辽宁省沈阳市沈北新区2024-—2025学年八年级上学期期中数学试题

这是一份辽宁省沈阳市沈北新区2024-—2025学年八年级上学期期中数学试题，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．负数的平方根是负数B．100的平方根是10
C．﹣16的平方根是﹣4D．0的算术平方根是0
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a,b,c,由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A＝∠B﹣∠CB．∠A：∠B：∠C＝1：2：3
C．a2＝c2﹣b2D．a：b：c＝4：5：6
4．（3分）若在实数范围内有意义，则x的值可以是（ ）
A．2B．0C．﹣1D．﹣2
5．（3分）点（﹣2，3）关于x轴的对称点的坐标为（ ）
A．（﹣2，﹣3）B．（2，3）C．（﹣2，3）D．（2，﹣3）
6．（3分）如图，△ABC的顶点都在边长为1的正方形网格的格点上，CD⊥AB于点D，则CD的长是（ ）
A．B．4C．D．
7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，3）且AO=BO，∠AOB＝90°则点B的坐标为（ ）
A．（2，3）B．（﹣3，2）C．（﹣3，﹣2）D．（﹣2，3）
8．（3分）关于一次函数y＝﹣3x+2，下列说法正确的是（ ）
A．图象过点（1，1）
B．其图象可由y＝3x的图象向下平移2个单位长度得到
C．y随着x的增大而增大
D．图象经过第一、二、四象限
9．（3分）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值是﹣3和2时，输出的y值相等（ ）
A．5B．﹣5C．7D．﹣7
10．（3分）甲、乙两辆汽车从A地出发到B地，甲车提前出发，以60km/h的速度匀速行驶一段时间后，乙车沿同一路线匀速行驶，设甲、乙两车相距为s（km），甲车行驶的时间为t（h），s与t的关系如图所示，下列说法：
①甲车提前1h出发，乙车出发2h后追上甲车；
②乙车行驶的速度是90km/h；
③A、B两地相距450km；其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（3分）如图，数轴上点A所表示的数是 ．
12．（3分）若点P在第二象限，且到x轴的距离是3，到y轴的距离是，则点P的坐标是 ．
13．（3分）请写出一个一次函数，使其图象满足以下条件：
①经过第一、三、四象限，
②与y轴的交点坐标为（0，﹣3），此一次函数的表达式可以为 ．
14．（3分）如图有一圆柱，高为9cm，底面半径为4cm，在圆柱下底面A点有一只蚂蚁，它想吃上底面与A相对的B点处的食物，需爬行的最短路程大约为 cm（取π＝3）．
15．（3分）对于实数P，我们规定：用表示不小于的最小整数。例如：，，现在对72进行如下操作：
，即对72只需进行3次操作后变为2．类比上述操作：对36只需进行 次操作后变为2．
三.解答题
16．（12分）计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
17．（6分）已知一次函数y＝2x+4．
（1）补全表中自变量对应的函数值后，画出该函数的图象；
（2）若该一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，求△OAB的面积；
（3）当﹣2≤y≤6时，直接写出x的取值范围．
18．（9分）我校将举办一年一度的秋季运动会，需要采购一批某品牌的乒乓球拍和配套的乒乓球，一副球拍标价80元，一盒球标价25元．体育商店提供了两种优惠方案，具体如下：
方案甲：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球，其余乒乓球按原价出售；
方案乙：按购买金额打9折付款．
学校欲购买这种乒乓球拍10副，乒乓球x（x≥10）盒．
（1）请直接写出两种优惠办法实际付款金额y甲，y乙与x之间的函数关系式．
（2）如果学校需要购买15盒乒乓球，哪种优惠方案更省钱？
（3）如果学校提供经费为1800元，选择哪个方案能购买更多乒乓球？
19．（8分）在“生活中的函数”活动中，某学习小组设计了一个问题情境：小明从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店买圆规，然后散步回家．小明离家的距离y（km）与他所用的时间x（min）的关系如图所示．
