重庆市凤鸣山中学教育集团2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题 含解析

这是一份重庆市凤鸣山中学教育集团2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题 含解析，共14页。
本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置．
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．
一、单选题（每题5分，共40分）
1. 命题“，”的否定为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用全称量词命题的否定直接写出结论即可.
【详解】命题“，”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
因此命题“，”的否定是，.
故选：A
2. 已知α：x>1，β：x≥2，则α是β的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据对应的范围判断逻辑关系即可.
【详解】α：x>1，β：x≥2，所以βα，，如x=1.5，则α是β的必要不充分条件，
故选：B．
3. 已知集合，集合，函数的值域为（其中），那么（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据，求出值域，再利用集合的交并运算求出最后结果.
【详解】因为，所以，即.
,所以.
故选：A
4. 若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】命题“，使得”是假命题，它的否定为真，等价问题求解即可
【详解】命题“，使得”是假命题，
等价于“，都有恒成立”是真命题，
所以
即，
故选：D．
5. 设f（x）＝，若f（a）＝，则a＝（ ）
A. B. C. 或D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据解析式分段讨论可求出.
【详解】解：∵，，
∴由题意知，或，
解得或.
故选：C．
6. 若函数的定义域为，则函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】根据已知可得函数的定义域需满足：,
解得，
即函数定义域为，故选B.
考点：求函数定义域
7. 已知函数的定义域为B，函数的定义域为，若，使得恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的定义域求得集合，利用分离常数法、基本不等式求得的取值范围.
【详解】函数的定义域为，即，
所以，所以的定义域，
由于，，
所以在区间上恒成立，
由于，当且仅当时等号成立，
所以，即的取值范围是.
故选：C
8. 若定义在上的函数满足对任意的，且，都有，则称函数具有性质．已知函数具有性质，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】构造函数，由题意可以推出函数的单调性，结合函数定义域利用函数的单调性解不等式即可.
【详解】因为对任意的，且，都有，
即对任意两个不相等的正实数，不妨设，都有，
所以有，
所以函数是0,+∞上的减函数，
由的定义域为0,+∞，则在fx−2>fx2−4x+2中满足x−2>0x2−4>0，解得，
当x>2时， fx−2>fx2−4x+2⇔fx−2x−2>fx2−4x2−4，
则gx−2>gx2−4，所以，解得，
故不等式fx−2>fx2−4x+2的解集为．
故选：D.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是由已知条件去构造函数，并结合已知求出不等式fx−2>fx2−4x+2中的范围再解不等式即可.
二、多选题（每题6分，共18分．部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知集合，，若，则实数的值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】由集合与集合的关系，对选项依次辨析即可.
【详解】对于A，时，，有，故选项A正确；
对于B，时，，有，故选项B正确；
对于C，时，，有，故选项C正确；
对于D，时，，集合不满足集合元素的互异性，故选项D不正确.
故选：ABC.
10. 下列结论正确的是（ ）
A. 若是奇函数，则必有且
B. 函数在定义域上单调递减
C. 是定义在R上偶函数，当时，，则当时，
D. 若在R上是增函数，且，，则
【答案】CD
【解析】
【分析】检验且时的奇偶性可判断A，举反例可判断B，利用函数奇偶性求得的解析式，从而判断C，利用作差法推得，进而利用的单调性与不等式的性质可判断D.
【详解】对于A，当且时，，其定义域为，
又，则是奇函数，
所以当是奇函数时，不一定有，故A错误；
对于B，对于，，，
则，所以不单调递减，故B错误；
对于C，因为是定义在上的偶函数，当时，，
所以当时，，则，故C正确；
对于D，因为，，
则，即，则，
因为在上是增函数，所以，，
则，故D正确.
故选：CD.
11. 已知实数满足，且，则的值可以为（ ）
A. B. 7C. D. 5
【答案】AB
【解析】
【分析】利用“”的代换变形后，再利用基本不等式求出最小值，排除CD项，验证AB项可得.
