区间，使得函数在上的值域为，求实数的取值范围．
17. 杭州亚运会田径比赛 10月5日迎来收官，在最后两个竞技项目男女马拉松比赛中，中国选手何杰以2小时13分02秒夺得男子组冠军，这是中国队亚运史上首枚男子马拉松金牌.人类长跑运动一般分为两个阶段，第一阶段为前1小时的稳定阶段，第二阶段为疲劳阶段. 现一60kg的复健马拉松运动员进行4小时长跑训练，假设其稳定阶段作速度为 的匀速运动，该阶段每千克体重消耗体力 （表示该阶段所用时间），疲劳阶段由于体力消耗过大变为 的减速运动（表示该阶段所用时间）.疲劳阶段速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力 已知该运动员初始体力为不考虑其他因素，所用时间为（单位：h），请回答下列问题：
（1）请写出该运动员剩余体力关于时间的函数；
（2）该运动员在4小时内何时体力达到最低值，最低值为多少?
18. 《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出：数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．对数运算与指数幂运算是两类重要的运算.18世纪，瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，并进一步指出：对数源出于指数．然而对数的发明先于指数，这成为数学史上的珍闻．
（1）试利用对数运算性质计算的值；
（2）已知为正数，若，求的值；
（3）定义：一个自然数的数位的个数，叫做位数，例如23的位数是2，2024的位数是4．试判断的位数．（注）
19. 列奥纳多达芬奇（Lenard da Vinci，1452-1519）是意大利文艺复兴三杰之一．他曾提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数表达式，其中为悬链线系数，称为双曲余弦函数，其函数表达式为，相反地，双曲正弦函数的函数表达式为．
（1）证明：；
（2）求不等式：的解集；
（3）函数的图象在区间上与轴有2个交点，求实数的取值范围．安徽省蚌埠市A层学校2024-2025学年高一上学期第二次联考（11月）数学试题
命题单位：蚌埠第二中学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】确定集合，然后根据文氏图的概念及集合的运算求解．
【详解】由题意，
阴影部分为.
故选：D．
2. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】判断条件间的推出关系，根据充分必要性的定义判断即可.
【详解】当：
若异号，即，显然成立；
若或，均有成立；
所以充分性成立；
当：若，，显然不成立，故必要性不成立.
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
3. 幂函数在上单调递增，则的图象过定点（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用幂函数的概念知系数必为1，再由幂函数递增知幂指数大于0，从而解得，再利用指数函数必过点来求出函数过的定点.
【详解】因为幂函数在上单调递增，
所以m2−2m−2=1m>0，解得，所以，
故令得，所以
所以的图象过定点.
故选：D.
4. 若命题，使得为假命题，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】问题转化为当时，恒成立，利用二次函数的性质，求出在上的最大值，解不等式求实数的取值范围即可.
【详解】因为为假命题，所以为真命题，
即当时，恒成立.
因为函数图象的对称轴为，
所以当时，，所以，
即，解得或，
即实数的取值范围为.
故选：D.
5. 若，则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】结合对数运算性质及对数函数的单调性比较的大小，结合基本不等式及对数函数单调性比较的大小，可得结论.
详解】，
而，且．
所以，故．
故选：D.
6. 著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数f（x）的图象大致是
A. B.
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】
首先根据奇偶性的判断可知f（x）为偶函数，排除A，再通过x1进行特值判断即可得解.
【详解】函数的定义域为{x|x±1}，
f（﹣x）f（x），则函数f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，排除A，
当x1时，f（x）0恒成立，排除B，D，
故选：C.
【点睛】本题考查了函数图像的判断，有如下几个方法：
（1）根据奇偶性判断；
（2）根据特值判断；
（3）根据单调性和趋势判断.
7. 定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足，且，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】构造新函数，根据题意得出函数在(0,+∞)内单调递减；把不等式转化为，结合单调性和定义域即可求解.
【详解】不妨设任意的，，
因为，则，
所以，
所以在(0,+∞)内单调递减.
