普通高中学业水平合格性考试数学综合训练卷01（基础卷）-2025年高中数学学业水平合格性考试总复习（全国通用，春季高考适用）

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一、选择题: 本题共 19 小题， 每小题 3 分， 共 57 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由集合的交集、补集运算即可求解.
【详解】已知集合，
则.
故选：B.
2．是在斜二测画法下的直观图，其中，则的面积是（ ）
A．B．4C．8D．
【答案】C
【分析】根据斜二测画法作出的图象再求解即可.
【详解】由题意，作出的图象可得，且，故.
故选：C
3．已知函数则的值为（ ）
A．4B．5C．8D．0
【答案】B
【分析】根据分段函数的解析式求得正确答案.
【详解】因为所以，
所以.
故选：B
4．点关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据特殊角的三角函数先求出该点坐标，关于y轴对称后，y不变，x相反
【详解】∵，
∴，
关于轴对称点的坐标是．
故选：A．
5．下列各组函数表示同一函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由对应关系及定义域逐项判断即可.
【详解】对于A：两函数对应关系不一样，不表示同一函数，；
对于B：，，两函数定义域不同，不表示同一函数；
对于C：：，，对应关系相同且定义域相同（都是），表示同一函数；
对于D：，两函数对应关系与定义域都不相同，不表示同一函数.
故选：C
6．已知函数在上单调递减，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据二次函数的对称轴列不等式即可得解.
【详解】由二次函数性质可知，要使函数在上单调递减，只需，
解得，即的取值范围为.
故选：A
7．已知某运动员每次射击击中目标的概率为80%.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率.先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 7610 4281
1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424
根据以上数据估计该射击运动员射击4次，至少击中3次的概率为（ ）
A．0.852B．0.7C．0.8D．0.75
【答案】D
【分析】根据给定的随机数表，求出只击中1次或2次的频数，再求出古典概率.
【详解】由已知的数表知，射击运动员射击4次，只击中1次或2次的有7140，7610，1417，0371，6011，共5组，
因此该射击运动员射击4次，至少击中3次的有15组，
所以该射击运动员射击4次，至少击中3次的概率为.
故选：D
8．在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据线线平行证明线面平行.
【详解】A选项：
如图所示，由中位线性质可知，且平面，则与平面不平行，A选项满足题意；
B选项：由正方体结构特征，易得，结合线面平行的判定定理，知B不满足题意；
C选项，由正方体结构特征，易得，结合线面平行的判定定理，知C不满足题意；
D选项，由正方体结构特征，易得，结合线面平行的判定定理，知D不满足题意，
故选：A．
9．设，向量，，且，则（ ）
A．B．C．D．10
【答案】C
【分析】先根据平面向量垂直的坐标公式求出，再根据平面向量线性运算的坐标表示及模的坐标公式即可得解.
【详解】因为，所以，
即，所以，
则，
所以.
故选：C.
10．已知，则的最小值为（ ）
A．B．3C．4D．5
【答案】D
【分析】根据基本不等式求解即可.
【详解】因为，根据基本不等式可得，
当且仅当，即时，等号成立；
所以的最小值为5，
故选：D.
11．已知函数（）的图象关于对称，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据正弦型函数的对称性有，，结合已知确定的值.
【详解】由题设，，则，，
又，故.
故选：A
12．如图，平行四边形ABCD中，，若，则（ ）

A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据条件，结合图形，利用向量的线性运算，即可求出结果.
【详解】因为四边形为平行四边形，且，，
所以，即①，
又，即②，
由①②得到，又，，所以.
故选：C.
13．已知一组数据的平均数，方差，则数据的平均数、方差分别为（ ）
A．16，20B．16，80C．18，20D．18，80
【答案】D
【分析】根据平均数、方差的性质求解．
【详解】由题意数据的平均数为，
方差为，
故选：D．
14．“关于的不等式的解集为R”的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意求出“关于的不等式的解集为R”的充要条件为，对比选项即可求解.
【详解】当时，恒成立；当时，由题意，得解得，
综上，实数的取值范围为，
则“关于的不等式的解集为R”的一个必要不充分条件是．
故选：C.
15．如图，在正方体中，，分别为，的中点，则直线和夹角的余弦值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由正方体结构特征证得，化为求直线和夹角余弦值，应用余弦定理求结果.
【详解】连接，由正方体的性质，知也是的中点，且，即，
又，故为平行四边形，则，
所以直线和夹角，即为直线和夹角，
若正方体棱长为2，则，
所以，即直线和夹角余弦值为.
故选：C

