广东省广州市执信中学2024-2025 学年九年级上学期期中数学考试试卷（解析版）-A4

这是一份广东省广州市执信中学2024-2025 学年九年级上学期期中数学考试试卷（解析版）-A4，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列图形中，不属于中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了中心对称图形，解题的关键是找出对称中心．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．根据定义逐一判断即可．
【详解】解：A．是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
2. 用配方法解方程，则配方正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案．
【详解】解：
，
故选：B．
3. 如图，中，，，以为圆心、为半径的圆交于点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了圆的有关概念，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，先求得，再由等腰三角形的性质求出，则与互余，解题的关键是掌握等腰三角形的性质．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：．
4. 若二次函数的图象经过点，，则与的大小关系为（ ）
A. B. C. D. 不能确定
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数的对称轴以及开口方向可知，离对称轴越远，函数值越大，判断即可．
【详解】解：∵二次函数解析式为：，
∴对称轴为：，
∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，
∵，
∴，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了比较函数值的大小，根据二次函数开口方向以及对称轴结合点到对称轴的距离是解本题的关键．
5. 抛物线中，y与x的部分对应值如下表：
下列结论中，正确的是（ ）
A. 抛物线开口向上B. 对称轴是直线
C. 当时，y随x的增大而减小D. 当时，y随x的增大而增大
【答案】D
【解析】
【分析】利用表中的对应值和抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线，根据表中数据进而判断开口方向以及增减性即可．
【详解】由图可知，和时对应的函数值相等，
∴抛物线的对称轴为直线，此时抛物线有最大值，
∴抛物线开口向下，故选项A、B错误，
∴当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，
故选项C错误，选项D正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的对称性求出对称轴是解题的关键．
6. 如图，是由绕点按逆时针方向旋转得到的．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了旋转性质，全等三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由旋转得，，则，因为，所以，代入计算，即可作答．
【详解】解：∵是由绕点按逆时针方向旋转得到的，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
7. 如图，已知点，连接，将线段绕着某一点旋转一定角度，使其与线段重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，解题的关键是理解对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．
画出平面直角坐标系，作出新的的垂直平分线的交点P，点P即为旋转中心．
【详解】解：平面直角坐标系如图所示，旋转中心是P点，，
故选：D．
8. 已知二次函数的部分图象如图所示，则使得函数值大于的自变量的取值可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用抛物线的对称性确定抛物线与（0，2）的对称点，然后根据函数图象写出抛物线在直线y=2上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：∵由图象可得抛物线的对称轴为x=-1.5，
∴点（0，2）关于直线x=-1.5的对称点为（-3，2），
当-3＜x＜0时，y＞2，
即当函数值y＞2时，自变量x的取值范围是-3＜x＜0．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象与性质，数形结合是解题的关键．
9. 在中，点C为弦的中点，过点C的直径交于点D，E，如果，则长为（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，先根据垂径定理和勾股定理求得，再分类讨论，结合图形求解即可．
【详解】解：如图1，连接，