（1）当0≤x≤15时，y与x的函数表达式为 ；
当30≤x≤45时，y与x的函数表达式为
（2）当小明距离家2km时，他离家的时间为： ；
（3）文具店到小明家的距离为 km．
20．（7分）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“角平分线点”．
（1）点A（﹣3，5）的“长距”为 ；
（2）若点B（4﹣2a，﹣2）是“角平分线点”，求a的值；
（3）若点C（﹣2，3b﹣2）的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为（9﹣2b，﹣5），请判断点D是否为“角平分线点”，并说明理由．
21．（6分）数学兴趣小组利用所学数学知识来解决实际问题，实践报告如下：
该报告还没有完成，请你帮助兴趣小组解决以上问题．
22．（5分）如图，在单位长度为1的正方形网格中，A，B，C，D都在小正方形的顶点上，连接AB，CD交于点P．
（1）求AB的长；
（2）求∠APC的度数．
23．（10分）如图1，已知直线y＝2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC．
（1）求点C的坐标，直接出直线AC、BC的表达式；
（2）如图2，直线CB交y轴于点E，在CB的延长线上取一点D，连接AD，且AD＝AC，求点D坐标．
（3）如图3，在（1）的条件下，直线AC交x轴于点M，P（﹣，k）是线段BC上一点，在线段BM上是否存在一点N，使直线PN平分△BCM的面积？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（12分）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为，由此推导出直角三角形的三边关系：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则c2+b2＝c2．
（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导直角三角形a、b、c三边关系；
（2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB=AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH=6千米，HB=4千米，求新路CH比原路CA少多少千米？
（3）在第（2）问中若AB≠AC时，CH⊥AB，AC=8，BC=10，AB=12，设AH=x,求x的值．
2024-2025学年辽宁省沈阳市沈北新区八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．负数的平方根是负数B．100的平方根是10
C．﹣16的平方根是﹣4D．0的算术平方根是0
【考点】实数；平方根；算术平方根．
【答案】D
【分析】根据平方根、算术平方根的概念分别判断即可．
【解答】解：A．负数没有平方根，本选项不符合题意；
B．100的平方根是±10，本选项不符合题意；
C．﹣16没有平方根，本选项不符合题意；
D．0的算术平方根是0，本选项符合题意；
故选：D．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【考点】二次根式的混合运算；分母有理化．
【答案】D
【分析】根据二次根式的加法运算对A选项进行判断；根据二次根式的减法运算对B选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对C选项进行判断；利用分母有理化对D选项进行判断．
【解答】解：A． 与不能合并；
B．3﹣＝8；
C． ×＝，所以C选项不符合题意；
D． ＝＝，所以D选项符合题意；
故选：D．
3．（3分）△ABC中，∠A，∠B，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A＝∠B﹣∠CB．∠A：∠B：∠C＝1：2：3
C．a2＝c2﹣b2D．a：b：c＝4：5：6
【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理．
【答案】D
【分析】由三角形内角和定理及勾股定理的逆定理进行判断即可．
【解答】解：A、∠A＝∠B﹣∠C，则∠B＝90°，不符合题意；
B、∠A：∠B：∠C＝1：2：5，则∠C＝90°，不符合题意；
