数学必修第二册7.2 余弦函数的图像与性质优质课件ppt

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一、余弦函数 y=csx (x∈R) 的图象
思考：如何将余弦函数用诱导公式写成正弦函数？
1.余弦函数图像的画法(1)变换法:y=sin x图像向左平移______个单位即得y=cs x的图像.(2)五点法:利用五个关键点(0,1), ,(π,-1),_______,(2π,1)画出[0,2π]上的图像,再左右扩展即可.
【思考】类比正弦函数,画余弦函数的图像还有其他方法吗?提示:借助正弦函数图像左右平移.
图象中关键点图象中关键点
1 0 -1 0 1
五点法作y=csx, x∈[0， ]的简图
　　 由诱导公式 cs( x+2k)＝cs x，将 y＝cs x ，x[0，2 ] 的图象沿 x 轴向左、右平移2 ， 4  ，…， 就可得到 y＝cs x的图象.
余 弦 曲 线
余弦函数的图象，就叫做余弦曲线.
【思考】如何理解余弦函数的图像与性质?提示:借助正弦函数的图像与性质,类比推理,可得余弦函数的图像与性质.
例1 利用“五点法”作函数
上的图像,并根据图像讨论函数性质.
例3不求值比较下列各对余弦值的大小：
y=csx (xR)
例4、判断下列函数的奇偶性
【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)用“五点法”作正、余弦函数的在[0,2π]上的图像所取的五点的坐标相同.(　　)(2)函数y=sin x向右平移 个单位可得到函数y=cs x的图像.(　　)(3)余弦函数y=cs x在第一象限内是减少的.(　　)
提示:(1)×.不同,作余弦函数在[0,2π]上的图像所取的五点的纵坐标与作正弦函数的都不相同.(2)√.由y=sin(x- )=cs x可知其正确.(3)×.余弦函数y=cs x在第一象限内不具有单调性.
2.对于余弦函数y=cs x的图像,有以下描述:①向左、向右无限伸展;②与y=sin x的形状完全一样,只是位置不同;③与x轴有无数个交点;④关于y轴对称.其中描述正确的是________. 【解析】由函数y=cs x的图像可知①②③④都正确.答案:①②③④
类型一　余弦函数的图像及应用(直观想象)【题组训练】 1.画出函数y=-cs x,x∈[0,2π]的简图.2.画出y=cs x(x∈R)的简图,并根据图像写出:(1)y≥ 时x的集合.(2)- ≤y≤ 时x的集合.
　【解析】1.按五个关键点列表:
描点并将它们用光滑的曲线连接起来,如图:
2.用“五点法”作出y=cs x的简图.
(1)过 点作x轴的平行线,从图像中看出:在[-π,π]区间与余弦曲线交于 , 点,在[-π,π]区间内,y≥ 时,x的集合为 .当x∈R时,若y≥ ,则x的集合为
(2)过 , 点分别作x轴的平行线,从图像中看出它们分别与余弦曲线交于 ,k∈Z, , k∈Z点和 ,k∈Z, +2kπ, ,k∈Z点,那么曲线上夹在对应两直线之间的点的横坐标的集合即为所求,即当- ≤y≤ 时x的集合为:
【解题策略】 “五点法”画函数图像的三个步骤
【补偿训练】1.作出函数y=1- cs x在[-2π,2π]上的图像.
②作出y=1- cs x在x∈[0,2π]上的图像.由于该函数为偶函数,作关于y轴对称的图像.从而得出y=1- cs x在x∈[-2π,2π]上的图像.
2.已知函数y=2cs x(0≤x≤1 000π)的图像和直线y=2围成一个封闭的平面图形,则这个封闭图形的面积是________. 【解析】如图,y=2cs x的图像在[0,2π]上与直线y=2围成封闭图形的面积为S=4π,所以在[0,1 000π]上封闭图形的面积为4π×500=2 000π.
类型二　余弦函数的性质及应用(逻辑推理) 　角度1　单调性及应用 【典例】(1)函数y=1-2cs x的单调增区间是________. (2)比较大小:cs π________cs . 【思路导引】(1)y=1-2cs x的单调性与y=-cs x的单调性相同,与y=cs x的单调性相反.(2)利用诱导公式将所给角转化到同一单调区间上比较.
【解析】(1)由于y=cs x的单调减区间为[2kπ,2kπ+π](k∈Z),所以函数y=1-2cs x的单调增区间为[2kπ,2kπ+π](k∈Z).(2)由于cs π=cs =cs ,cs =cs =cs =cs ,y=cs x在[0,π]上是减少的.由 < 知cs >cs ,即cs π