∵点C为弦的中点，是的直径，，
∴，，又
∴，
∴；
同理，如图2，则，
综上，长为或，
故选：C．
10. 如图，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，点是抛物线上位于轴上方的一点，连接、，分别以、为边向外部作正方形、，连接BD、．点从点运动到点的过程中，与的面积之和（ ）

A. 先增大后减小，最大面积为8B. 先减小后增大，最小面积为6
C. 始终不变，面积为6D. 始终不变，面积为8
【答案】D
【解析】
【分析】令求出AB的长，过点作轴于，过点作轴于，过点作轴于，利用一线三直角的全等模型证明，．从而利用三角形的面积公式得出，从而得解．
【详解】解：令，
解得：，
，
．
过点作轴于，过点作轴于，过点作轴于，

四边形是正方形，
，，
，
又轴，
，
，
，，，
，
．
同理可得：．
，
与的面积和始终不变，面积为．
故选：C．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，正方形的性质，二次函数图象与x轴的交点，三角形的面积公式等知识，涉及的模型是一线三直角的全等模型，构造全等模型得出，是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 点关于原点的对称点的坐标为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解题的关键是熟记“关于原点的对称点，横纵、坐标都互为相反数”．根据关于原点的对称点，横纵、坐标都互为相反数解答．
【详解】解：点关于原点的对称点为，
故答案为：．
12. 将抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的抛物线的函数解析式为________．
【答案】
【解析】
【分析】由平移的规律即可求得答案．
【详解】解：将抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的抛物线的函数解析式为，即
故答案：．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象变换，掌握平移的规律是解题的关键，即“左加右减，上加下减”．
13. 如图所示，要建一个长方形的养鸡场，养鸡场的一边靠墙，如果用长的篱笆围成中间有一道篱笆的养鸡场，养鸡场的面积最大为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题为二次函数的应用，由条件可用表示出鸡场的宽，可用表示出鸡场的面积，再利用二次函数的性质可求得答案．
【详解】解：设养鸡场的长为，则宽为，设养鸡场的面积为，
根据题意可得，
，
抛物线开口向下，
当时，有最大值，
即当时，养鸡场的面积最大，最大值为，
故答案为：．
14. 若，是方程两个实数根，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】先根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：根据题意得，，
所以，
故答案为：．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．利用整体代入法是本题的关键．
15. 如图，点是等边内一点，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】证明，即可得到，，根据旋转的性质可知是等边三角形，则，利用勾股定理的逆定理判断是直角三角形，，利用四边形的面积等边面积面积面积的面积的面积的面积，进行计算即可判断．
【详解】解：在和中，，，，
∴，
∴，．
如图，连接，
根据旋转的性质可知是等边三角形，
∴，
在中，，，，
∴，
∴是直角三角形，.
∴面积为，
作于，则，
∴，
∴等边面积为，
∴四边形的面积为，
∵，
∴四边形的面积的面积的面积，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理，解题的关键是通过旋转把三条线段转化到特殊三角形中，利用特殊三角形的性质进行求解．
16. 已知，抛物线顶点在线段上运动，形状保持不变，与轴交于两点在右侧），下列结论：①；②当时，一定有随的增大而增大；③当四边形为平行四边形时．；④若点横坐标的最小值为，则点横坐标的最大值为3．其中正确的是______．
【答案】①③④
【解析】
【分析】根据顶点在线段上抛物线与轴的交点坐标为可以判断出的取值范围，得到①正确；当顶点运动到轴右侧时，根据二次函数的增减性判断出②错误；令，利用根与系数的关系与顶点的纵坐标求出的长度的表达式，然后根据平行四边形的对边平行且相等可得，然后列出方程求出的值，即可判断③正确；当顶点在点时，能取到最小值，当顶点在点时，能取得最大值，然后根据二次函数的对称性求出此时点的横坐标，判断出④正确．
【详解】解：点，的坐标分别为和，
线段与轴的交点坐标为，
又抛物线的顶点在线段上运动，抛物线与轴的交点坐标为，
，顶点在轴上时取“”，故①正确；
抛物线的顶点在线段上运动，开口向上，
当时，一定有随的增大而增大，故②错误；
令，则，
，
根据顶点坐标公式，，
，即，
，
四边形为平行四边形，
，
，
解得，故③正确；
若点的横坐标最小值为，则此时对称轴为直线，点的横坐标为，则，