C、由a2＝c2﹣b3，得a2+b2＝c8，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；
D、32+32≠67，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形．
故选：D．
4．（3分）若在实数范围内有意义，则x的值可以是（ ）
A．2B．0C．﹣1D．﹣2
【考点】二次根式有意义的条件．
【答案】A
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式求出x的范围，判断即可．
【解答】解：由题意得：x﹣1≥0，
解得：x≥5，
则x的值可以是2，
故选：A．
5．（3分）点（﹣2，3）关于x轴的对称点的坐标为（ ）
A．（﹣2，﹣3）B．（2，3）C．（﹣2，3）D．（2，﹣3）
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【答案】A
【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．
【解答】解：点（﹣2，3）关于x轴的对称点的坐标是（﹣4．
故选：A．
6．（3分）如图，△ABC的顶点都在边长为1的正方形网格的格点上，CD⊥AB于点D（ ）
A．B．4C．D．
【考点】勾股定理．
【答案】A
【分析】通过勾股定理求出AB的长度，利用面积割补法求出△ABC的面积，再利用等面积求出CD即可．
【解答】解：如图，由勾股定理得 AB＝，
∵S△ABC＝S长方形CGHK﹣S△CKA﹣S△ABH﹣S△CBG＝20﹣﹣6﹣2＝，
又∵S△ABC＝AB•CD，
∴×5×CD＝，
∴CD＝，
故选：A．
7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，3），∠AOB＝90°则点B的坐标为（ ）
A．（2，3）B．（﹣3，2）C．（﹣3，﹣2）D．（﹣2，3）
【考点】坐标与图形性质．
【答案】B
【分析】过A作AC⊥x轴，垂足为C，作BD⊥x轴垂足为D．证明△AOC和△BOD全等，那么B的横坐标就是OD长的相反数，B的纵坐标就是OC长的绝对值，由此可得出B的坐标．
【解答】解：作AC⊥x轴，垂足为C．
则∠ACO＝∠ODB＝90°，
∴∠AOC+∠OAC＝90°．
又∵∠AOB＝90°，
∴∠AOC+∠BOD＝90°
∴∠OAC＝∠BOD．
在△ACO和△ODB中，
，
∴△ACO≌△ODB（AAS），
∴OD＝AC＝3，DB＝OC＝2，
∴点B的坐标为（﹣8，2），
故选：B．
8．（3分）关于一次函数y＝﹣3x+2，下列说法正确的是（ ）
A．图象过点（1，1）
B．其图象可由y＝3x的图象向下平移2个单位长度得到
C．y随着x的增大而增大
D．图象经过第一、二、四象限
【考点】一次函数图象与几何变换；一次函数的性质；正比例函数的性质．
【答案】D
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征，平移的规律以及一次函数的性质逐个判断即可．
【解答】解：A、当x＝1时，
∴一次函数y＝﹣3x+3的图象经过点（1，﹣1），不符合题意；
B、由y＝6x的图象向下平移2个单位长度得到y＝3x﹣3，不合题意
C、∵k＝﹣3＜0，
∴y随x的增大而减小，选项C错误；
D、∵k＝﹣3＜0，
∴一次函数y＝﹣3x+5的图象经过第一、二、四象限，符合题意；
故选：D．
9．（3分）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值是﹣3和2时，输出的y值相等（ ）
A．5B．﹣5C．7D．﹣7
【考点】函数值．
【答案】A
【分析】把x＝﹣3与x＝2代入程序中计算，根据y值相等即可求出b的值．
【解答】解：当x＝﹣3时，y＝9，y＝5+b，
由题意得：4+b＝9，
解得：b＝8，
故选：A．
10．（3分）甲、乙两辆汽车从A地出发到B地，甲车提前出发，以60km/h的速度匀速行驶一段时间后，设甲、乙两车相距为s（km），甲车行驶的时间为t（h），下列说法：
①甲车提前1h出发，乙车出发2h后追上甲车；
②乙车行驶的速度是90km/h；
③A、B两地相距450km；其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【考点】函数的图象；函数关系式．
【答案】D
