重庆市求精中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题 含解析

这是一份重庆市求精中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题 含解析，共23页。试卷主要包含了考试时间120分钟，试题总分150分，试卷页数4页， 已知圆，直线， 在中，，，，则的最大值为， 下列说法正确的为等内容，欢迎下载使用。
考试说明：1.考试时间120分钟
2.试题总分150分
3.试卷页数4页
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 已知复数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数的运算结合复数的共轭求解即可.
【详解】因为复数，所以.\
故选:A.
2. 已知椭圆的左右焦点分别为、，过左焦点，作直线交椭圆于、两点，则三角形的周长为（ ）
A. 8B. 10C. 12D. 14
【答案】A
【解析】
【分析】根据椭圆的定义求解即可.
【详解】由椭圆的定义得，，
则的周长为.
故选：A.

3. 在空间中，若向量，，共面，则（ ）
A. B. C. D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量共面则存在唯一的使得，列出等式计算可得结果.
【详解】若向量，，共面，则
，
即，解得：.
故选：C
4. 空间内有三点，，，则点到直线的距离为（ ）
A. B. C. 2.D.
【答案】D
【解析】
【分析】计算向量，以及向量的单位方向向量，利用空间向量点到直线的距离公式计算即可.
【详解】因为，，，所以，
所以直线的一个单位方向向量为，
又，
所以点到直线的距离为.
故选：D
5. 已知圆，直线.则直线被圆截得的弦长为（ ）
A. B. C. 4D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出圆心到直线的距离,再利用弦长公式求解即可.
【详解】圆心,半径,
圆心到直线的距离为,
所以直线被圆截得的弦长为.
故选：C.
6. 在三棱锥中，为的重心，，，，其中，，若交平面于点，且，则的取值范围为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】应用四点共面定理可知，若四点共面，则可用表示，且系数和为1，通过条件表示向量，可得的关系，代入计算可得结果.
【详解】连结并延长交于，因为重心，则为中点，
，
，
四点共面，则，即，
因，所以，解得：，
，，，
即，
故选：A
【点睛】知识点点睛：若四点共面，且面外一点，则可用表示且系数和为1.
7. 圆，是直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，，那么的最小值是（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】的最小值满足四边形的面积最小，可转化为当PC最小时满足条件，根据点到直线的距离公式计算PC，求出，可计算结果.
【详解】圆的圆心，半径为，
如图所示： ，
当最小时四边形面积最小，因为，所以当四边形面积最小时最小，
，
所以只需直线上的动点到的距离最小即可，其最小值为圆心到直线的距离，
此时，
.
故选：B
8. 在中，，，，则的最大值为（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】在中，利用余弦定理与正弦定理可得、、，再借助向量线性运算及模长与数量积的关系可用、表示出，再利用三角形内角和与三角恒等变换公式可将表示为正弦型函数，再结合的范围计算即可得解.
【详解】由，，则，，
在中，有，
即，即，
有，
故，，
，
则
，
其中，，
则当，即时，有最大值，
由，则，由，则，
故可取，故有最大值.
故选：D
【点睛】思路点睛：求三角形有关代数式最值是一种常见的类型，主要方法有两类：
（1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解；
（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解.
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得2分或3分）
9. 下列说法正确的为（ ）
A. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为
B. 方程表示焦点在轴的椭圆，则
C. 向量，向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为
D. 圆与圆的公切线有2条
【答案】BCD
【解析】
【分析】对A：由关于平面对称的点的坐标关系计算即可得；对B：由焦点在轴的椭圆定义计算即可得；对C：结合空间向量的投影向量定义计算即可得；对D：计算出两圆的位置关系即可得公切线条数.
【详解】对A：点关于平面的对称点为，故A错误；
对B：若方程表示焦点在轴的椭圆，则有，
解得，即，故B正确；
对C：，
则向量在向量上的投影向量的坐标为，故C正确；
对D：圆与圆的圆心分别为、，半径分别为、，
则有，，，
则，故圆与圆相交，
故圆与圆的公切线有2条，故D正确.
故选：BCD.
10. 已知圆，直线.则下列结论正确的是（ ）
A. 点，为圆上两点，，关于直线对称，则
B. 当时，圆上恰有个点到直线的距离等于
C. 若动点在圆上，点，则线段中点的轨迹方程为
D. 直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A， 根据题意，由圆心在直线上求解判断；对于B，由圆心到直线的距离判断；
对于C.，设，Mx,y，由题意得，解得，代入圆的方程求解判断；
对于D，利用数形结合法求解判断.
【详解】圆的圆心的坐标为，半径为，
对于A ，因为点，为圆上两点，且，关于直线对称，
所以圆心在直线上，故，解得，故A正确；
对于B，当时，直线，圆心到直线的距离为，
所以圆与直线相交，且，
则圆上恰有个点到直线的距离等于，故B错误；
对于C，设，Mx,y，由题意得，
解得，因为点圆上，
代入化简得，故C正确；
对于D，曲线曲线方程可化为，，
该曲线表示以为圆心，半径为的圆在轴的上半部分，
如图所示：
令圆心到直线的距离为，解得，
又直线过定点，点，则，即，
所以若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是，故D正确；
故选：ACD
11. 正方体的棱长为2，点为正方形内的一个动点（含边界），为的中点，则下列结论正确的是（ ）
A. 当与重合时，平面
B. 当时，的最大值为
C. 当时，的轨迹长度为
D. 若，则与平面所成角正弦值的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对A，通过证明线面垂直得到，，进而证明平面；对B，建立空间直角坐标系，设，根据，可得，利用向量模的公式求解判断；对C，取的中点，则平面，由条件可得点在以点为圆心，1为半径的圆上，求解判断；对D，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法求解.
【详解】对于A，当与重合时，如图，连接，
因为平面，平面，
所以，
又，平面，，
所以平面，平面，则，
同理，，且是平面内两条相交直线，
所以平面，即平面，故A正确；
对于B，以点为坐标原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，设，，，
，，当时，
所以，即，
所以，
，，故的最大值为，故B错误；
对于C，因为，所以在以为球心，为半径的球上，
又为侧面上的点，所以在球被平面截得的交线上，
取的中点，则平面，，，
所以点在以点为圆心，1为半径的圆上，如图所示，的轨迹长度为.
故C正确；
对于D，如图，，，，
因为，设，，则，
由选项A，同理可证平面，且，
设与平面所成角为，
则
，，
，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题（本大题有3小题，每小题5分，共15分.）
12. 已知直线的方程为，则直线的倾斜角为___________
【答案】
【解析】
【分析】计算出斜率后，结合斜率与倾斜角的关系计算即可得.
【详解】由可得直线的斜率为，则直线的倾斜角为.
故答案为：.
13. 在三棱锥中，，，，则该三棱锥的体积为________
【答案】##
【解析】
【分析】求出平面的一个法向量，利用向量法求出点到平面的距离，的面积，运算得解.
【详解】设平面的一个法向量为，
则，令，得，
所以，
所以点到平面的距离为，
又
，
所以该三棱锥的体积为.
故答案为：.

