2025天津红桥区高一上学期期中考试数学含解析

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第Ⅰ卷
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
2．本卷共10题，每小题3分，共30分.
一、选择题：每小题四个选项中只有一个是正确的，请将答案的代号涂在答题卡上．
1. 不等式的解集是（ ）
A. B. 或x>2
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用一元二次不等式的解法求解.
【详解】∵不等式可化为，解得，
∴不等式的解集是.
故选：C.
2. 设全集＝{－1，0，2，3}，集合＝{－1，3}，＝{0}，则 （ ）
A. B. {0}
C. {0，2}D. {－1，0，3}
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意先求出补集，再求出并集即可.
【详解】因为＝{－1，0，2，3}，S＝{－1，3}，
所以，而＝{0}，所以.
故选：C.
3. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用集合包含关系判断即可.
【详解】因为任意，都有，故，则B正确，A错误；
但，故CD错误.
故选：B
4. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题可得结论.
【详解】因为存在量词命题的否定为全称量词命题，
所以命题“，”的否定为“，”.
故选：D.
5. “”是“”的（ ）
A. 充要条件B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】由充分必要条件的概念，判断“”与“”是否相互推出即可.
【详解】由，得，因为，
所以由 “”可以推出“”，
但由 “”不能推出“”，
即“”是“”的充分不必要条件.
故选：C.
6. 实数满足：，则下列不等式不成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的性质，可判断ABD的真假，对C，可以举反例说明其错误.
【详解】对A：因为，，所以，故A成立；
对B：因为，，所以，故B成立；
对C：令，，，，则满足，但，，所以不成立，即C不成立；
对D：因为，，所以，故D成立.
故选：C
7. 已知集合，，若，则实数a的取值范围（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可得集合，且，分和两种情况，结合包含关系分析求解.
【详解】由题意可知：集合，，
由，可知，
若，则，解得；
若，则，解得；
综上所述：实数a的取值范围.
故选：A.
8. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分析函数的奇偶性及又时函数值的正负即可判断.
【详解】解：因为定义域为R，且，所以为偶函数，其图象关于轴对称，故排除选项B、D；
又时，，排除选项C，故选项A正确.
故选：A
9. 下列函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性可排除AC，再结合单调性在BD中进行选择.
【详解】因为函数为非奇非偶函数，为奇函数，故AC不满足题意；
因为为常数函数，在0,+∞不是增函数，故B不满足题意；
设，则，则fx为偶函数，
当x>0时，，则fx在0,+∞上为增函数，故D满足题意.
故选：D
10. 甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程s与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 甲比乙先出发B. 乙比甲跑的路程多
C. 甲比乙先到达终点D. 甲、乙两人的速度相同
【答案】C
【解析】
【分析】结合图像逐项求解即可.
【详解】结合已知条件可知，甲乙同时出发且跑的路程都为，故AB错误；
且当甲乙两人跑的路程为时，甲所用时间比乙少，故甲先到达终点且甲的速度较大，
故C正确，D错误.
故选：C.
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分．请将答案填在答题卡上．
11. 设集合，，则______
【答案】
【解析】
【分析】根据并集的概念求解.
【详解】因，，故.
故答案为：
12. 已知集合，，则______．
【答案】或
【解析】
【分析】按交集、补集的定义求解即可.
【详解】解：因为，
所以或.
故答案为：或
13. 函数的定义域为______．
【答案】或
【解析】
【分析】解不等式，可得函数的定义域.
【详解】由或.
所以函数的定义域为：或.
故答案为：或.
14. 若是偶函数，则________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据f(x)为偶函数求得，进而求得.
【详解】由于f(x)为偶函数，所以恒成立，
即，整理得恒成立，
所以，即，
所以.
故答案为：.
【点睛】本题考查函数的奇偶性，考查求函数值，属于基础题.
15. 已知，，且，则的最小值______.
【答案】5
【解析】
【分析】利用基本不等式“1”妙用即可得解.
【详解】因为，，且，
所以
，
当且仅当，即时取“”.
故答案为：5.
16. 已知函数，则的单调递增区间为__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用分段函数的单调性求解即可．
【详解】当时，单调递减；
当时，，在上单调递增，在单调递减；
故答案为：
17. 建设生态文明是中华民族永续发展的千年大计，而清洁能源的广泛使用将为生态文明建设提供更有力的支撑，沼气作为取之不尽、用之不竭的生物清洁能源，在保护绿水青山方面具有独特功效，通过办沼气带来的农村“厕所革命”，对改善农村人居环境等方面，起到立竿见影的效果，为了积极响应国家推行的“厕所革命”，某农户准备建造一个深为米，容积为立方米的长方体沼气池，如果池底每平方米的造价为元，池壁每平方米的造价为元，沼气池盖子的造价为2000元，沼气池最低总造价是______元．
【答案】
【解析】
【分析】设长方体底面长方形较长边为，利用表示沼气池总造价，利用基本不等式求其最小值即可.