【分析】根据函数图象和甲车行驶的速度，可得甲车1小时行驶的路程为60km，由此即可判断①；根据在乙出发2h后追上甲，结合甲的速度即可判断②；根据乙车的速度，然后根据乙车在甲车出发6小时后到达B地，求出两地的距离即可判断③．
【解答】解：∵甲车的速度为60km/h，
∴甲车先出发1h，
∵甲出发3h后，乙追上甲，
∴甲车提前8h出发，乙车出发2h后追上甲车；
乙车的速度为：（km/h）；
根据图可知，乙出发后2﹣1＝5（h），
∴A，B两地相距90×8＝450（km）；
∴正确的个数是3．
故选：D．
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（3分）如图，数轴上点A所表示的数是 ﹣1 ．
【考点】勾股定理；数轴．
【答案】见试题解答内容
【分析】先根据题图得到BD、CD的长度及CD与数轴的关系，再利用勾股定理求出BC、BA的长，最后利用线段的和差关系得结论．
【解答】解：由题图可知：CD⊥BA，BD＝2，
∴BA＝BC＝
＝
＝．
∴点A表示的数为：﹣1．
12．（3分）若点P在第二象限，且到x轴的距离是3，到y轴的距离是 （﹣，3） ．
【考点】点的坐标．
【答案】（﹣，3）．
【分析】根据点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为横坐标的绝对值结合第二象限内点的坐标特点进行求解即可．
【解答】解：∵点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是，
∴点P的横坐标的绝对值为，纵坐标的绝对值为3，
又∵点P在第二象限，
∴点P的横坐标为﹣，纵坐标为3，
∴点P的坐标为（﹣，3）．
故答案为：（﹣，3）．
13．（3分）请写出一个一次函数，使其图象满足以下条件：
①经过第一、三、四象限，
②与y轴的交点坐标为（0，﹣3），此一次函数的表达式可以为 y＝x﹣3（答案不唯一） ．
【考点】一次函数的性质；一次函数的定义．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据一次函数增减性，与y轴的交点坐标，确定一次函数的k，b的值即可．
【解答】解：由题意可知：y随x的增大而增大，
∴k＞0，可取k＝1，
∵与y轴的交点坐标为（7，﹣3），
∴y＝x﹣3，
故答案为：y＝x﹣8（答案不唯一）．
14．（3分）如图有一圆柱，高为9cm，底面半径为4cm，它想吃上底面与A相对的B点处的食物，需爬行的最短路程大约为 15cm （取π＝3）．
【考点】平面展开﹣最短路径问题；勾股定理．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意，将圆柱展开，运用勾股定理即可求解．
【解答】解：展开图如图，
由题意得：AC＝×7π×4＝12（cm），且∠ACB＝90°，
∴AB＝＝＝15（cm），
故答案为：15cm．
15．（3分）对于实数P，我们规定：用表示不小于，，现在对72进行如下操作：
，即对72只需进行3次操作后变为2．类比上述操作：对36只需进行 3 次操作后变为2．
【考点】估算无理数的大小；实数的运算．
【答案】见试题解答内容
【分析】按照运算定义进行计算求解．
【解答】解：根据定义进行运算得，将36按照题目的定义进行运算求解{}＝6{{}＝2，
∴对36只需进行次操作后变为3，
故答案为：3．
三.解答题
16．（12分）计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【考点】二次根式的混合运算；平方差公式；分母有理化．
【答案】（1）；
（2）﹣1；
（3）5；
（4）．
【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后进行合并；
（2）利用平方差运算；
（3）先化简二次根式，再根据混合运算法则运算；
（4）将括号内二次根式化为最简二次根式再合并，然后利用二次根式的除法法则计算．
【解答】解：（1）
＝
＝；
（2）
＝
＝2﹣6，
＝﹣1；
（3）
＝
＝2；
（4）
＝
＝
＝
＝．
17．（6分）已知一次函数y＝2x+4．
（1）补全表中自变量对应的函数值后，画出该函数的图象；
（2）若该一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，求△OAB的面积；
（3）求﹣2≤y≤6时x的取值范围．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；一次函数的图象；一次函数的性质．