不等式等价于，又，
所以等价于，
因为在(0,+∞)内单调递减，所以，
即不等式的解集为.
故选：B.
8. 若对，使不等式成立，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可得，利用对勾函数的单调性可求得，从而将问题再转化为恒成立，然后分情况求的取值范围.
【详解】，
即对，使不等式成立，
∴，
∵对勾函数在上单调递增，．
恒成立，
的对称轴，
∴，解得，
或，无解，
或，无解，
综上，
即的取值范围为．
故选：C．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数的定义域为
B. 函数的值域为
C.
D. 函数为减函数
【答案】BC
【解析】
【分析】根据分母不为求出函数的定义域，即可判断A；再将函数解析式变形为，即可求出函数的值域，从而判断B；根据指数幂的运算判断C，根据函数值的特征判断D.
【详解】对于函数，则，解得，所以函数的定义域为，故A错误；
因为，
又，当时，则，
当时，则，
所以函数的值域为，故B正确；
又，故C正确；
当时，当时，所以不是减函数，故D错误.
故选：BC
10. 若，且，则下列各式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】先由题意得到，进而分析得与，从而判断BC，再举反例排除AD，从而得解.
【详解】因为，所以，则，
又由于，所以，，，则，故B正确；
因为，所以，故C正确；
当，，时，可，故A错误；
当，，时，，故D错误
故选：BC.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，举反例排除AD，从而得解.
11. 函数在上有定义，若对任意，有，则称在上具有性质．下列命题正确的有（ ）
A. 函数在上具有性质
B. 若在上具有性质，则在上也具有性质
C. 若在上具有性质，且在处取得最大值1，则
D. 对任意，若在上具有性质，则恒成立
【答案】ACD
【解析】
【分析】由性质的定义判断A选项；举反例判断B选项；C选项，由可证得；D选项，由性质的定义证明.
【详解】对A，，对任意时，
，
满足，A选项正确；
对B，函数在上满足性质，证明方法同A选项，
对于函数，，
，不满足，
在上不满足性质，故B选项不成立；
对C：在上，在处取得最大值1，由，
，故，
所以对任意的，故C选项成立；
对D，对任意，
有
，
，故D选项成立．
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. ____________．
【答案】-2
【解析】
【分析】根据对数运算法则化简即可求得结果.
【详解】．
故答案为：-2.
13. 已知函数，若，且，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】画出函数图象，分析出，，故，，结合函数单调性得到值域，求出取值范围.
【详解】画出的图象，
当时，单调递增，且，
当时，单调递增，且，
令，解得，令，则，
若，且，则，，
所以，，
当时，取得最小值，最小值为，
又时，，时，，
故.
故答案为：
14. 已知定义在上的函数满足，且当时，，则不等式的解集为____________．
【答案】或
【解析】
【分析】赋值求出，令，且，根据时，，得到，然后根据函数单调性解不等式即可.
【详解】因为，
令，则，
令，则，
令，且，则，
整理得，
因为，则，可得，
所以，即，
可知在定义域在上单调递增，
又因为，即，
可得，即，
由在定义域在上单调递增，可得，解得或，
所以不等式的解集为或．
故答案为：或
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知集合，.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分析可知，，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围；
（2）先考虑当时，求出实数的取值范围，分、两种情况讨论，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围，再利用补集思想可得出当时实数的取值范围.
【小问1详解】
由可知，所以，，解得，
因此，实数取值范围是．
【小问2详解】
考虑当时，实数的取值范围，则，
若，满足，则，解得；
若，因为，所以，解得，
所以时，的取值范围是，
所以时，的取值范围是mm>1.
16. 已知是定义在R上的奇函数．
（1）求的值；
（2）若存在区间，使得函数在上的值域为，求实数的取值范围．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）利用奇函数的性质求出并验证即可.
（2）探讨函数的单调性，结合函数在区间上的值域，构造方程有两个不相等的正实根，再利用一元二次方程实根分布求出范围.
