贵州省六盘水市2023_2024学年高二数学上学期期中质量监测试题含解析

这是一份贵州省六盘水市2023_2024学年高二数学上学期期中质量监测试题含解析，共18页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卷交回等内容，欢迎下载使用。

（考试时长：120分钟试卷满分：150分）
注意事项：
1．答题前，务必在答题卷上填写姓名和考号等相关信息并贴好条形码．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卷上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将答题卷交回．
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】先得，，根据并集的运算可得.
【分析】，
，
则，
故选：C
2. 复数的虚部是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的除法运算，分子和分母同时乘以，进行化简运算，找到虚部即可.
【详解】由题意可得：，故虚部为:.
故选：B.
3. 某校有教师360人，其中高级及以上职称教师240人，一级职称教师80人，其他职称教师40人，现采用分层抽样从中抽取18人参加某项调研活动，则高级及以上职称教师应抽取人数是（）
A. 2B. 4C. 9D. 12
【答案】D
【解析】
【分析】根据分层抽样的定义求解即可.
【详解】由题意知，高级及以上职称教师应抽取的人数为
人.
故高级及以上职称教师应抽取的人数为12人.
故选：D.
4. 若；，则p是q的（）
A充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 即不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据指数幂与对数的运算性质，分别求得命题为真命题时，的取值范围，再结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由不等式，可得，解得，构成集合
又由，可得，解得，构成集合，
因为集合是集合的真子集，所以是的必要不充分条件.
故选：B.
5. 已知，，且函数的图象经过点，则的最小值为（）
A. B. 9C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据指数恒过的定点得，利用基本不等式中常数代换技巧即可求解最值.
【详解】因为函数的图象经过点，所以，又，，
所以，
当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为.
故选：C
6. 函数在区间的图象大致为（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】判断出函数的奇偶性，再利用特殊值的正负得出选项．
【详解】设，
则，即在上是奇函数，排除B，D，
又，
故选：A
7. 已知等边三角形ABC的边长为2，D，E分别是BC，AC的中点，则（）
A. B. C. D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】将，设基底，表示出，，运用数量积定义解决问题.
【详解】解：
.
故答案选：A.
8. 已知定义在上的函数满足，，则下列选项不一定正确的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据条件可得函数的周期为2，利用赋值法可得，由此可判断各选项.
【详解】因为，，
可得，，,
即得，所以函数的周期为2，
令，可得，故A，B正确；
又的周期为2，所以，故D正确；而C不一定正确.
故选：C.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法中正确的有（）
A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
【答案】CD
【解析】
【详解】根据线线，线面，面面的位置关系，即可判断选项.
【分析】A.缺少这个条件，故A错误；
B. 若，，，则或相交，故B错误；
C. 若，，则，又，则，故C正确；
D.若，，则，又，则，故D正确.
故选：CD
10. 下列等式成立的有（）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】应用三角恒等变换化简求值，逐个判断即可.
【详解】对A，，A错误；
对B，，B正确；
对C，，C正确；
对D，
，D错误.
故选：BC
11. 已知三条直线：，，不能围成一个三角形，则实数k的值为（）
A. B. C. 0D. 2
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据题意，分直线与平行或重合，直线与平行或重合和直线过和的交点，三种情况讨论，结合两直线平行的判定和两直线的交点坐标，列出方程，即可求解.
【详解】根据题意，直线，不能围成一个三角形，
当直线与平行或重合时，可得，解得；
当直线与平行或重合时，可得，解得；
当直线过和的交点时，
由方程组，解得，即两直线的交点为，
代入直线，可得，解得，
所以实数的值为.
故选：BCD.
12. 已知实数满足，则下列不等式可能成立的有（）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】先令连等式为，取特殊值或者画出函数图像确定ABD可能成立，再利用导数证明C错误即可.
【详解】法一：令，则，
当时，此时，D正确；
当时，此时，B正确；
当时，此时，A正确；
令，则，
令，则，
令，解得，此时单调递增，
令，解得，此时单调递减，
所以，即恒成立，
所以在上单调递增，所以，
所以恒成立，即恒成立，所以C错误，
故选：ABD
法二：令，则，
如图所示，分别画出的图像，
当时，此时，D正确；
当时，此时，B正确；
当时，此时，A正确；
令，则，
令，则，
令，解得，此时单调递增，
令，解得，此时单调递减，
所以，即恒成立，
所以在上单调递增，所以，
所以恒成立，即恒成立，所以C错误，
故选：ABD
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知，，则的值为________．
【答案】0
【解析】
【分析】运用向量数量积定义和坐标运算规则解决问题.
【详解】解：因为，，
所以.
故答案为：0.
14. 从0~9这10个数中随机选择一个数，则这个数的平方的个位数字是奇数的概率为________．
【答案】##0.5
【解析】
【分析】利用列举法求解出古典概型的概率.
【详解】，
其中个位数字是奇数的有，共5个，
故这个数的平方的个位数字是奇数的概率为.
故答案为：
15. 四面体ABCD中，，，，则该四面体的外接梂的表面积为________．
【答案】
【解析】
【分析】利用补形法解决外接球问题.
【详解】解：因为，，，
故可以将此四面体ABCD的外接球等价于如图所示的长方体的外接球，
所以，，，
所以，
外接球的直径，
故外接球的半径为，
所以外接梂的表面积为.
故答案为：.
16. 已知定义在上奇函数为单调递增函数，若恒成立，则t的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【详解】由题为在上的奇函数和单调递增函数，根据，得，设得，再利用基本不等式可得结果.