【答案】（1）见解析；
（2）△OAB的面积＝4；
（3）﹣3≤x≤1．
【分析】（1）将x＝0与x＝1代入函数求解即可，然后描点、连线即可；
（2）根据题意确定交点坐标，然后结合图形求解即可；
（3）分别求出对应的自变量的值，然后结合图象即可求解．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝4，y＝7，
补全表格如下：
描点、连线，如图所示．
（2）当y＝0时，3x+4＝0，
解得x＝﹣2，
∴点A的坐标为（﹣2，0）．
当x＝3时，y＝2×0+8＝4，
∴点B的坐标为（0，5），
∴△OAB的面积＝．
（3）当y＝2时，6＝2x+3．
∴x＝1，
当y＝﹣2时，﹣6＝2x+4．
∴x＝﹣6，
∵k＝2＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当﹣2≤y≤6时，x的取值范围是﹣3≤x≤4．
18．（9分）我校将举办一年一度的秋季运动会，需要采购一批某品牌的乒乓球拍和配套的乒乓球，一副球拍标价80元，具体如下：
方案甲：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球，其余乒乓球按原价出售；
方案乙：按购买金额打9折付款．
学校欲购买这种乒乓球拍10副，乒乓球x（x≥10）盒．
（1）请直接写出两种优惠办法实际付款金额y甲（元），y乙（元）与x（盒）之间的函数关系式．
（2）如果学校需要购买15盒乒乓球，哪种优惠方案更省钱？
（3）如果学校提供经费为1800元，选择哪个方案能购买更多乒乓球？
【考点】一次函数的应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据购买费用＝单价×数量建立关系就可以表示出y甲、y乙的解析式；
（2）根据（1）中解析式，将x＝15代入分别求出，比较即可；
（3）分三种情况进行讨论计算求出需要的费用，再进行比较就可以求出结论．
【解答】解：（1）由题意得：
y甲＝10×80+25（x﹣10）＝25x+550，
y乙＝25×0.9x+80×3.9×10＝22.5x+720，
（2）根据（1）中解析式，y甲＝25x+550，y乙＝22.3x+720，
当x＝15时y甲＝25×15+550＝925（元），
y乙＝22.5×15+720＝1057.5（元），
∵925＜1057.4，
∴方案甲更省钱；
（3）根据（1）中解析式，y甲＝25x+550，y乙＝22.5x+720，
当y甲＝1800元时，1800＝25x+550，
当y乙＝1800元时，1800＝22.5x+720，
∵50＞48，
∴学校提供经费为1800元，选择方案甲能购买更多乒乓球．
19．（8分）在“生活中的函数”活动中，某学习小组设计了一个问题情境：小明从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店买圆规（km）与他所用的时间x（min）的关系如图所示．
（1）当0≤x≤15时，y与x的函数表达式为 y＝x ；当30≤x≤45时，y与x的函数表达式为 y＝﹣x+4.5
（2）当小明距离家2km时，他离家的时间为： 12min或37.5min ；
（3）文具店到小明家的距离为 1.5 km．
【考点】一次函数的应用；函数的图象．
【答案】（1）y＝x，y＝﹣x+4.5；
（2）12min或37.5min；
（3）1.5．
【分析】（1）分别根据路程÷时间＝速度，路程＝速度×时间写出函数表达式即可；
（2）分别令（1）中的函数表达式的函数值为0，解方程求出对应x的值即可；
（3）直接观察图象即可．
【解答】解：（1）2.5÷15＝（km/min），
∴0≤x≤15时，y与x的函数表达式为y＝x．
（2.5﹣1.5）÷（45﹣30）＝（km/min），
∴当30≤x≤45时，y与x的函数表达式为y＝2.5﹣x+4.5．
故答案为：y＝x，y＝﹣．
（2）当x＝7时；
当﹣x+4.5＝2时，
∴当小明距离家2km时，他离家的时间为12min或37.6min．
（3）文具店到小明家的距离为 1.5km．
故答案为：2.5．
20．（7分）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时
（1）点A（﹣3，5）的“长距”为 5 ；
（2）若点B（4﹣2a，﹣2）是“角平分线点”，求a的值；
（3）若点C（﹣2，3b﹣2）的长距为4，且点C在第二象限内（9﹣2b，﹣5），请判断点D是否为“角平分线点”，并说明理由．
