四川省自贡市荣县2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题（解析版）-A4

这是一份四川省自贡市荣县2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题（解析版）-A4，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本题8个小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个选项符合题意）
1. 在下列的运动标识中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【详解】解：选项A的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
选项B、C、D的图形均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A. 1，6，7B. 2，5，8C. 3，4，5D. 5，5，10
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，熟知“三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”是解题的关键．
【详解】解：A、∵，
∴不能构成三角形，不符合题意；
B、∵，
∴不能构成三角形，不符合题意；
C、∵，
∴能构成三角形，符合题意；
D、∵，
∴不能构成三角形，不符合题意；
故选C．
3. 在平面直角坐标系中，点关于y轴的对称点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查关于x轴对称的点的坐标，掌握关于y轴对称的两个点，其横坐标互为相反数，纵坐标不变是正确解答的关键．根据关于y轴对称的点的坐标的关系进行解答即可．
【详解】解：关于y轴对称的两个点，其横坐标互为相反数，纵坐标不变，
所以点关于y轴的对称点的坐标是，
故选：A．
4. 已知等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长是（ ）
A. 9B. 12C. 9或12D. 不确定
【答案】B
【解析】
【分析】所给出的边2、5均可以作腰，也可以作底，分两种情况讨论，注意使用三角形三边的关系进行判断．
【详解】解：①若2为腰，则 ，不能构成三角形，此种情况舍去；
②若2为底，则 ，能构成三角形，故周长是 ．
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形三边的关系，解题的关键是注意分情况讨论．
5. 完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．如图，五边形是迄今为止人类发现的第15种完美五边形的示意图，其中，则的度数和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用多边形的外角和为即可得出答案．本题考查了多边形的外角和，熟练掌握多边形的外角和为是关键．
【详解】解：多边形的外角和为，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
6. 如图，，，，，，则的度数等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理，根据已知求得，结合全等三角形的性质得和，利用三角形内角和定理即可得即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴．
故选：B．
7. 如图，ABC是等腰三角形，点O 是底边BC上任意一点，OE、OF分别与两边垂直，等腰三角形ABC的腰长为5，面积为12，则OE+OF的值为
A. 4B. C. 15D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】连接AO，根据S△ABC=S△ABO+S△AOC，结合AB=AC=5，利用三角形面积公式进行求解即可.
【详解】连接AO，如图，
∵AB=AC=5，
∴S△ABC=S△ABO+S△AOC=AB•OE+AC•OF=OE+OF=12，
∴OE+OF=，
故选 B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的面积，正确添加辅助线将三角形分成两个小三角形并正确地表示面积是解题的关键.
8. 如图，在中，，，为的中点，直角绕点旋转，分别与边交于两点，连接．有下列结论：①是等腰直角三角形；②；③；④；⑤其中正确的是（ ）
A. ①②B. ②③④C. ①②③D. ①③④⑤
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，首先根据等腰直角三角形的性质可以得到，，根据同角的余角相等可证，从而可证，所以结论③成立；根据全等三角形对应边相等可得，所以结论①成立；因为，，所以，所以结论②成立；根据三角形两边之和大于第三边可证，从而可得，所以可知结论④错误；当时，可得，即得到，得到，由与AB不一定垂直，可得不一定等于，故可知⑤错误，据此即可求解，解题的关键是根据等腰直角三角形的性质找到相等的角和边，再根据边和角之间的关系证明三角形全等，最后根据全等三角形的性质判断各项结论是否正确．
【详解】解：∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，故①正确；
∵，
∴，
∵，，
∴，故②正确；
在和中 ，
，
∴，故③正确；
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在中，，
∴ 故④错误；
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
当时，，
则，
即，
∵与AB不一定垂直，
∴不一定等于，故⑤错误；
综上，正确的结论是①②③，
故选：.