【分析】由得，
因为为上的奇函数，所以，
故，
又因在上单调递增，
所以即，
设，则恒成立，
则，
因，当且仅当即，时等号成立,
故.
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求B的大小；
（2）若，，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）运用正弦定理化简，再运用余弦定理便可解出结果；
（2）运用方程组思想解出的值，从而解出的面积.
【小问1详解】
在ABC中，因为，
由正弦定理可得，,
化简得，
所以，
因为，所以；
【小问2详解】
由（1）及题意可得，
故，
整理得，
又，解得，
所以.
18. 已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象．
（1）求函数的解析式；
（2）若关于x的方程在区间上恰有两个实数根，求实数a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据图像平移可得；
（2）将方程在区间上恰有两个实数根，转化为函数在区间
的图像与函数的图像有两个交点，利用函数图像可确定实数的取值范围.
【小问1详解】
函数，由图象向右平移可得，
所以函数的解析为：.
【小问2详解】
函数，当时，
，
函数的图像如下：
要使方程在区间上恰有两个实数根，
等价于函数在区间的图像与函数的图像有两个交点，
由图可知：，
故实数的取值范围为：.
19. 为了解某校任课教师年龄分布情况，现随机抽取100名教师，统计他们的年龄，并进行适当分组，绘制出如下图所示的频率分布直方图．
（1）求出频率分布直方图中实数a的值．根据频率分布直方图，估计该校任课教师年龄的下四分位数；（结果保留小数点后2位有效数字）
（2）根据频率分布直方图，现从年龄在内的教师中采用分层抽样的方式抽取5人，再从这5人中随机抽取2人分享他们的教学经验，求这2人中至少有1人年龄在内的概率．
【答案】（1）a=0.016，下四分位数约为34.58
（2）
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图的特征和下四分位数的概念计算，即可求解；
（2）由（1）求出抽取在[45,50)、[50,55)内的人数，标记，列举出所有的样本点，利用古典概型的概率公式计算即可求解.
【小问1详解】
由频率分布直方图得(0.012+2a+2×0.024+0.048+0.060)×5=1，
解得a=0.016，
设样本数据的下四分位数为m，则有：，
解得；
根据频率分布直方图的下四分位数，可估计该校任课教师年龄的下四分位数约为34.58.
【小问2详解】
由（1）得a=0.016，
结合频率分布直方图可算得年龄在[45,50)的人数为人，
年龄在[50,55)的人数为人；
用分层抽样的方式从这两组中抽取5人，则落在[45,50)内的应抽人，
在[50,55)内的应抽人，
将年龄在[45,50)的3位教师编号为1，2，3，年龄在[50,55)的2位教师编号为，b；
则从这5人中随机抽取2人，所有基本事件为：（1,2）（1,3）（1,）（1,b）（2,3）
（2,）（2,b）（3,）（3,b）（,b）共10种，
至少有1名年龄在[50,55)的有（1,）（1,b）（2,）（2,b）（3,）（3,b）（,b）共7种，
所以这2人中至少有1名年龄在[50,55)的概率为
20. 如图，四棱锥中．底面为矩形，平面，M，N分别为，的中点．
（1）若点E是线段的中点．证明：平面；
（2）设，，，线段上是否存在点E，使得与平面所成角的正弦值为．
【答案】（1）证明见解析
（2）存在，理由见解析
【解析】
【分析】（1）连接交于点O，连接，则，又，从而可证，根据线面平行的判定定理即可证明；
（2）建立如图空间直角坐标系，设（0≤≤1），利用空间向量法求出与平面的所成角，求出即可.
【小问1详解】
连接交于点O，连接，
因为底面为矩形，故点O是中点，
又E是线段的中点，在PBD中，有；
在PBA中，M，N分别为，的中点，有，
所以，平面，又平面，
故平面；
【小问2详解】
以A为原点为基底，建立如图空间直角坐标系，
因为，所以，
则：，
设平面PBC的法向量为，
则，即：，
令，解得，则.
设（0≤≤1），则，，
要使得AE与平面PBC所成角的正弦值为，则：
，
解得：，（舍去）
故线段上存在点E，使得与平面所成角θ的正弦为.
21. 已知直线（为任意实数），直线.
（1）当时，求的值；
（2）过点作直线的垂线，垂足为Q，求点Q到直线的距离的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用两直线平行公式建立的方程求解，注意检验两直线重合的情况；
（2）先求出直线的垂线，联立方程求解点Q，把点Q到直线的距离的最大值转化为两点的距离求解.
【小问1详解】
当时，有，解得；经检验与不重合，
所以.
【小问2详解】
，斜率为，
过点与直线的垂线的直线方程为：即，
联立方程，解得，即Q，
直线即，
联立，解得，所以直线恒过点，
使点Q到直线的距离的最大值，只需线段QR垂直于直线，
此时点Q到直线的距离的最大值为：.
22. 已知定义在的函数，其中．
（1）若方程有解，求实数a取值范围；
（2）若对任意实数，不等式在区间上恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意可将原方程变形为，利用转化的思想可知函数的图象有交点，结合二次函数的性质即可求解；
（2）易知函数在区间上为减函数，则、，结合恒成立问题，列出不等式组，解之即可求解.
【小问1详解】
已知，当时则.
要使方程有解有解，
即方程有根；
转化为函数的图象有交点；
又函数的函数值大于，
故实数a的取值范围为.
【小问2详解】
由可知，函数在区间上为减函数，；
故函数在区间上的最大值为：，
最小值为：
对于任意实数，不等式在区间上恒成立，等价于：
，即，解得，
对任意实数恒成立，
即，解得：.