【考点】点的坐标．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据“长距”的定义解答即可；
（2）根据“角平分线点”的定义解答即可；
（3）由“长距”的定义求出b的值，然后根据“角平分线点”的定义求解即可．
【解答】解：（1）∵点A（﹣3，5）到x轴的距离为2，点P到x轴，
∴点A的“长距”为5．
故答案为：5；
（2）∵点B（7﹣2a，﹣2）是“角平分线点”，
∴|7﹣2a|＝|﹣2|，
∴2﹣2a＝2或6﹣2a＝﹣2，
解得a＝8或a＝3；
（3）∵点C（﹣2，2b﹣2）的长距为4，
∴3b﹣2＝4，解得b＝6，
∴9﹣2b＝8，
∴点D的坐标为（5，﹣5），
∴点D到x轴、y轴的距离都是6，
∴点D是“角平分线点”．
21．（6分）数学兴趣小组利用所学数学知识来解决实际问题，实践报告如下：
该报告还没有完成，请你帮助兴趣小组解决以上问题．
【考点】勾股定理的应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理求出的AC长，即可得到结论；
（2）在Rt△A′BC中，根据勾股定理求出A′B，即可得到结论．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝17米，
由勾股定理，可得AC＝，
∴AD＝AC+CD＝7+1.5＝7.5（米），
答：风筝离地面的垂直高度为9.7米；
（2）如图，当风筝沿DA方向再上升12米，
 
在Rt△A′BC中，∠A'CB＝90°，
由勾股定理，可得A′B＝，
则应该再放出25﹣17＝3（米），
答：他应该再放出8米长的线．
22．（5分）如图，在单位长度为1的正方形网格中，A，B，C，D都在小正方形的顶点上，CD交于点P．
（1）求AB的长；
（2）求∠APC的度数．
【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）在Rt△ABE中，利用勾股定理进行计算即可解答；
（2）连接AF，BF，先利用勾股定理的逆定理证明△ABF是直角三角形，从而可得∠AFB＝90°，再根据AF＝BF＝，可得△ABF是等腰直角三角形，然后利用等腰直角三角形的性质可得∠FAB＝∠FBA＝45°，再利用平行线的性质可得∠APC＝∠ABF＝45°，即可解答．
【解答】解：（1）如图：
在Rt△ABE中，AE＝5，
∴AB＝＝＝，
∴AB的长为；
（2）如图：连接AF，BF，
由题意得：BF2＝72+44＝17，
AF2＝18+42＝17，
∵AB6＝（）2＝34，
∴BF2+AF2＝AB2，
∴△ABF是直角三角形，
∴∠AFB＝90°，
∵AF＝BF＝，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴∠FAB＝∠FBA＝45°，
∵CD∥BF，
∴∠APC＝∠ABF＝45°．
23．（10分）如图1，已知直线y＝2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC．
（1）求点C的坐标，直接出直线AC、BC的表达式；
（2）如图2，直线CB交y轴于点E，在CB的延长线上取一点D，且AD＝AC，求点D坐标．
（3）如图3，在（1）的条件下，直线AC交x轴于点M，P（﹣，k），在线段BM上是否存在一点N，使直线PN平分△BCM的面积？若存在；若不存在，请说明理由．
【考点】一次函数综合题．
【答案】（1）直线AC的表达式为：y＝x+2，直线BC的表达式为：y＝﹣x﹣；
（2）点D（1，﹣1）；
（3）存在，点N（﹣，0）．
【分析】（1）证明△CHB≌△BOA（AAS），得到BH＝OA＝2，CH＝OB，则点C（﹣3，1），即可求解；
（2）设点D（m，﹣m﹣），由AD＝AC，则m2+（2+m+）2＝32+1，即可求解；
（3）S△BMC＝MB×yC＝×5×1＝，S△BPN＝S△BCM＝＝NB×k＝NB，即可求解．
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝2，则x＝﹣3、B的坐标分别为：（0、（﹣1，
过点C作CH⊥x轴于点H，
∵∠HCB+∠CBH＝90°，∠CBH+∠ABO＝90°，
∴∠ABO＝∠BCH，
∠CHB＝∠BOA＝90°，BC＝BA，
∴△CHB≌△BOA（AAS），
∴BH＝OA＝6，CH＝OB，1），
由点A、C的坐标得x+2，
同理可得，直线BC的表达式为：y＝﹣；