【详解】因为长方体的体积为立方米，深为米，
所以长方体的底面面积为，
设长方体底面长方形较长边为，，
则底面长方形的较短的边长为，
所以长方体的池壁的面积为，
设沼气池的总造价为，则
，
由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，
所以当底面为边长为的正方形时，沼气池总造价最低，其值为.
故答案为：.
18. 下列命题中正确的是______．（填写序号）
①“”是“”的充分不必要条件
②若函数在上单调递增，则的取值范围是
③已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则的解析式为
④已知，且，则有最小值
【答案】①④
【解析】
【分析】对于①，根据充分不必要条件的定义即可判断；对于②，根据函数的单调性，求出的取值范围，即可判断；对于③，根据奇函数的性质，求出函数的解析式，即可判断；对于④，利用基本不等式，求出的范围，即可判断.
详解】解：对于①，由可以推出，但由推不出，
如，满足，但，
所以“”是“”的充分不必要条件，故正确；
对于②，因为在上单调递增，
所以，解得或，故错误；
对于③，因为函数是定义在上的奇函数，且当时，，
所以当时，，
所以，即，
所以，
所以，故错误；
对于④，因为，且，
所以，当且仅当时，等号成立；
令，则有，解得，
即，
所以，当且仅当时，等号成立，故正确.
故答案为：①④
【点睛】关键点睛：在利用基本不等式时，注意三条件：一正二定三相等，缺一不可.
三、解答题：本大题共5小题，共46分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案直接答在答题卡上．
19. 求下列不等式的解集.
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】根据一元二次不等式的解法计算即可.
【小问1详解】
原不等式，解之得，
即不等式的解集为；
【小问2详解】
原不等式，显然不等式无解，
即不等式的解集为；
【小问3详解】
原不等式，显然不等式在时恒成立，
即不等式的解集为.
20. 已知函数，且．
（1）写出函数解析式；
（2）求的值；
（3）若，求实数的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据已知的函数值求待定系数的值.
（2）根据函数解析式求函数值.
（3）分情况讨论求实数的值.
【小问1详解】
由于，故，解得，
所以.
【小问2详解】
， .
【小问3详解】
当时，，解得，舍去.
当时，，解得或.
其中不符合题意，舍去.
综上：
21. 设命题，不等式恒成立；命题，使得不等式成立.
（1）若p为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若命题有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）将问题转化为恒成立，解不等式即可；
（2）分类讨论结合集合的关系计算即可.
【小问1详解】
，由题意可知，解得；
【小问2详解】
当为真命题时，对于二次函数，其图象对称轴为，在区间上有，则，
故，成立等价于，
即，
若命题真假，结合（1）可知且，故，
若命题真假，结合（1）可知且，故，
综上，.
22. 某公司生产一类电子芯片，该芯片的年产量不低于10万件又不超过35万件，每万件电子芯片的计划售价为16万元．已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两个部分，其中固定成本为30万元/年，每生产万件电子芯片需要投入的流动成本为（单位：万元），．假设该公司每年生产的芯片都能够被销售完．
（1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润年销售收入固定成本流动成本）
（2）如果你作为公司的决策人，为使公司获得的年利润最大，每年应生产多少万件该芯片？最大年利润是多少？
【答案】（1），
（2）20，最大年利润10万元
【解析】
【分析】（1）结合所给的年利润的计算方法可得函数解析式.
（2）利用基本（均值）不等式，求和的最小值.
【小问1详解】
，.
【小问2详解】
因为，所以
当且仅当，即时，等号成立
故
答：为使公司获得的年利润最大，每年应生产20万件该芯片，最大年利润是10万元．
23. 已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，．
（1）已知函数的部分图象如图所示，请根据条件将图象补充完整，并写出函数的单调递增区间；
（2）写出函数的解析式；
（3）若关于的方程有4个不相等的实数根，求实数的取值范围；（只需写出结论）
（4）求函数y=fx在时的值域．
【答案】（1）图象见解析，
（2）
（3）
（4）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据偶函数的图象关于轴对称，可得函数的完整图象，再根据函数图象写出函数的单调增区间.
（2）根据偶函数的性质，求函数解析式.
（3）结合图象，可得方程有4个不相等的实数根时，实数的取值范围.
（4）分类讨论，弄清函数在上的单调性，求函数值域.
【小问1详解】
函数的图象如图：
单调递增区间为
【小问2详解】
因为是定义在R上的偶函数，所以.
设，则 ，所以
所以当 时，.
的解析式为 .
小问3详解】
关于的方程有个不相等的实数根，等价于与的图象有个交点
结合图象可知，当时，与的图象有个交点
所以.
【小问4详解】
当时，在单调递减，而，最小值为
∴的值域为
当时，在单调上递减，在上单调递增
所以最小值为1，