【小问1详解】
因为是定义在R上的奇函数，有，得，
则有，函数定义域为R，
有，即是奇函数，
所以；
【小问2详解】
由（1）得，
令，
因为在R上递增，所以在R上递减，
所以在R上递增，
因为函数在上的值域为，
所以，
所以，
因为，所以关于的方程有两个不相等的正实根，
所以，
解得，即的取值范围为
17. 杭州亚运会田径比赛 10月5日迎来收官，在最后两个竞技项目男女马拉松比赛中，中国选手何杰以2小时13分02秒夺得男子组冠军，这是中国队亚运史上首枚男子马拉松金牌.人类长跑运动一般分为两个阶段，第一阶段为前1小时的稳定阶段，第二阶段为疲劳阶段. 现一60kg的复健马拉松运动员进行4小时长跑训练，假设其稳定阶段作速度为 的匀速运动，该阶段每千克体重消耗体力 （表示该阶段所用时间），疲劳阶段由于体力消耗过大变为 的减速运动（表示该阶段所用时间）.疲劳阶段速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力 已知该运动员初始体力为不考虑其他因素，所用时间为（单位：h），请回答下列问题：
（1）请写出该运动员剩余体力关于时间的函数；
（2）该运动员在4小时内何时体力达到最低值，最低值为多少?
【答案】（1）
（2）时有最小值，最小值为.
【解析】
【分析】（1）先写出速度关于时间的函数，进而求出剩余体力关于时间的函数；
（2）分和两种情况，结合函数单调性，结合基本不等式，求出最值.
【小问1详解】
由题可先写出速度关于时间的函数，
代入与公式可得
解得；
【小问2详解】
①稳定阶段中单调递减，此过程中最小值；
②疲劳阶段，
则有，
当且仅当，即时，“”成立，
所以疲劳阶段中体力最低值为，
由于，因此，在时，运动员体力有最小值.
18. 《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出：数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．对数运算与指数幂运算是两类重要的运算.18世纪，瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，并进一步指出：对数源出于指数．然而对数的发明先于指数，这成为数学史上的珍闻．
（1）试利用对数运算性质计算的值；
（2）已知为正数，若，求的值；
（3）定义：一个自然数的数位的个数，叫做位数，例如23的位数是2，2024的位数是4．试判断的位数．（注）
【答案】（1）
（2）
（3）610
【解析】
【分析】（1）利用对数的运算性质计算即可；
（2）令，则，根据对数与指数的互化可得，利用对数的换底公式化简原式即可；
（3）利用对数的运算性质可得，结合位数的定义即可得出结果.
【小问1详解】
原式；
【小问2详解】
由题意知，令，则，
所以，
所以；
【小问3详解】
设，则，又，
所以，
所以，则，
所以的位数为610．
19. 列奥纳多达芬奇（Lenard da Vinci，1452-1519）是意大利文艺复兴三杰之一．他曾提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数表达式，其中为悬链线系数，称为双曲余弦函数，其函数表达式为，相反地，双曲正弦函数的函数表达式为．
（1）证明：；
（2）求不等式：的解集；
（3）函数的图象在区间上与轴有2个交点，求实数的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；
（2）（
（3）
【解析】
【分析】（1）结合双曲余弦函数和双曲正弦函数代入计算即可；
（2）求出的单调性和奇偶性，得到，，求出解集；
（3）参变分离得到在有2个实数根，换元得到，由对勾函数单调性得到的值域，与有两个交点，故需满足，即.
【小问1详解】
．
【小问2详解】
因为恒成立，故奇函数．
又因为在R上严格递增，在R上严格递减，
故是R上的严格增函数，
所以，即，
所以，解得，
即所求不等式的解集为；
【小问3详解】
因为的图象在区间上与轴有2个交点，
所以，
即在有2个实数根，
所以在有2个实数根，
令，易知在上单调递增，
所以，
则，
令，，
由对勾函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增，
又，作函数草图如图，
当时，函数与有两个交点，
即函数的图象在区间上与轴有2个交点，
所以，即.
【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧：
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.