（2）直线BC的表达式为：y＝﹣x﹣，﹣），
设点D（m，﹣m﹣），
∵AD＝AC，则m2+（2+m+）2＝33+1，
解得：m＝1，即点D（8；
（3）存在，理由：
直线BC的表达式为：y＝﹣x﹣，），
直线AC的表达式为：y＝x+2，3），
S△BMC＝MB×yC＝×5×7＝，
S△BPN＝S△BCM＝＝NB×k＝，
解得：NB＝，
故点N（﹣，0）．
24．（12分）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为，由此推导出直角三角形的三边关系：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c2+b2＝c2．
（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导上面的关系式．利用以上所得的直角三角形的三边关系进行解答：
（2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通（A、H、B条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH＝6千米，求新路CH比原路CA少多少千米？
（3）在第（2）问中若AB≠AC时，CH⊥AB，BC＝10，AB＝12，求x的值．
【考点】勾股定理的证明．
【答案】（1）见解析；
（2）0.5km；
（3）．
【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证；
（2）设CA＝x千米，则AH＝（x﹣4）千米，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果；
（3）在Rt△ACH和Rt△BCH中，由勾股定理得求出CH2＝CA2﹣AH2＝CB2﹣BH2，列出方程求解即可得到结果．
【解答】解：（1）∵AB⊥AD，BC⊥AB，
∴梯形ABCD的面积为或，
∴，
∴，
即a2+b6＝c2；
（2）设设CA＝x千米，则AH＝（x﹣4）千米，
在Rt△ACH中，CA4＝CH2+AH2，
即x6＝62+（x﹣8）2，
解得x＝6.4，
即CA＝6.5，
CA﹣CH＝3.5﹣6＝3.5（千米），
答：新路CH比原路CA少0.3千米；
（3）设AH＝x，则BH＝12﹣x，
在Rt△ACH中，CH2＝CA2﹣AH4，
在Rt△BCH中，CH2＝CB2﹣BH8，
∴CA2﹣AH2＝CB6﹣BH，
即82﹣x6＝102﹣（12﹣x）2，
解得：x
0
1
y
活动课题
风筝离地面垂直高度探究
问题背景
风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制3年而成，是人类最早的风筝起源．兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度.
测量数据抽象模型
小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离BC的长为15米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线AB的长为17米，牵线放风筝的手到地面的距离为1.5米．
问题产生
经过讨论，兴趣小组得出以下问题：
（1）运用所学勾股定理相关知识，根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度．
（2）如果想要风筝沿DA方向再上升12米，且BC长度不变，则他应该再放出多少米线？
问题解决
……
x
0
1
y
x
0
1
y
4
6
活动课题
风筝离地面垂直高度探究
问题背景
风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟，是人类最早的风筝起源．兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度.
测量数据抽象模型
小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离BC的长为15米，牵线放风筝的手到地面的距离为1.5米．
问题产生
经过讨论，兴趣小组得出以下问题：
（1）运用所学勾股定理相关知识，根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度．
（2）如果想要风筝沿DA方向再上升12米，且BC长度不变，则他应该再放出多少米线？
问题解决
……