二、填空题（每小题3分，共18分）
9. 如图，生活中会把花架做成三角形的支架，这是利用了三角形的_____．
【答案】稳定性
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，解题的关键是熟练掌握三角形的稳定性．
【详解】解：由题意可得：
生活中会把花架做成三角形的支架，这是利用了三角形的稳定性．
故答案为：稳定性．
10. 如图所示：要测量河岸相对的两点A、B之间的距离，先从B处出发与成角方向，向前走50米到C处立一根标杆，然后方向不变继续朝前走50米到D处，在D处转沿方向再走17米，到达E处，使A、C与E在同一直线上，那么测得A、B的距离为__________．
【答案】17米
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据意义得出（米），结合对顶角相等，得证，即可作答．
【详解】解：∵从B处出发与成角方向，向前走50米到C处立一根标杆，然后方向不变继续朝前走50米到D处，D处转沿方向再走17米，
∴（米），
∵A、C与E在同一直线上，
∴，
∴，
∴（米），
故答案为：17米．
11. 一个多边形的内角和为，这个多边形的边数是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查多边形内角和，根据多边形内角和公式求解即可．
【详解】解：设这个多边形的边数是，
由题意可得：，
解得，
故答案为：．
12. 如图，在中，，，点D，E分别在，上，将沿折叠得，且满足，则________．
【答案】##74度
【解析】
【分析】此题主要考查了图形的折叠变换及其性质，三角形的内角和定理，平行线的性质．
先根据三角形的内角和定理求出，根据折叠的性质得，再根据得，然后根据平角的定义得，据此可得的度数．
【详解】解：∵在中，，，
，
由折叠的性质得：，
∵，
，
，
，
．
故答案为：．
13. 在中，是中线，已知，，则中线的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】通过倍长中线，构造，从而得到，利用三角形三边关系可得，再通过即可求解．
【详解】解：如图，延长至E，令，连接，
∵是的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，根据三角形的三边关系可得，
即，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形三边关系的应用等，通过倍长中线构造全等三角形是解题的关键．
14. 如图，等腰中，，，点D为的中点．点P在线段上以的速度由点B向点C运动，点Q在线段上以的速度由点C向点A运动，两点同时出发，如果在某一时刻与全等，那么__________．
【答案】2或
【解析】
【分析】设运动后，与全等，此时，，根据和两种情况解答即可．
本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，分类思想，熟练掌握情深几许的性质，分类思想是解题的关键．
【详解】解：设运动后，与全等，此时，，
∵，，点D为的中点．
∴，，
当时，
∴，，
∴，，
∴，，
解得；
当时，
∴，
∴，
解得；
故答案为：2或．
三、解答题（本题5个小题，共25分）
15. 如图，点E、F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C．求证：∠A＝∠D．
【答案】见解析
【解析】
【分析】由BE＝CF可得BF＝CE，再结合AB＝DC，∠B＝∠C可证得△ABF≌△DCE，问题得证．
【详解】解∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE．
在△ABF和△DCE中，

∴△ABF≌△DCE，
∴∠A＝∠D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握全等三角形的判定和性质．
16. 如图，是高，是的角平分线，若，．求和的度数．

【答案】，
【解析】
【分析】本题考查三角形的内角和定理及角平分线的性质，高线的性质，由三角形内角和定理可求得的度数，根据角平分线定义求出的度数，在中，可求得的度数，最后根据角的和差关系求解即可．
【详解】∵，，
∴，
∵是角平分线，
∴．
∵是高，，
∴，
∴，
．
17. 如图，中，为直角，，于，若，求AB的长．
【答案】12
【解析】
【分析】根据含30度角的直角三角形性质求出AB＝2BC，求出∠DCB＝30，求出BC＝2BD＝4，即可求出答案．
【详解】为直角，，
，
于，
．
，
．
．
【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形性质和三角形内角和定理的应用，注意：在直角三角形中，如果有一个角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
18. 证明：三角形内角和．（画出图形，写出已知、求证，并证明）
【答案】见解析．
【解析】
【分析】利用平行线的性质，将三角形的三个内角集中到同一个顶点，再由平角为180°，证明解题即可．
【详解】已知：如图，
求证：
证明：过点作，如图，
三角形内角和．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理、平行线的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
19. 如图，校园有两条路，在交叉口附近有两块宣传牌C、D，学校准备在这里安装一盏路灯，要求灯柱的位置P离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你用尺规作出灯柱的位置点P．（请保留作图痕迹）
【答案】如图，点P为所作．
【解析】
【分析】本题考查了作图，分别作线段的垂直平分线和角平分线，根据角平分线上的点到线段两端的距离相等，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，得到它们的交点，熟知角平分线和线段垂直平分线的性质是解题的关键．
【详解】连接，作的垂直平分线，
作的角平分线，
两线交于，此时点为所求灯柱位置，如图所示：
四、解答题（本题3个小题，每小题6分，共18分）
20. 佳琪同学在学习了三角形内角和及角平分线定义后经大量的测试实验发现，在一个三角形中，两个内角的角平分线所夹的角只与第三个角的大小有关.
测量数据如下表：
（1）通过以上测量数据，请你写出与的数量关系：______.
（2）如图，在ΔABC中，若与的平分线交于点，则与存在怎样的数量关系？请说明理由.
【答案】（1）；（2），理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据表格中的数据，设，利用待定系数法进行计算，即可得到答案；
（2）根据角平分线的性质，得到，，然后利用外角性质，以及角的和差关系，即可得到结论成立.
【详解】解：（1）根据题意，设，
∴，解得：，
∴.
（2）.
理由：∵与的平分线交于点，
∴，.