16．如图圆柱的底面周长是，圆柱的高为，为圆柱上底面的直径，一只蚂蚁如果沿着圆柱的侧面从下底面点处爬到上底面点处，那么它爬行的最短路程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】把圆柱沿母线AC剪开后展开，点展开后的对应点为，利用两点之间线段最短可判断蚂蚁爬行的最短路径为，利用勾股定理计算出即可．
【详解】
把圆柱沿母线AC剪开后展开，点展开后的对应点为，
则蚂蚁爬行的最短路径为，
如图，由题意可知，，
在，，
所以它爬行的最短路程为，
故选：C
17．下列函数中，与函数的图象形状相同的是（ ）
A．；B．；
C．；D．.
【答案】D
【分析】利用三角函数图象形状相同的性质即可得解.
【详解】与函数的图象形状相同，则振幅和周期相同即可，
即；
对于A，中，振幅不相同，故A错误；
对于B，中，振幅不相同，故B错误；
对于C，中，周期不相同，故C错误；
对于D，中，相同，则图象相同，故D正确.
故选：D.
18．用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如表所示：
则当精确度为时，方程的近似解可取为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用二分法结合零点存在定理即可判断选项.
【详解】由表格可得，函数的零点在区间内，
结合选项可知，方程的近似解可取为．
故选：C
19．已知函数在R上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．2,4C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用分段函数单调性，结合二次函数及对数函数单调性列出不等式组，求解即得.
【详解】由函数在R上单调递增，得，解得，
所以的取值范围是2,4.
故选：B
二、填空题: 本题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.
20．已知A，B两个事件相互独立，且，，则 ．
【答案】0.28
【分析】根据相互独立事件的定义计算即可.
【详解】因为相互独立，
所以.
故答案为：.
21．已知为虚数单位，复数，则复数的虚部为
【答案】/0.1
【分析】根据复数的四则运算直接化简，再根据复数的相关定义可得解.
【详解】，
所以复数的虚部为.
故答案为：.
22．已知正方形的边长为1，点满足，则的最大值为 ．
【答案】/
【分析】建立平面直角坐标系，求出相应向量的坐标，由数量积的坐标运算可得，再由二次函数的最值知识即可求得.
【详解】以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，建立平面直角坐标系，
则，
因为，
所以，
所以当时，取得最大值.
故答案为：.
23．我国火力发电厂大气污染物排放标准规定：排放废气中二氧化硫最高允许浓度为.已知我国某火力发电厂排放废气中二氧化硫的初始浓度为，现通过某种工艺对排放废气进行过滤处理，处理后废气中剩余二氧化硫的浓度（单位：）与处理时间（单位：分钟）满足关系式：，那么从现在起至少经过 分钟才能达到排放标准.（参考数据：，结果取整数）
【答案】16
【分析】由题意得到不等式，两边取对数，得到，代入，求出答案.
【详解】由题意得，
即，
故，
因为，
所以，
故，
所以从现在起至少经过16分钟，才能达到排放标准.
故答案为：16
三、解答题: 本题共 3 小题， 共 27 分.解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤.
24．如图，已知，，，分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点.
(1)求证：点在直线上；
(2)作出过、、三点的截面；（写出作图过程并保留作图痕迹）
【答案】(1)证明见详解
(2)图形见详解
【分析】（1）通过证明在平面与平面的交线上,来证得在直线上.
（2）取的中点P，连接，易证，则即为所求截面.
【详解】（1）平面平面,
由于平面
所以平面,
同理平面,
所以平面，
所以,即点在直线上.
（2）如图所示，取的中点，连接，
因为，，
所以，故共面.
则即为所求截面.
25．在中，，，且△ABC的面积为．
(1)求a的值；
(2)若D为BC上一点，且________，求的值．
从①；②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据三角形面积公式计算得到a的值；
（2）若选①，由正弦定理得，从而计算；若选②，由余弦定理得，结合三角内角和得．
【详解】（1）由于，，
，解得；
由余弦定理得，解得；
（2）若选①，则当时，在中，由正弦定理，
即，所以，∵，∴；
若选②，则当时，在中，由余弦定理知，
，解得或（舍），
，
∵，∴．
26．已知定义域为的函数是奇函数．
(1)判断函数单调性并用定义证明；
(2)若对于任意，不等式恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)单调递增，证明见解析
(2)
【分析】（1）由题意可知，进而求解，再根据函数单调性的定义证明即可；
（2）由题意及（2）可将原不等式变形为在上恒成立，分离常数求解即可.
【详解】（1）因为是定义域为R的奇函数，
所以
解得，此时，则，
则此时为奇函数.
在上单调递增，证明如下：
，
任取实数，且，
则，
因为，所以，且，
所以，
即时，，
所以在上单调递增.
（2）因为是奇函数，所以等价于，
由（1）知在上单调递增，
所以在上恒成立；
等价于在上恒成立，
由对勾函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增；
因为时，；时，；
所以.