抛物线形状不变，当对称轴为直线时，点的横坐标为3，
点的横坐标最大值为3，故④正确．
综上所述，正确的结论有①③④．
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数的顶点坐标，二次函数的对称性，根与系数的关系，平行四边形的对边平行且相等的性质，要注意顶点在轴上的情况．
三、解答题（本题共9小题，满分72分，解答题需写出文字说明，推理过程和演算步骤）
17. 解方程：
【答案】
【解析】
【分析】根据公式法解一元二次方程，即可求解．
【详解】解：
∵，，
∴
解得：
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键．
18. 如图，三个顶点的坐标分别为．
（1）请画出与关于原点成中心对称的图形，并写出坐标；
（2）若以点为旋转中心逆时针旋转后得到的图形为，在网格中画出旋转后的图形．
【答案】（1）作图见解析，
（2）作图见解析
【解析】
【分析】本题考查了作关于原点对称的轴对称图形，作旋转图形，理解对称图形和旋转图形的作法是解答关键．
（1）根据关于原点对称的点的坐标得到，，的坐标，顺次连接求解；
（2）根据旋转的性质分别求出，的坐标，顺次连接各点即可．
【小问1详解】
解：如图所示，为求，由图可知．
【小问2详解】
解：由题意画图如下，为所求作的图形．
19. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若方程的两个根为，，且，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得出，把字母和数代入求出的取值范围；
（2）根据两根之积为：，把字母和数代入求出的值．
【小问1详解】
解：，
∵有两个不相等的实数，
∴，
解得：；
【小问2详解】
∵方程的两个根为，，
∴，
∴，
解得：，（舍去）．
即：．
【点睛】本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握，是方程的两根时，，．
20. 如图，，交于点C，D，是半径，且于点F．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）证明见解析
（2）的半径是5．
【解析】
【分析】本题考查垂径定理、勾股定理等知识；
（1）由垂径定理得，根据等腰三角形的性质可得，再根据线段的和差关系可得结论；
（2）连接，结合垂径定理和勾股定理列方程求解即可．
【小问1详解】
证明：，为的弦，
，
，，
，
，
；
【小问2详解】
解：如图，连接，
，为的弦，
，，
∴
设的半径是，
∴，
解得，
的半径是5．
21. 如图，已知抛物线过与且有最小值．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）抛物线与轴交于点，在抛物线上存在一点使的面积为24，求出点的坐标．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式和二次函数的图象和性质
（1）根据与的坐标可得对称轴为直线，顶点坐标为，进而利用待定系数法把代入二次函数中，即可算出的值，进而得到函数解析式是；
（2）首先求出、两点坐标，计算出AB的长，再设，，根据的面积为可以计算出的值，然后再利用二次函数解析式计算出的值即可得到点坐标．
【小问1详解】
解：∵与在抛物线上，
∴抛物线的对称轴为直线，
设函数的解析式为，
将代入得，
∴
解得，
∴函数的解析式，即；
【小问2详解】
解：当时，，
解得：；
，，
．
设，
的面积为，
，
解得：，
当时，，
解得：或，
或；
当时，，
方程无解，舍去．
故或．
22. 如图，△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE，CF相交于点D,
（1）求证：BE＝CF ；
（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．
【答案】（1）证明见解析（2）-1
【解析】
【分析】（1）先由旋转的性质得AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，则∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，利用AB=AC可得AE=AF，得出△ACF≌△ABE，从而得出BE=CF；
（2）由菱形的性质得到DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，根据等腰三角形的性质得∠AEB=∠ABE，根据平行线得性质得∠ABE=∠BAC=45°，所以∠AEB=∠ABE=45°，于是可判断△ABE为等腰直角三角形，所以BE=2AC=2，于是利用BD=BE﹣DE求解．
【详解】（1）∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，
∴AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，
∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，
即∠EAB=∠FAC，
在△ACF和△ABE中，
△ACF≌△ABE
BE=CF.