∵，
∴
.
∵是ΔABC的外角，
∴，
∴.
【点睛】本题考查了角平分线定理，三角形内角和定理以及三角形外角性质，待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是掌握所学性质进行解题.
21. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：，，．
（1）在图中作，使和关于轴对称；
（2）写出点关于轴的对称点的坐标 ；
（3）是轴上一个动点，如果以点为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点的个数为 ；
（4）点是轴上的一个动点，当最小时，画出点的位置．
【答案】（1）见详解 （2）
（3）4 （4）见详解
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称作图、轴对称的性质、等腰三角形的定义和性质等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．
（1）根据轴对称的性质确定点关于轴的对称点，然后顺次连接即可；
（2）关于轴对称的点的坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此可得答案；
（3）根据等腰三角形的定义，分以为等腰三角形的腰和以为等腰三角形的底两种情况，即可获得答案；
（4）连接，交轴于点，连接，即可获得答案．
【小问1详解】
解：如下图，即为所求；
【小问2详解】
解：∵，
∴点关于轴的对称点的坐标为．
故答案为：；
【小问3详解】
解：如下图，
当以为等腰三角形的腰时，可得，，，
当以为等腰三角形的底时，可得，
所以，以点为顶点三角形是等腰三角形，符合条件的动点的个数为4．
故答案为：4；
【小问4详解】
解：如下图，连接，与轴的交点即为所求．
22. 如图，在中，D为的中点，交的平分线于点E，交于点F，交的延长线于点G．
（1）与的大小关系如何？证明你的结论；
（2）若，求的长．
【答案】（1），证明见详解
（2）
【解析】
【分析】（1）连接、，由“”可证，可得．
（2）由得，再由得，易知由此即可解决问题．
本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
【小问1详解】
解： ．理由如下：
如图，连接、，
，为中点，
，
，，且平分，
，
在和中，
，
，
．
【小问2详解】
解：在和中，
，
，
，
，
，
，
∵，
，
．
五、解答题（第23题7分，第24题8分，共15分）
23. 如图，在和中，，，若，连接、交于点P；
（1）求证∶．
（2）求的度数．
（3）如图（2），是等腰直角三角形，，，，点D是射线上的一点，连接，在直线上方作以点C为直角顶点的等腰直角，连接，若，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）60°
（3）或
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，三角形内角和定理的应用；
（1）根据题意得出，即可证明；
（2）根据题意可得是等边三角形，根据（1）的结论可得，进而根据三角形的内角和定理，即可求解；
（3）分情况讨论，当在线段上时，当在的延长线上时，证明，得出，结合图形，即可求解．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
又∵，，
∴；
【小问2详解】
解：∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴
；
【小问3详解】
解：如图所示，当在线段上时，
∵是以点为直角顶点的等腰直角三角形，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
如图所示，当在的延长线上时，
同理可得，∴，
∴，
∵，
∴，
综上所述，或．
24. 在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，且，，顶点A、C分别在y轴、x轴上．
（1）如图1，已知点，，点B在第四象限时，求点B的坐标．
（2）如图2，点C、A分别在x轴、y轴的负半轴上，边交y轴于点D，边交x轴于点E，若平分，点B坐标为．请回答下列问题：
①点B到x轴的距离为 ，到y轴的距离为 ；
②写出点C的坐标为 ，点D的坐标为 ．
【答案】（1）
（2）①n ，m；②，
【解析】
【分析】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定及性质，坐标轴中点坐标的性质，点到坐标轴的距离：点P的坐标为，那么点P到x轴的距离为这点纵坐标的绝对值，即．点P到y轴的距离为这点横坐标的绝对值，即．
（1）过B点作x轴垂线，垂足为D，由题意可证得，故，，，即可知B点坐标为；
（2）①过B点作x轴垂线，垂足为F，连接，因为B点在第一象限，故B点横坐标为B点到y轴距离，B点纵坐标为B点到x轴的距离．
②由题意可证得，再证明为等腰三角形，则可证得，便可知，，，即点C的坐标为，点D的坐标为．
【小问1详解】
解：过B点作x轴垂线，垂足为D，
由题意知：，，，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
故B点坐标为；
故答案为：；
【小问2详解】
解：如图2，过B点作x轴垂线，垂足为F，连接，
①∵点B坐标为，且点B在第一象限，
∴，，
故点B到x轴的距离为n，到y轴的距离为m；
故答案为：n，m；
②由题意知：，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
由①知：，，
故，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴AD垂直平分CE，
故也为等腰三角形，
∴，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
则点C的坐标为，点D的坐标为．
故答案为：，．
测量和度数
测量工具
量角器
示意图
与的平分
线交于点
测量数据
第一次
第二次
第三次
第四次
…
…