14. 已知Ax1,y1在曲线上，为坐标原点，则的取值范围为______
【答案】
【解析】
【分析】分和两种情况讨论，得到不同情况时曲线所表示的轨迹及轨迹方程，数形结合即可求解的范围.
【详解】因为,
①当时，曲线的方程为:
即,即,此时,所以
即,解得,所以曲线是右半椭圆;
②当时,曲线的方程为:，
即,即
此时,由得;
由，即,得,得;
由，解得或;
综上所述：，
曲线是以为圆心,2为半径的圆在轴左侧的部分，如图所示：
表示点Ax1,y1和点的距离及点Ax1,y1和点的距离的和；
当点位于椭圆部分时,由椭圆的定义可知；
当点位于圆部分时,因为圆心,半径，所以，
当点与点重合时，，
当点与点或点重合时，,
此时,
终上所述：当Ax1,y1在曲线上时，,
故答案为：
四、解答题（本大题共5题，共77分，15题13分，16、17题15分，18、19即17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. （1）若直线和直线平行，求的值及到的距离.
（2）已知直线经过点，，求点关于直线对称点的坐标.
【答案】（1），，（2）
【解析】
【分析】（1）根据两直线平行的充要条件求出，再利用两平行线间距离公式求解；
（2）求出方程，设出根据对称性列式运算得解.
【详解】（1）因为，所以，解得，
所以，，
所以与的距离为.
（2）因为，所以直线的方程为，即，
设，则，解得，
所以点坐标为.
16. 已知圆心为的圆经过点，，且圆心在直线上.
（1）求圆的方程.
（2）斜率为2的直线与圆交于，两点，，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）求出线段的垂直平分线方程，与已知直线方程联立求出圆心坐标及半径，即得圆的方程.
（2）根据题意可得圆心到直线的距离为1，设出直线的方程运算得解.
【小问1详解】
由题意，中点为，直线的斜率为，
则线段的垂直平分线方程为，
圆心在线段的垂直平分线上，由，解得，
所以圆心得坐标为，半径为，
所以圆方程为.
【小问2详解】
因为，可得圆心到直线的距离为1，
设直线的方程为，
则，解得，
所以直线的方程为或.

17. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，，点在上，为椭圆的一个动点.
（1）求的方程.
（2）当时，求的面积.
（3）求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由，点，知的值，再由得，即可得到椭圆方程；
（2）在中，结合椭圆的定义及余弦定理可得，进而求得的面积.
（3）设，表示的坐标，根据椭圆的有界性即可求出的取值范围.
【小问1详解】
（1）由题设得到，且，即 ，∴,
故椭圆方程为：.
【小问2详解】
∵为椭圆的一点，
∴，平方得 ①，
在中，由余弦定理，得，
即 ②，
由，得，即，
所以的面积.
【小问3详解】
设，则，所以，.
因为， ，
.
∵，∴.
所以的取值范围是.

18. 如图，四棱锥，底面为菱形，，且均为锐角，，
（1）求证:
（2）当四棱锥体积为时，
（i）时，求二面角的余弦值.
（ii）是否存在的值，使得直线与平面所成角的正弦值为?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；
（2）（i）；（ii）存在，
【解析】
【分析】（1）过点作平面于，证明点在线段上，即可知平面，结合线面垂直的性质即可得出结果.
（2）（i）过作交于点，过作于点，连结，则为所求，根据计算，的长，可求出二面角的正切值，从而求出余弦值. （ii）建立空间直角坐标系，用向量求线面角的方法计算可求出结果.
【小问1详解】
过点作平面于，过分别作于两点，连结，
因为平面，则，又，平面，
所以平面，平面，则，
同理，
，且为公共边，
，，
在以及中，为公共边，，
即点在角平分线上，即，所以平面，
因为平面，平面，所以，
又底面为菱形，所以，平面，
平面，平面，
.
【小问2详解】
（i），
所以，，
过作交于点，则平面，
过作于点，连结，
因为平面，
所以，又，平面，
则平面，所以为二面角的平面角，
，
，且，所以，
则，
设二面角的平面角为，则，
所以.
（ii）设，在菱形中，，
以为原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图：
则，，，，
，
，则，
设平面的法向量，，，
则，令得：，
直线与平面所成角的正弦值为
，
解得：或（舍），
所以.
19. 已知，，动点满足，点的轨迹为曲线.
（1）求的方程.
（2）曲线，曲线与曲线的交点为，.以为直径的圆与轴，轴正半轴交点分别为，.
（i）点Q在直线上移动，过Q作圆的切线，切点为C，，试问直线是否过定点?若是.求出这个定点；若否，请说明理由.
（ii）为圆上异于，的一点，直线交轴于点，直线交轴于点，求证：为定值.
【答案】（1）
（2）（i）过定点为；（ii)证明见解析.
【解析】
【分析】（1）先设点,然后利用化简求解即可.
（2）先计算交点坐标，然后求出圆的方程，求出点，的坐标；再分别计算每一个小问，
（i）利用切线与半径垂直，然后建立等式求出直线方程，计算定点即可；
（ii）先分别计算出两个直线，然后计算两个焦点，表示出然后化简求解即可.
【小问1详解】
设
因为
所以有
经整理得
【小问2详解】
方程与方程联立
求解得或
所以圆的方程为
所以有
（i）设
易知圆的圆心为原点
所以有
由向量数量积的几何意义可知
所以有
故两点均满足直线
所以直线CD的方程为
过定点
（ii）设
则有,
所以得到
所以
所以
因为
不妨设
所以有
继续化简得
所以为定值4.
【点睛】关键点点睛：当两个数的平方和为定值时，我们可以三角换元，这样就只有一个变量了，然后求解即可.