（2）∵四边形ACDE为菱形，AB=AC=1，
∴DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，
∴∠AEB=∠ABE，∠ABE=∠BAC=45°，
∴∠AEB=∠ABE=45°，
∴△ABE为等腰直角三角形，
∴BE=2AC=2，
∴BD=BE﹣DE=．
考点：1．旋转的性质；2．勾股定理；3．菱形的性质．
23. 某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？
（3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）y=﹣2x+80（20≤x≤28）；（2）每本纪念册的销售单价是25元；（3）该纪念册销售单价定为28元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元．
【解析】
【分析】（1）用待定系数法列方程组求一次函数解析式．
（2）根据（1）中解析式，列一元二次方程求解．
（3）总利润=单件利润销售量：w＝(x-20)(-2x＋80)，得到二次函数，先配方，在定义域上求最值．
【详解】(1)设y与x的函数关系式为y＝kx＋b．
把(22，36)与(24，32)代入，得
解得，
∴y＝-2x＋80（20≤x≤28）．
(2)设当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是x元，
根据题意，得：(x-20)y＝150，即(x-20)(-2x＋80)＝150．
解得x1＝25，x2＝35(舍去)．
答：每本纪念册的销售单价是25元．
(3)由题意，可得w＝(x-20)(-2x＋80)＝-2(x-30)2＋200．
∵售价不低于20元且不高于28元，当x＜30时，y随x的增大而增大，
∴当x＝28时，w最大＝-2×(28-30)2＋200＝192(元)．
答：该纪念册销售单价定为28元时，能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元．
【点睛】本题考查了一次函数解析式的求法，列一元二次方程并求解，再根据二次函数的求最值问题，这是一道综合题，解题的关键是能读懂题意，找到关键点．
24. 已知正方形，将线段绕点B旋转，得到线段，连接，．

（1）如图1，当点E在正方形的内部时，若平分，，则________；
（2）当点E在正方形的外部时．
①在图2中依题意补全图形，并求度数；
②作的平分线交于点G，交的延长线于点F，连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）
（2）①补全图形见解析，；②，证明见解析
【解析】
【分析】（1）由旋转的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出，即可求出；
（2）①由题意可画出图形，由旋转的性质及等腰三角形的性质可得出答案；②过点B作交的延长线于点H，证明，由全等三角形的性质得出，由等腰直角三角形的性质可得出结论．
【小问1详解】
解：∵将线段绕点B旋转，得到线段，
，
，
∵四边形是正方形，
，，
∵平分，
，
在和中，
，
∴，
，
，
，
，
故答案为：；
【小问2详解】
解：①补全图形如图2，

∵将线段绕点B旋转，得到线段，
，，，
，，
；
②，证明如下：
证明：过点B作交的延长线于点H，如图3，

，平分，
垂直平分，
，
，
由①知，，
，
，
，
，，
∴，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，在的左侧)，与轴交于点，其对称轴为直线．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）已知点为第二象限抛物线上一点，连接，若，求点的坐标；
（3）将抛物线关于轴作轴对称变换，得到图象，现将图象沿直线平移，得到新的图象，图象与线段只有一个交点，求图象顶点横坐标的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求二次函数解析式，角度问题，二次函数与一次函数综合；
（1）由待定系数法即可求解；
（2）证明，得到，进而求解；
（3）当顶点为时，图象恰好过点、，当抛物线与直线相切时，联立抛物线与直线解析式，即可求解．
【小问1详解】
解：∵抛物线与轴交于点C0,−3，其对称轴为，
∴，
解得，
∴抛物线的函数解析式为；
【小问2详解】
解：点为第二象限抛物线上一点，设BD交轴于，如图：
在中，令 得，
解得：或，
，，
，，
，
，
，
，
又，
，即，
，
，
，
，
由，得直线解析式为；
联立，
解得：或(舍去)，
；
【小问3详解】
解：抛物线的函数解析式为：，顶点为，
将图象沿直线平移，由，得直线解析式为；
将抛物线沿轴翻折后顶点为，
顶点运动的轨迹为 ，
图象顶点坐标为，
则图象对应的函数解析式为：，
当图象过点时，
，解得 或；
当图象过点时，
，解得或；
当顶点为时，图象恰好过点、；
当抛物线与线段相切时，
联立和抛物线的表达式得：，
即；
令得：，此时，
的范围是或．
x
…
1
3
4
6
…
y
…
8
18
20
18
…