【详解】令，
由题意，且，
得，且，
则
，
当且仅当，即时等号成立，
由，解得，此时，故A正确；
由，故CD错误；
B项，由方程组，又，
解得，故B正确.
故选：AB.
三、填空题（每题5分，共15分）
12. 函数的定义域是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意列出不等式，求解即可.
【详解】要使函数有意义，需满足，解得且，故该函数定义域为.
故答案为：.
13. 某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为，其中代表拟录用人数，代表面试人数，若面试人数为160，则该公司拟录用人数为________．
【答案】75
【解析】
【分析】这是已知函数值求自变量的问题，又是分段函数，所以分类讨论求解即可．
【详解】解：令y＝160，
若4x＝160，则x＝40＞10，不合题意；
若2x＋10＝160，则x＝75，满足题意；
若1.5x＝160，则，不合题意．
故拟录用人数为75．
故答案为：75．
【点睛】本题考查的是分段函数问题，在解答的过程当中充分体现了应用题的特性、分段函数的知识以及问题转化的思想，属于基础题．
14. 设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是_____
【答案】
【解析】
【分析】由，判断函数值的变化情况，作出函数的图象，再确定所在的区间，求出临界点即可求出结果．
【详解】当,时，函数在上递增，在上递减，
所以，

由得到，可得当图象向右平移2个单位时，
最大值变为原来的倍，最大值不断变小，
由得到，可得当图象向左平移2个单位时，
最大值变为原来的2倍，最大值不断变大，
当,时，，
当,时，，
设,，,，，
即，
由，解得或，
根据题意，当时，恒成立，
故答案为：．
四、解答题（共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 已知集合．
（1）当时，求；
（2）若，求实数m的取值范围．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）求出集合，再由交集和补集的定义即可得出答案.
（2）由，得，讨论当和，求出实数m的取值范围
【小问1详解】
当时，，则，
故或
【小问2详解】
由，得；
①当时，有，解得；
②当时，有，解得．
综上解得，实数m的取值范围是．
16. 已知函数．
（1）根据函数单调性的定义证明函数在区间上单调递减；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）证明见详解
（2）
【解析】
【分析】（1）任取，作差，分析每一个因式的正负，进而得到，可判断单调性；
（2）根据第一问得到的函数单调性以及函数定义域可列式，解不等式即可得到答案.
【小问1详解】
任取，
则，
因为，则，，，
则，故在上单调递减.
【小问2详解】
由（1）得，在上单调递减，
所以，，解得，
所以，即所求范围是.
17. （1）已知，求最小值；
（2）已知，，且，求的最小值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）由，利用基本不等式可求得最小值；
（2）将已知等式变为，利用基本不等式可求得最小值，进而求得结果.
【详解】（1）当时，，
（当且仅当，即时取等号），
的最小值为；
（2）由得：，
（当且仅当，即，时取等号），
，即的最小值为.
18. 已知函数 .
（1）求不等式的解集；
（2）若方程有三个不同实数根，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）当时，不等式化为；当时，不等式化为；求并集即可；
（2）画出图象，方程有三个不同实数根等价于与有三个不同的交点，解不等式即可求解.
【小问1详解】
当时，由得，，
当时，由得或，，
综上所述，不等式的解集为；
【小问2详解】
方程有三个不同实数根，等价于函数与函数的图象有三个不同的交点，函数的图象：
由图可知：，得：或
所以，实数的取值范围.
19. 已知函数的定义域为，，且.
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）讨论函数的最小值.
【答案】（1）
（2）
（3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）利用赋值法即可得解；
（2）利用赋值法依次求得，进而得到关于的函数方程组，解之即可得解；
（3）利用（2）中结论，结合二次函数的性质，分类讨论对称轴与区间的位置，从而得解.
【小问1详解】
因为，
令，则，
又，有，故.
【小问2详解】
令，有，
即，得，
令，有，
即，得，
令，有，
即，得，
令，有，
令，有，则，
联立，解得，
所以.
【小问3详解】
由（2）得，，
其图象开口向上，对称轴为，又，
当，即时，在上单调递增，
则；
当，即时，在上单调递减，则；
当，即时，
.